Nichtlineare Dynamik mit zellulären Automaten

Zeit
Fakultä
Fakultät fü
für Physik und Geowissenschaften
Bereich Didaktik der Physik
Nichtlineare Dynamik mit zellulären Automaten
Johannes Pollmä
Pollmächer, Mathias Fö
Förster, Wolfgang Oehme
Motivation
Zellulä
Zelluläre Automaten im interdisziplinä
interdisziplinären Kontext
Einfache Räuber-Beute-Modelle gehen von einer
homogenen Verteilung der Individuen im Ökosystem aus.
Die Einbeziehung variabler Populationsdichten führt zu
Systemen partiellen Differentialgleichungen. Diesen hohen
Abstraktionsgrad vermeiden zelluläre Automaten.
Zelluläre Automaten haben, nach den Erfolgen in der
Populationsdynamik, einen Siegeszug bis hin zu
Anwendungen in den Geistes- und Sozialwissenschaften
angetreten/1,2/.
Im Rahmen zweier Wissenschaftlicher Arbeiten /3,4/
wurde ihr didaktisches Potential für die Ausbildung von
Lehramtsstudenten, die Lehrerfortbildung und den
naturwissenschaftlichen Unterricht in der Sekundärstufe 2
erschlossen.
Räuber-Beute-System als zellulärer Automat
Regeln für Beute
Freies Feld in Nachbarschaft Æ auswählen und
besetzen
mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit Nachwuchs im
Ausgangsfeld werfen
Regeln für Räuber
Beute in Nachbarschaft Æ auswählen und fressen
Keine Beute in Nachbarschaft Æ leeres Feld
auswählen und besetzen
mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit Nachwuchs in
Ausgangsfeld setzen
Räuber stirbt mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit
Zeitentwicklung: Beute – grau, Räuber – weiß
WaldbrandWaldbrand-Modell
Straß
Straßenverkehrsdynamik
Zustände und Regeln
Drei Zustände /6/:
Baum ( ), brennender Baum ( ), Leerstelle ( )
Feste Regeln:
Baum wird durch brennenden
Nachbarbaum entzündet,
Bäume brennen eine Zeitperiode
Zufall:
Blitzschlag in Baum
Neuwuchs an Leerstelle
Randbedingungen: Fester Rand
Anfangszustand: feste Vorgabe oder Zufallsbelegung
Modell 1
Ausgangszustand:
Entwicklung:
Grundmodell
Beispiel: Einspurige Autobahn als eindimensionaler
zellulärer Automat
(Nagel-Schreckenberg-Modell /7/)
Auto 2
Δx
Δx = 7,5m; Δt = 1s; Δv =
Bäume und Leerstellen
Blitzschlag,
Nachwachsen
Auto 1
Δx
= 7,5m / s
Δt
Deterministisches Modell
5 Autos; zügiges Fahren, orientiert an der Maximalgeschwindigkeit
Zellulärer Automat
Ausgangszustand
Modell 2
Ausgangszustand:
Entwicklung:
Zustand nach 50 Zyklen
Zustand nach 100 Zyklen
Ort-Zeit-Diagramm
Stochastisches Modell
5 Autos; vorgegebene Trödelwahrscheinlichkeit
Bäume und brennende Bäume
in vergleichbarer Anzahl,
Leerstellen
Blitzschlag,
Nachwachsen
Zellulärer Automat
Ort-Zeit-Diagramm
Zeit
Ausgangszustand
Zustand nach 6 Zyklen
Zustand nach 21 Zyklen
Ort
Zellulä
Zelluläre Automaten und
Computeralgebrasysteme
Ein- und zweidimensionale Zelluläre Automaten lassen sich
mit wenigen Zuständen ihrer Zellen und mit wenigen
Entwicklungsregeln konstruieren. Das bekannteste Beispiel
ist das Game of Life /1/, bei dem jede Zelle nur zwei
Zustände annehmen kann und bei dem die Entwicklung
durch drei Regeln festgelegt wird. Trotzdem sind bei einem
5 x 5-Feld bereits 225 Zustände möglich.
Computeralgebrasysteme (z.B. Maple /5/) erzeugen
zweidimensionale Rastergrafiken mit Grauschattierung
oder Farbgestaltung, mit denen sich die Entwicklung
zellulärer Automaten veranschaulichen lässt. Damit können
nicht nur Grundideen des Lebens auf dem Wasser-Torus
WaTor /1/ oder die Strukturbildung bei einfachen Regeln
nachvollzogen werden, sondern auch zentrale Gedanken
aktueller Forschung aufgegriffen werden. Darüber hinaus
können die berechneten zeitlichen Entwicklungen als Film
abgespielt werden.
Gedruckt im Rechenzentrum der Universität Leipzig.
Ausgangszustand
Zustand nach 50 Zyklen
Zustand nach 100 Zyklen
Diskussion
Modell 1: Zufällige örtliche und zeitliche Schwankung
des Baumbestandes
Modell 2: Zyklische Feuerfronten
Frage: Strukturbildung mit selbstorganisierter
Kritikalität (SOC)?
Literatur
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/4/
/5/
/6/
/7/
/8/
Gerhardt, M., Schuster, H., Das digitale Universum, Vieweg 1995
Wolfram, St., A New Kind of Science, 2002,
www.wolframscience.com
Pollmächer, J., Wiss. Arbeit, Universität Leipzig 2008
Förster, M., Wiss. Arbeit, Universität Leipzig 2008
Maplesoft: Mathematics, Modeling, Simulation,
www.maplesoft.com
www.physik.tu-muenchen.de/lehrstuehle/T34_sch/Wbm2d.html
Nagel, K., Schreckenberg, M., J. de Physique I 2, 221-229, 1992
Axelrod, R., Die Evolution der Kooperation, Oldenburg 1995
Entwicklung eines homogenen Startzustandes über 100 Zeitschritte
(500 Längeneinheiten, 100 Fahrzeuge, vmax=5 Einheiten,
Trödelwahrscheinlichkeit p=0,15)
Soziophysik
Beispiel: Kooperationsspiel /8/
Zustä
Zustände: kooperativ ( ),
unkooperativ ( ),
Meinungswechsel ( )
Zustand nach 3 Zyklen
Zustand nach 30 Zyklen
Zustand nach 150 Zyklen
Ansprechpartner: [email protected]

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