Baustatik I, Übung 8

Baustatik und Stahlbau
Prof. Dr.-Ing. Starossek
M.Sc. Ferenczi
Baustatik I
Übung 8
Aufgabe 8.1
System
(Bogen in Form einer quadratischen Parabel, Z(X) = 41 X 2 − 2X)
P
q
1
1
4,0 m
X
A
Z
Belastung:
2
B
4,0 m
4,0 m
P = 100,0 kN
q = 30,0 kN/m
Aufgabenstellung
a) Berechnen Sie die Auflagerkräfte.
b) Ermitteln Sie die Verläufe der Schnittgrößen N (X), Q(X) und M (X). Stellen Sie
diese unter Angabe der maßgeblichen Ordinaten graphisch dar.
c TUHH B-4
1
19. Oktober 2015
Baustatik und Stahlbau
Prof. Dr.-Ing. Starossek
M.Sc. Ferenczi
Baustatik I
Übung 8
Lösung Aufgabe 8.1
a) Berechnung der Auflagerkräfte
2
1
HB
HA
A
1 2
P
B
MY /A = 0 ⇔ B · 8,0 − 100,0 · 4,0 − 30,0 · 4,0 · 6,0 = 0
⇔ B = 140,0 kN
2
P
MY /1 = 0
⇔ B · 4,0 − HB · 4,0 − 30,0 ·
4,02
=0
2
⇔ HB = 80,0 kN
1 2
P
FX = 0
⇔ HA − HB = 0
⇔ HA = 80,0 kN
1 2
P
FZ = 0
⇔ −A − B + 100,0 + 30,0 · 4,0 = 0
⇔ A = 80,0 kN
c TUHH B-4
2
19. Oktober 2015
Baustatik und Stahlbau
Prof. Dr.-Ing. Starossek
M.Sc. Ferenczi
Baustatik I
Übung 8
b) Ermittlung der Schnittgrößen
0<X<4m
N
(-Z(X))
M
Q (-α)
80,0 kN
80,0 kN
X
P
Fx = 0
⇔ −N − 80,0 · sin(−α) − 80,0 · cos(−α) = 0
⇔ −N − 80,0 · (− sin α + cos α) = 0
1
−80,0
⇔ N=r
2 − 2 X + 3
1
1 + 2X − 2
P
Fz = 0
⇔ −Q + 80,0 · cos(−α) − 80,0 · sin(−α) = 0
⇔ −Q + 80,0 · (cos α + sin α) = 0
80,0
1
r
⇔ Q=
2 2 X − 1
1 + 21 X − 2
P
My/S = 0 ⇔ −M + 80,0 · X − 80,0 · (−Z(X)) = 0
⇔ −M + 80,0 · X + 80,0 ·
⇔ M = 80,0 ·
c TUHH B-4
1 2
X
4
−X
1 2
X
4
− 2X = 0
3
19. Oktober 2015
Baustatik und Stahlbau
Prof. Dr.-Ing. Starossek
M.Sc. Ferenczi
Baustatik I
Übung 8
4m<X<8m
30,0 kN/m
N
M
Q
(-Z(X))
α
80,0 kN
140,0 kN
8,0 m - X
P
Fx = 0
⇔ −N − 80,0 · cos α − 140,0 · sin α + 30,0 · (8,0 − X) · sin α = 0
h
1
1
⇔ −N + r
2 − 80,0 − 140,0 · ( 2 X − 2)
i
1 + 12 X − 2
1
+30,0 · (8,0 − X) · ( X − 2) = 0
2
1
2
⇔ N=r
2 −15,0X + 110,0X − 280,0
1
1 + 2X − 2
P
Fz = 0
⇔ −Q + 80,0 · sin α − 140,0 · cos α + 30,0 · (8,0 − X) · cos α = 0
h
1
1
⇔ −Q + r
2 (80,0 · ( 2 X − 2) − 140,0
i
1 + 12 X − 2
+30,0 · (8,0 − X) = 0
1
⇔ Q= r
2 · (10,0X − 60,0)
1
1 + 2X − 2
P
(8,0 − X)2
My/S = 0 ⇔ −M + 140,0 · (8,0 − X) − 80,0 · (−Z(X)) − 30,0 ·
=0
2
1 2
⇔ −M + 1120,0 − 140,0X + 80,0 ·
X − 2X − 960,0 + 240,0X
4
−960,0 + 240,0X − 15,0X 2 = 0
⇔ M = 5,0X 2 − 60,0X + 160,0
c TUHH B-4
4
19. Oktober 2015
Baustatik und Stahlbau
Prof. Dr.-Ing. Starossek
M.Sc. Ferenczi
Baustatik I
Übung 8
-107,3
-80,0
-93,9
-113,1
-113,1
-
-
-110,9
N
in kN
-135,9
-161,0
-107,3
-20,0 -
-8,9
+
Q
in kN
35,8 80,0
-22,2
5,5
-35,8 -
+
8,9
-60,0
-80,0
-15,0
-20,0
M
in kNm
-60,0
c TUHH B-4
-15,0
5
19. Oktober 2015
Baustatik und Stahlbau
Prof. Dr.-Ing. Starossek
M.Sc. Ferenczi
Baustatik I
Übung 8
Aufgabe 8.2
System
A
q
X
l
Y
Z
A
l
Länge:
l
Belastung:
q
l
Aufgabenstellung
Gegeben ist der zur Achse A − A symmetrische Rahmen.
a) Zerlegen Sie die Belastung in achsensymmetrische und achsenantimetrische Anteile.
b) Welche Aussagen hinsichtlich Schnittgrößen und Kinematik lassen sich aus der
Achsensymmetrie des Systems und der Lastsymmetrie bzw. -antimetrie ableiten?
c) Berechnen Sie für den achsenantimetrischen Lastanteil die Schnittgrößen und stellen
Sie deren Verläufe graphisch dar.
c TUHH B-4
6
19. Oktober 2015
Baustatik und Stahlbau
Prof. Dr.-Ing. Starossek
M.Sc. Ferenczi
Baustatik I
Übung 8
Aufgabe 8.3
System
P
P
Y
P
X
Z
a
P
Länge:
a
Belastung:
P
Aufgabenstellung
Berechnen Sie die Schnittgrößen des oben dargestellten quadratischen Systems und
stellen Sie deren Verläufe graphisch dar.
c TUHH B-4
7
19. Oktober 2015
Baustatik und Stahlbau
Prof. Dr.-Ing. Starossek
M.Sc. Ferenczi
Baustatik I
Übung 8
Lösung Aufgabe 8.3
Die von außen auf das ungestützte System einwirkenden Kräfte stehen im Gleichgewicht.
Die Lösung kann daher mit den Mitteln der Statik gefunden werden. Das System ist
dreifach innerlich statisch unbestimmt. Sowohl das System als auch die Belastung weisen
eine Symmetrie zur X- und Z-Achse auf.
Ersatzsystem (1):
P/2
a
P/2
Dieses System ist immer noch einfach statisch unbestimmt. Die vorhandene Achsensymmetrie des Systems und die Achsenantimetrie der einwirkenden Belastung lassen sich
weiter ausnutzen.
c TUHH B-4
8
19. Oktober 2015
Baustatik und Stahlbau
Prof. Dr.-Ing. Starossek
M.Sc. Ferenczi
Baustatik I
Übung 8
Ersatzsystem (2):
P/2
MA
HA
+
A
C
B
a/
2
B
P
My/C = 0 ⇔ −MA +
P a
·√ =0
2
2
√
2
⇔ MA =
·P ·a
4
P
Fz = 0
⇔ −B +
⇔ B=
P
Fx = 0
P √
· 2=0
2
P √
· 2
2
B
⇔ HA + √ = 0
2
⇔ HA = −
P
2
So kann hier durch Ausnutzen der System- und Lastsymmetrien ein statisch bestimmtes
Ersatzsystem gefunden, bzw. die statisch Unbestimmten ermittelt werden.
c TUHH B-4
9
19. Oktober 2015
Baustatik und Stahlbau
Prof. Dr.-Ing. Starossek
M.Sc. Ferenczi
Baustatik I
Übung 8
0=
=
0
N
= 0
0=
-
-P 2/2
+
Q
+
-
P 2/2
+
Pa 2/4
-
-
-
-
-Pa 2/4
M
+
c TUHH B-4
10
19. Oktober 2015

Download Report