Aufgaben zur Veranstaltung
Lineare Algebra 1, WS 2015/2016
Benno Willemsen, Alina Heinze, Lars Klöser
FH Aachen, Campus Jülich; IT Center, RWTH Aachen University
Übungsblatt 10
02.12.2015
Präsenzaufgaben
1.) Gegeben ist ein Vektor ~a ∈ Rn . Zeigen Sie, dass
U = {~x; ~x ∈ Rn , h~a, ~xi = 0}
ein Untervektorraum des Rn ist.
2.) Im Skript wird auf Seite 78 behauptet, dass jede Lineare Hülle ein Untervektorraum von
V ist. Beweisen Sie diese Behauptung.
3.) Gegeben sind die folgenden Vektoren:
0
7
1 , 2 .
1
4
Welche Form hat die Lineare Hülle der beiden Vektoren?
Stellen Sie die Lineare Hülle in Normalenform und in Parameterform dar.
4.) Untersuchen Sie, ob die Menge
S := {α~a + β~b
| α ≥ 0, β ≥ 0, ~a, ~b ∈ Rn }
der Linearkombinationen mit nicht-negativen Vorfaktoren für vorgegebene Vektoren ~a
und ~b einen Untervektorraum des Rn bildet.
Fertigen Sie auch eine Skizze an, die das Ergebnis verdeutlicht, indem Sie (nur für die
Skizze) Beispielvektoren für ~a und ~b aus dem R2 wählen.
5.) Typische IHK-Aufgabe. Ein Flugzeug benötigt bei Gegenwind bis zum Abheben 500
m und startet dann in Richtung (3; 1). Bei Rückenwind hebt das Flugzeug erst nach 750
m ab und startet in Richtung (4; 1). Am Ende der 1 km langen Startbahn steht ein 10 m
hoher Beleuchtungsmast. Wie groß ist der Mindestabstand des Mastes zu der Flugbahn
bei Gegen- bzw. Rückenwind?
1
Hausaufgaben (Abgabe bis 08.12.2015)
6.) Typische IHK-Aufgabe. Zwei Flugzeuge F1 und F2 fliegen mit gleich bleibender Geschwindigkeit auf einem geraden Kurs. F1 befindet sich zum Zeitpunkt t = 0 im Punkt
A(1|3|40) und zum Zeitpunkt t = 3 im Punkt B(4|7|40). Zu den entsprechenden Zeiten
befindet sich F2 in C(28| − 20|11) bzw. in D(25| − 18|14). Die Koordinaten sind in
Einheiten von 100m, die Zeitpunkte in Sekunden angegeben.
(a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit von Flugzeug F1 .
(b) Von einem Beinahezusammenstoß spricht man, wenn der Abstand zweier Flugzeuge
weniger als eine Längeneinheit beträgt. Kann es bei den gegebenen Flugbahnen zu
einem solchen Beinahezusammenstoß kommen?
(c) Bestimmen Sie die Positionen, bei denen sich die Flugzeuge am nächsten sind und
geben Sie die minimale Entfernung an.
Im Punkt E(70|95|40) beginnt Flugzeug F1 mit dem Landeanflug. Der Pilot wählt für
den Landeanflug die Richtung ~v = (13, 10, −2)T und nimmt danach keine weiteren
Richtungskorrekturen mehr vor. Beim Landeanflug fliegt das Flugzeug durch eine Wolkenschicht. Deren obere Grenze liegt in der Ebene W0 : x−10z +198 = 0. Das Flugzeug
verlässt die Wolkenschicht im Punkt PU (141, 5|150|29).
(d) Bestimmen Sie den Winkel, mit dem das Flugzeug in die Wolkenschicht eindringt,
die Länge der Strecke, die das Flugzeug in den Wolken zurücklegt sowie die Dicke
der Wolkenschicht.
(e) Der Flughafen liege in der Ebene L : x − 10z = 0, die Landebahn werde als Strecke
mit der Gleichung
201, 3
13
~x = 196 + λ 10 , λ ∈ [0, 1]
20, 13
1, 3
beschrieben. Nach dem Verlassen der Wolkenschicht nimmt der Pilot noch eine
Richtungsänderung vor. Warum?
2
7.) Schreiben Sie aufbauend auf den Klassen VektorRn und Punkt eine Klasse GeradeR2,
die Geraden im R2 darstellen soll. GeradeR2 erbt von der Klasse AbstrakteEbene und
implementiert das Interface Hyperebene. Für die Klasse GeradeR2 soll dazu neben den
Methoden des Interface Hyperebene auch die Konstruktoren
public GeradeR2 (Punkt p1, Punkt p2)
public GeradeR2 (VektorRn n, Punkt p)
implementiert werden. Ersterer erzeugt die Gerade anhand der Vorgabe zweier Punkte,
letztere anhand der Vorgabe eines Punktes p und eines Normalenvektors n.
Um das Interface zu implementieren, müssen Methoden zur Berechnung des Normalenvektors als Objekt der Klasse VektorRn und der Normalenform als Stringdarstellung
implementiert werden. Testbeispiele und die entsprechenden Ausgaben finden Sie in der
Klasse GeradeR2Test.
Die benötigten Klassen können unter
https://doc.itc.rwth-aachen.de/display/MATSE/Lineare+Algebra+I
gefunden werden. Die Klasse ist so zu erstellen, dass die Testklasse ausführbar ist. Stellen
Sie sicher, dass ihre Klasse korrekte Ergebnisse liefert.
3
© Copyright 2024 ExpyDoc
