Musterlösung zu Aufgabe 18 Wir betrachten entsprechend der

Musterlösung zu Aufgabe 18
Wir betrachten entsprechend der Aufgabenstellung eine auf BL parametrisierte
Geodäte γ : R → M und einen Punkt p 6∈ Im(γ). Wir setzten
d(s) := d(p, γ(s))
Da M einfach-zusammenhängend ist folgt aus der Schnittkrümmungsschranke
und dem Satz von Hadamard, dass für jedes x ∈ M die Exponentialabbildung
expx : Tx M → M ein Diffeomorphismus ist.
p
V (t, s)
Wir bezeichnen mit σs die abstandsminimierende, auf BL parametrisierte Geodäte
von p nach γ(s) (Diese ex. nach dem Satz von
Hadamard). Wir definieren nun eine Variation
V
(t, s) ∈ R2 0 ≤ t ≤ d(s)
−→ M
(t, s)
7−→ σs (t).
σs
γ(s) = σs (d(s))
γ
Wir betrachten nun das zugehörige Längenfunktional L(s) = `(V (·, s)) und
zeigen, dass dieses genau ein Minimum besitzt und in diesem Minimum die
zugehörige Geodäte senkrecht auf γ steht.
1. Schritt: Wir zeigen:
L0 (s) = g (γ 0 (s), σs0 (d(s)))
und L00 (s) > 0.
Damit wäre L konvex und hätte daher höchstens ein Minimum. Die Formel für
die erste Ableitung impliziert dann die behauptete Orthogonalität.
Beweis: Da die Formeln der Vorlesung für die Variation der Länge von einer
Varation mit Parameterbereich [0, l] × R und Parametrisierung auf Bogenlänge
ausgehen, ersetzten wir für fixes s0 die Variation durch
Vs0
[0, d(s0 )] × R −→
(t, s)
7−→
M
0)
σs+s0 t d(s+s
d(s0 )
mit zugehörigem Längenfunktional Ls0 . Da die Länge einer Kurve nicht von
der Parametrisierung abhängt, folgt dann
L(s) = Ls0 (s − s0 )
und damit
L0 (s) = L0s (0)
und L00 (s) = L00s (0).
Aus den Formeln aus der Vorlesung folgt dann
∂Vs0
∂Vs0
∂Vs0
∂Vs0
L0s0 (0) = g
(d(s0 ), 0),
(d(s0 ), 0) − g
(0, 0),
(0, 0)
∂s
∂t
∂s
∂t
∂Vs0
= g γ 0 (s0 ),
(d(s0 ), 0) .
(1)
∂t
1
Dabei folgt die zweite Gleichung, da Vs0 (0, s) = p und damit
weil Vs0 (d(s0 ), s) = γ(s + s0 ).
Für die zweite Ableitung erhalten wir
L00s0 (0) =
∂Vs0
∂s
(0, 0) = 0 und
2
∇ ∂Vs0
− R ∂Vs0 (t, 0), σs0 (t), σs0 (t), ∂Vs0 (t, 0) dt
(t,
0)
0
0
dt ∂s
∂s
∂s
0
∇ ∂Vs0
∂Vs0
∇ ∂Vs0
∂Vs0
+g
(d(s0 ), 0),
(d(s0 ), 0) − g
(0, 0),
(0, 0) ,
ds ∂s
∂t
ds ∂s
∂t
Z
d(s0 )
wobei
∂Vs0
∂Vs0
(t, 0) =
(t, 0) − g
∂s
∂s
∂Vs0
(t, 0), σs0 0 (t) σs0 0 (t)
∂s
die Normalenkomponente bzgl. σs0 ist. Da Vs0 (d(s0 ), s) = γ(s0 + s) ist und
∂Vs0
∇ ∂Vs0
γ eine Geodäte, ist ds
∂s (d(s0 ), 0) = 0. Weiter ist, wie oben, ∂s (0, 0) = 0.
Wir erhalten also
2
Z d(s0 ) ∇ ∂Vs0
00
Ls0 (0) =
dt ∂s (t, 0) − Kspan ∂Vs0 (t,0),σ0 (t) dt
s0
0
∂s
2
Z d(s0 ) ∇ ∂Vs0
dt ≥ 0.
(t,
0)
≥
dt ∂s
0
Wir zeigen nun, dass sogar > 0 gelten muss. Angenommen, dem wäre nicht so.
Dann wäre
∇ ∂Vs0
dt ∂s (t, 0)
∂Vs0
∂s (t, 0) =
= 0, also
∂Vs0
∂s
folgt, dass
0 für alle t und damit
Funktion f . Damit folgt aber
γ 0 (s0 ) =
∂Vs0
∂s (0, 0) = 0,
f (t)σs0 0 (t) für eine
(t, 0) parallel. Da aber
∂Vs0
∂s
(t, 0) =
∂Vs0
(d(s0 ), 0) = f (d(s0 ))σs0 0 (d(s0 )),
∂s
d.h., da γ und σs0 Geodäten sind, dass diese affine Reparametrisierungen von
einander sind. Damit würde aber p auf γ liegen, was absurd ist.
2. Schritt L besitzt ein Minimum.
Beweis: Es bleibt also zu zeigen, dass ein solches Minimum existiert. Sei
dazu ε > 0 und r := dist(p, Im(γ)) + ε und Br (p) die geodätische Kugel. Da
expp ein globaler Diffeomorphismus ist, ist dies auch gleichzeitig die r-Umgebung
bezüglich der Metrik. Wir definieren nun K := cl(Br (p)). Dann ist Im(γ) ∩ K
nicht leer, weil dist(p, Im(γ)) < r. Wir fixieren nun weiterhin x = γ(0) und
v ∈ Tx M so, dass γ(t) = expx (tv).
Da K kompakt ist und expx ein Diffeomorphimsus, muss auch exp−1
x (K)
kompakt sein, insbesondere also beschränkt. Also ex. t0 , t1 ∈ R so dass Im(γ) ∩
R ⊂ γ([t0 , t1 ]).
Nun hat L : [t0 , t1 ] → R ein Minimum, da L stetig ist und das Intervall
kompakt. Da aber für alle t 6∈ [t0 , t1 ] nach Definition von K gilt, dass L(t) =
d(γ(t), p) > dist(p, Im(γ)) + und nach Definiton von dist aber ein t2 existiert
mit L(t2 ) = d(p, γ(t2 )) < dist(p, Im(γ)) + , das in [t0 , t1 ] liegen muss, folgt,
dass das Minimum global sein muss, insbesondere also ein lokales Minimum von
ganz L. Damit ist alles bewiesen.
2

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