Der allgemeine Satz von Stokes... Differentialformen

Der allgemeine Satz von Stokes...
... in der Sprache der Differentialformen.
Z
Z
dω
ω=
∂Ω
Ω
Differentialformen
... sind - vereinfacht gesagt - „orientierte“ Differentiale.
k-Form im Rn
X
ω=
ai1 ,...,ik (x) dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ,
(i1 ,...,ik )∈(1,...,n)
Beispiele
0-Form
1-Form
2-Form
aP
0 (x) Funktion
n
i=1 ai (x) dxi
an1 dxn ∧ dx1
x = (x1 , . . . , xn )
Rechenregeln 1 und 2
Antikommutativität
dxi ∧ dxj = −dxj ∧ dxi =⇒ dxi ∧ dxi = 0
Verkettung
Formen können verkettet werden. Dabei gelten Assoziativität,
Distributivität und Antikommutativität.
Beispiel:
ω1 = a1 (x) dx1 + a2 (x) dx2 , ω2 = a23 (x)dx2 ∧ dx3
=⇒ ω1 ∧ ω2 = a1 (x) a23 (x) dx1 ∧ dx2 ∧ dx3
Rechenregel 3 - Differentialbildung
0-Form - vollständiges Differential
n
X
∂a0 (x)
da0 (x) =
dxi
∂xi
i=1
k-Form
d
X
ai1 ,...,ik (x) dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
(i1 ,...,ik )∈(1,...,n)
=
X
(i1 ,...,ik )∈(1,...,n)
dai1 ,...,ik (x) ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
Integration von Differentialformen
Wo leben Differentialformen?
Auf k-dimensionalen Untermannigfaltigkeiten des Rn , das sind
Teilmengen, die sich (lokal) durch k Variable parametrisieren lassen.
Was soll
R
Ω
ω sein?
Sei Φ : U ⊂ Rk → Rn , Φ differenzierbar, eine Parametrisierung
von Ω, d. h. jeder Punkt x ∈ Ω lässt sich darstellen durch x = Φ(u)
für eine u ∈ U. Dann definiert man für
X
ω=
ai1 ,...,ik (x) dxi1 ∧ . . . ∧ dxik :
(i1 ,...,ik )∈(1,...,n)
Z
ω=
Ω
X
(i1 ,...,ik )∈(1,...,n)
Z
U
ai1 ,...,ik (x)
∂(dxi1 . . . dxik )
du1 . . . duk
∂(u1 . . . uk )
Der Satz von Stokes für 0-Formen (Funktionen) im Rn .
Z
Z
dω
ω=
∂Ω
ω = f (x), d ω = grad f (x) dx =
Ω
Pn
i=1 fxi dxi
d ω ist dann eine 1-Form und Ω eine eindimensionale
Manigfaltigkeit, also eine Kurve im Rn mit Endpunkten A und B.
Der Satz von Stokes lautet dann:
Z X
n
f (B) − f (A) =
fxi dxi .
Ω i=1
Hauptsatz der Differential und Integralrechnung
Z b
n = 1 : f (b) − f (a) =
f 0 (x) dx
a
Der Satz von Stokes für 1-Formen (Funktionen) im R2 .
Z
Z
dω
ω=
∂Ω
Ω
Satz von Gauß in der Ebene
ω = P(x, y ) dx + Q(x, y ) dy
d ω = (Px (x, y )dx + Py (x, y )dy ) ∧ dx
+ (Qx (x, y )dx + Qy (x, y )dy ) ∧ dy
= (Qx (x, y ) − Py (x, y )) dx ∧ dy
Ω ist ein Gebiet im R2 und ∂Ω dessen Rand. Der Satz von Stokes
lautet dann:
I
x
P(x, y ) dx + Q(x, y ) dy =
(Qx (x, y ) − Py (x, y )) dx ∧ dy
∂Ω
Ω
FLächenberechnung durch Kurvenintegrale
Mit P(x, y ) = − y2 , Q(x, y ) =
man erhält die Formel
1
2
x
2
ist Qx (x, y ) − Py (x, y ) = 1 und
I
x dy − y dx =
∂Ω
x
1 dxdy = |Ω|
Ω
Kann die Randkurve allein durch den Winkel zur positiven x-Achse
beschrieben werden, ist also x(ϕ) = r (ϕ) cos ϕ, y (ϕ) = r (ϕ) sin ϕ,
dann erhält man die
Sektorformel
1
2
Z
ϕ2
ϕ1
r 2 (ϕ) d ϕ = |Ω|
Der Satz von Stokes für 1-Formen im R3 .
klassischer Satz von Stokes
ω = v1 (x, y , z) dx + v2 (x, y , z) dy + v3 (x, y , z) dz
∂v3 ∂v2
∂v1 ∂v3
dω =
−
−
dy ∧ dz +
dz ∧ dx
∂y
∂z
∂z
∂x
∂v2 ∂v1
−
dx ∧ dy
+
∂x
∂y
Ω ist eine (gekrümmte) Fläche im R3 und ∂Ω deren Randkurve.
Mit ~r = (x, y , z)T , ~v = (v1 , v2 , v3 )T und
~ = (dy ∧ dz, dz ∧ dx, dx ∧ dy )T lautet der Satz von Stokes dann:
dF
I
Z
Z
x
~.
~v (x, y , z) d~r =
ω=
dω =
Rot ~v d F
∂Ω
∂Ω
Ω
Ω
Zusammengang mit dem Satz von Gauß in der Ebene
v3 = 0
Ist v3 = 0, hängen v1 und v2 nur von x und y ab und ist darüber
hinaus Ω eine Teilmenge der (x, y )-Ebene, dann ist
ω = v1 (x, y ) dx + v2 (x, y ) dy ,
und
dω =
∂v2 ∂v1
−
∂x
∂y
dx ∧ dy
und man erhält aus dem Stokeschem Satz unmittelbar den Satz von
Gauß in der Ebene.
Der Satz von Gauß in der Ebene ist also ein Spezialfall des Satzes
von Stokes. Das Oberflächenintegral wird zum einfachen
Riemann-Integral im R2 und dessen Integrand ist die dritte
Komponente der Rotation.
Wegunabhängigkeit
Gradientenfelder
Ist die Rotation des Vektorfeldes Rot ~v = 0 (im ebenen Fall nur die
dritte Komponente), dann verschwinden Kurvenintegrale über
geschlossenen Kurven.
I
x
~ =0
~v (x, y , z) d~r =
Rot ~v d F
∂Ω
Ω
~v ist dann ein Gradientenfeld, d. h. es existiert eine differenzierbare
Funktion f mit grad f = ~v .
Das Kurvenintegral entlang verschiedener Wege, die zwei Punkte A
und B des R3 bzw. R2 verbinden, sind gleich und hängen nur noch
von dem Werten von f in diesen Punkten ab, d. h. es ist
Z B
Z B
~v (x, y , z) d~r =
grad f (x, y , z) d~r = f (B) − f (A).
A
A
Unabhängigkeit von der Gestalt der Fläche
Vektorpotential
Der Satz von Stokes sagt aus, dass das Oberflächenintegral über
die Rotion eine Vektorfeldes nur von dessen Werten auf dem Rand
der Fläche abhängt:
I
x
~
~v (x, y , z) d~r =
Rot ~v d F
∂Ω
Ω
Im allgemeinen ist diese Aussage falsch, d. s
h. für ein gegebenes
~ nur dann nur
Vektorfeld ~u hängt das Oberflächenintgral Ω ~u d F
von den Werten von ~u auf dem Rand ∂Ω ab, wenn ~u = Rot ~v für
ein Vektorfeld ~v ist.
~v heißt dann Vektorpotential von ~u .
Der Satz von Stokes für 2-Formen im R3 .
klassischer Satz von Gauß im Raum
ω = v1 (x, y , z) dy ∧ dz + v2 (x, y , z) dz ∧ dx
+v3 (x, y , z) dx ∧ dy
∂v1 ∂v2 ∂v3
+
+
dx ∧ dy ∧ dz
dω =
∂x
∂y
∂z
Ω ist ein Gebiet im R3 und ∂Ω dessen Randfläche. Mit
~r = (x, y , z)T , ~v = (v1 , v2 , v3 )T und
~ = (dy ∧ dz, dz ∧ dx, dx ∧ dy )T lautet der Satz von Stokes dann:
dF
Z
Z
{
y
~
~v (x, y , z) d F =
ω=
dω =
Div ~v dx ∧ dy ∧ dz.
∂Ω
∂Ω
Ω
Ω
Quellenfreiheit von Vektorfeldern
Oberflächenintegral
Seien ~v ein Vektorfeld und F eine (gekrümmte) Fläche im R3 ,
dann steht das Oberflächenintegral
x
~
~v (x, y , z) d F
F
für den Durchfluss von ~v durch F. Ist F = ∂Ω geschlossener Rand
eines Gebietes Ω ⊂ R3 , dann verschwindet nach dem Satz von
Stokes der Gesamtdurchfluss genau dann, wenn in Ω Div ~v = 0 ist.
Man sagt dann, das Ω quellen- und senkenfrei ist, d. h. es fließt
genau soviel aus Ω heraus, wie hineinfließt.
Das vektorielle Oberflächenelement
Ortsvektor:
~r (u, v ) = (x(u, v ), y (u, v ), z(u, v ))T
Tangentialvektoren:
~ru (u, v ) = (xu (u, v ), yu (u, v ), zu (u, v ))T
~rv (u, v ) = (xv (u, v ), yv (u, v ), zv (u, v ))T
Flussvektor
xu xv
~ru × ~rv = yu yv
zu zv
i j = (yu zv − zu yv , zu xv − xu zv , xu yv − yu zv )T
k
∂(y , z) ∂(z, x) ∂(x, y ) T
=
,
,
∂(u, v ) ∂(u, v ) ∂(u, v )
~ = ~ru × ~rv dudv
dF
=
∂(y , z) ∂(z, x) ∂(x, y )
,
,
∂(u, v ) ∂(u, v ) ∂(u, v )
T
dudv
= (dy ∧ dz, dz ∧ dx, dx ∧ dy )T .
Oberflächenintegrale 1. und 2. Art
Seien ~v ein Vektorfeld und F eine (gekrümmte) Fläche im R3 und
ρ : R3 → R eine skalare Funktion. Dann ist das
Oberflächenintegral 1. Art
x
ρ(x, y , z) dF
F
interpretierbar als Gesamtmasse
der Fläche F bei gegebener
(Flächen-)Dichte ρ.
~
Zusammenhang von dF und d F
~
dF = d F
und
Oberflächenintegral 2. Art
x
~
~v (x, y , z) d F
F
interpretierbar als
Gesamtdurchfluss des Flusses ~v
durch die Fläche F.
~ = dF ~n,
dF
wobei ~n derjenige Normalenvektor auf F ist, für den bei einer
Parametisierung des Ortsvektors ~r = ~r (u, v ) die Vektoren (~ru ,~rv , ~n)
ein positiv orientiertes Dreibein bilden.

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