Übung 7 - Universität Flensburg

Prof. Dr. H. Lorenzen
Europa-Universität Flensburg Ws 2015/2016
Abteilung für Mathematik und ihre Didaktik
Geometrie und ihre Didaktik
Übungsblatt 7
Erinnerung. Sei ABCD ein Viereck.
ABCD heiße ein Trapez genau dann, wenn die Seitenlinien von A, B und C,D ein gemeinsames Lot haben (also
wenn sie parallel sind) .
ABCD heiße ein symmetrisches Trapez genau dann, wenn AB und CD dasselbe Mittellot haben.
ABCD heiße ein Drachen genau dann, wenn die Diagonale AC durch den Mittelpunkt von BD geht.
ABCD heiße ein symmetrischer Drachen genau dann, wenn die Diagonalenlinie von A,C das Mittellot von BD
ist.
Sei Q die Menge aller Quadrate, entsprechend definiere man die übrigen Vierecksmengen.
Aufgabe 1
Beweisen Sie
(a) sD ⊆ D (d.h. jeder sym. Drachen ist ein Drachen)
(b) sT ⊆ T
(c) D ∩ T = P (d.h. Vierecke die sowohl Drachen und Trapeze sind, sind
Parallelogramme und umgekehrt.)
(d) sD ∩ P = Ra
sD
(e) sT ∩ P = Re
(f) Ra ∩ Re = Q
V
T
D
P
Ra
sT
Re
Q
Aufgabe 2
Zeigen Sie den folgenden
Satz (Kennzeichnung von Viereckstypen durch ihr Diagonalverhalten)
Sei ABCD ein echtes Viereck. Dann gilt
(a) ABCD ist genau dann ein Parallelogramm, wenn die Diagonalen sich halbieren (d.h. denselben
Mittelpunkt haben).
(b) ABCD ist genau dann eine Raute, wenn die Diagonalen sich halbieren und senkrecht zueinander
sind.
(c) ABCD ist genau dann ein Rechteck, wenn die Diagonalen sich halbieren und kongruent
zueinander sind.
(d) ABCD ist genau dann ein Quadrat, wenn die Diagonalen sich halbieren, senkrecht zueinander
sind und kongruent zueinander sind.
Abgabe Freitag, den 18. Dezember 2015
Prof. Dr. H. Lorenzen
Europa-Universität Flensburg Ws 2015/2016
Abteilung für Mathematik und ihre Didaktik
Geometrie und ihre Didaktik
Übungsblatt 7
Aufgabe 3
Definition.
Sei ABCD ein echtes Viereck. Sei E der Mittelpunkt von AB, F der Mittelpunkt von BC, G der
Mittelpunkt von CD und H der Mittelpunkt von DA. Dann heißt das
Viereck EFGH das Seitenmittenviereck von ABCD.
(a) Konstruieren Sie zu einem echten Viereck ABCD das
Seitenmittenviereck von ABCD mit GeoGebra und veranschaulichen
Sie alle grundsätzlich unterschiedlichen Konfigurationen, z.B. wenn
A, B, C auf einer Geraden liegen, wenn ABCD ein Quadrat ist,
wenn ABCD ein Parallelogramm oder wenn ABCD ein
überschlagendes Viereck ist (siehe Abb.) etc.
(b) Zeigen Sie: Das Seitenmittenviereck EFGH (wobei nicht E, F, G und H auf
einer Geraden liegen) zu einem echten Viereck ABCD ist ein
Parallelogramm.
(c) Experimentieren Sie: Wann ist das Seitenmittenviereck?
i. eine Raute?
ii. ein Rechteck?
iii. ein Quadrat?
Aufgabe 4
Überprüfen Sie, ob die folgenden Aussagen wahr sind:
(a) Für alle echten Vierecke ABCD gilt: Wenn AB ≡ CD , BC ≡ DA, dann ist ABCD ist ein
Parallelogramm.
(b) Für alle Trapeze ABCD gilt: Wenn AB ≡ CD, dann ist ABCD ist ein Parallelogramm.
(c) Für alle Trapeze ABCD gilt: Wenn AC ≡ BD, dann ist ABCD ist ein symmetrisches Trapez.
Aufgabe 5
Definition.
Ein Dreieck ABC heißt rechtwinklig (in C) genau dann, wenn ABC echt ist und BC ⊥ CA. Es heißt
gleichschenklig in den Seiten BC und CA genau dann, wenn ABC echt ist und BC ≡ CA.
Sei ABCD ein Trapez und M der Mittelpunkt von CA.
(a) Zeigen Sie: Wenn BCM gleichschenklig ist, dann ist ACB rechtwinklig in B.
(b) Gilt auch die Umkehrung von (a)?
Aufgabe 6
Zeigen Sie für jedes echte Dreieck ABC:
(a) Wenn ABC rechtwinklig in C ist, dann sind BCA und CAB nicht gleichschenklig.
(b) Sei M auf der Verbindungsgeraden von A und B. Zeigen Sie, dass aus je zwei der folgenden
Aussagen die dritte folgt:
(1) ABC ist gleichschenklig.
(2) M ist der Mittelpunkt von AB.
(3) Die Verbindungsgerade von C, M ist senkrecht zur Verbindungsgeraden von A, B.
Abgabe Freitag, den 18. Dezember 2015

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