15 Lasst den Compi rechnen – Computeralgebra

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Wir verwenden hier
wxMaxima 0.8.6 und
Maxima 5.22.1. Es
ist möglich, Teile
dieses
Kapitels
bereits früher bei
den entsprechenden
Buchabschnitten zu
verwenden. Einen
ausgezeichneten
Online-Lehrgang
findet man unter
www.austromath.at/
daten/maxima/
index.htm
15 Lasst den Compi
rechnen –
Computeralgebra
Sara kommt aufgeregt zu Tom:
„Tom, schau, unser Computer kann
rechnen!“ „Na und, das kann er
schon lange, z. B. mit dem Rechner oder mit Excel“, antwortet Tom.
„Aber er kann auch mit Buchstaben
rechnen!“ „Gibt´s nicht.“ „Gibt´s
schon.“ Ungläubig geht Tom zum
Computer und Sara tippt (3∗a−2∗b)∧2 ein, drückt auf „Vereinfachen“
„Ausdruck vereinfachen“ und am Bildschirm steht 4b2 − 12ab + 9a2 .
Tom ist begeistert: „Woher hast du das Programm?“ „Aus dem Internet.“ „Das muss aber ganz schön teuer sein.“ „Nein, es ist gratis!“ Tom
probiert nun verschiedene Aufgaben aus mir, deinem Mathebuch,
aus.
In diesem Kapitel erfährst du
1. wie du zu wxMaxima kommst,
2. wie du damit rechnen kannst,
3. wie du Gleichungen lösen kannst,
4. wie du Gleichungssysteme lösen kannst,
5. wie du die Graphen von Funktionen damit zeichnen
kannst
6. und noch vieles mehr.
15.1 Installation
wxMaxima kann gemeinsam mit Maxima von http://sourceforge.net/
heruntergeladen werden. Dazu gibst du in der Suchleiste zuerst „Maxima“ ein und suchst dann in der Liste „Maxima“. Du drückst „download“ und wählst jeweils die neueste Windows-Version (solltest du
einen Mac verwenden, dann natürlich die). Nachdem du das Programm
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15.2 Rechnen mit wxMaxima
herunter geladen hast, installierst du Maxima (samt wxMaxima) durch
zweimaliges Anklicken des heruntergeladenen Files (du musst dabei
als Administrator angemeldet sein). Alle Fragen und Vorschläge bestätigst du dabei (solltest du wenig Festplattenspeicherplatz haben,
kannst du z. B. auf Brasilianisch oder Portugiesisch verzichten; auch
xmaxima brauchst du nicht). Und das war es auch schon.
Starte nun wxMaxima durch zweimaliges Anklicken des Symbols am
Desktop als Administrator. Sollte deine Firewall aufschreien, erkläre, dass
wxMaxima ok ist. Anschließend beende das Programm, wobei du – logisch
– nicht speicherst. Nun kannst du den
Administratorstatus verlassen, sofern
du – um es Viren und anderen Ungeziefern schwerer zu machen – normalerweise unter einem Benutzernamen mit weniger Rechten arbeitest.
15.2 Rechnen mit wxMaxima
Beginnen wir mit der Standardaufgabe, mit der man kontrollieren
kann, ob ein Taschenrechner „Punkt- vor Strichrechnung“ beherrscht:
1 + 2 ∗ 3. Dazu öffnest du wxMaxima durch zweimaliges Anklicken des
entsprechenden Symbols. Nun trägst du 1+2*3 ein und drückst danach
„Strg“ und „Enter“. In der nächsten Zeile steht dann 7. wxMaxima
rechnet also richtig, wobei du als Multiplikationszeichen „∗“ verwenden
musst und als Divisionszeichen „/“ (siehe Abbildung auf der nächsten
Seite).
Zu Beginn der ersten Eingabezeile steht (%i1) (das i steht für input)
und zu Beginn der ersten Ergebniszeile (%o1) (o für output).
Der Strichpunkt schließt eine Eingabezeile ab; du brauchst ihn aber
nicht schreiben, das macht wxMaxima für dich.
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Du kannst nun mit dem Ergebnis weiter
rechnen, in dem du in die nächste Zeile, die
du durch Klicken mit der Maus erhältst,
% und den nächsten Rechenteil eingibst,
z. B. %/3. Das Ergebnis ist 73 . Möchtest
du dies in Dezimalschreibweise umwandeln,
wählst du in der oberen Zeile „Numerisch“
und dort „To Float“. Du siehst, wxMaxima
verwendet als amerikanisches Programm
einen Dezimalpunkt und keinen Dezimalstrich. Willst du als Nächstes 73 − 52 rechnen,
musst du nur in die nächste Eingabezeile %o2 – 5/2 eingeben und du erhältst − 16 .
wxMaxima kann also mit Bruchzahlen rechnen.
Potenzieren erfolgt mit ∧ und Wurzelziehen
durch sqrt (das kommt
√ von „squareroot“).
Möchtest du also 23 − 4 rechnen, gibst du
2∧3 -sqrt(4) ein und erhältst 6.
Auch Klammerausdrücke wie z. B. (–2)*(4 – (–3)*(+4)) versteht wxMaxima, wobei du allerdings nur runde Klammern verwenden darfst.
Auch die dabei auftretenden negativen Zahlen bedeuten keine Schwierigkeit.
Auch das Rechnen mit Variablen geschieht so, wie du es gewohnt bist
– mit einer Ausnahme: Du musst immer den Multiplikationsstern
setzen, also nicht 2a schreiben sondern 2 ∗ a. Für die Probe kannst du
den Variablen entsprechende Werte durch „=“ zuordnen. So ordnet
z. B. x = 2 der Variablen x den Wert 2 zu. Rechnen wir Aufg. 546:
Vereinfache und führe die Probe aus
(x = 2, y = 3):
5x + 2y − (3x − y) + (3y − 2x) =
In nebenstehender Grafik siehst du
die Ein- und Ausgabe.
Dem Programm muss natürlich mitgeteilt werden, wie ein Term umgeformt werden muss, und es kennt dabei folgende Umformungsmöglichkeiten:
„Vereinfachen“ vereinfacht den Ausdruck und gibt z. B. einen Quotienten von zwei Polynomen zurück.
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15.2 Rechnen mit wxMaxima
„Faktorisieren“ entspricht dem Herausheben.
„Expandieren“ multipliziert einen Ausdruck aus.
Nehmen wir Aufg. 609a) und Aufg. 588:
Berechne und vereinfache so weit
wie möglich!
4a
4
4
−
+ =
2
2
1−a
a+a
a
Durch „Strg Enter“ erhalten wir
als Ausgabe die Eingabe so angeschrieben, wie wir es gewohnt sind;
das Drücken von „Ausdruck vereinfachen“ liefert das Ergebnis.
Zerlege den Term a4 −9b4 in ein Produkt!
Auch hier erhalten wir durch „Strg
Enter“ die Eingabe so angeschrieben, wie wir es gewohnt sind; das
Drücken von „Ausdruck faktorisieren“ liefert das Ergebnis. Drücken
wir jetzt „Ausdruck expandieren“,
erhalten wir wieder die Angabe.
Natürlich hättest du die obigen Aufgaben auch ohne Computer lösen
können, zum Einüben sind sie aber sehr hilfreich.
Löse nun einige Aufgaben von früher:
1265 Vereinfache (Aufg. 621)!
x2
y2
x
y
x3 − x2 y − xy 2 − y 3
−
)∶(
−
)=
x+y x−y
x+y x−y
x2 − 2xy − y 2
2
2
3
x
y
x
y
x + x2 y + xy 2 − y 3
b) (
+
)∶(
+
)=
x−y x+y
x+y x−y
x2 + y 2
a) (
⋆1266 Löse Aufg. 622 mit Hilfe von wxMaxima!
⋆1267 Löse Aufg. 623 mit Hilfe von wxMaxima!
⋆1268 Löse Aufg. 624 mit Hilfe von wxMaxima!
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15.3 Gleichungen lösen
Um Gleichungen zu lösen, gibt es bei wxMaxima ein eigenes Fenster.
Am einfachsten siehst du das an einem Beispiel.
Löse 4x − 5 = 7 + 2x
Lösung: Bei wxMaxima gibst du in einer Eingabezeile die Gleichung
ein, wobei du aber nicht auf die Multiplikationssterne vergessen
darfst. Anschließend markierst du die Eingabe durch Überstreichen
mit der gedrückten linken Maustaste und drückst „Gleichung lösen“
in dem unteren Feld. In dem auftauchenden Fenster steht neben
Gleichung die eingegebene Gleichung und als Variable wird x vorgeschlagen. Da das so in Ordnung ist, drückst du „OK“ und erhältst
die Lösung.
Versuchen wir folgende Gleichung zu lösen:
4
1
5(x + 9)
+
=
für G = Z
x + 5 x + 10 (x + 5)(x + 10)
Als Lösung gibt wxMaxima x = x; das bedeutet, dass sich die
Gleichung auf x = x reduzieren lässt. Wir erhalten somit als Lösung:
L = x ∈ Z ∖ {−5, −10}.
1269 Weil die
Nenner x + 5 und
x + 10 nicht Null
sein dürfen!
1269 Erkläre, warum bei der Lösungsmenge –5 und –10 ausgeschlossen
werden mussten!
1270 Berechne Aufg. 673 mit Hilfe von wxMaxima!
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15.3 Gleichungen lösen
Auch Formeln umwandeln geht leicht mit wxMaxima:
Schaltet man die drei Widerstände, die R1 Ω, R2 Ω und R3 Ω haben,
parallel, so ist der Gesamtwiderstand kleiner und lässt sich mit
1
der Formel Rgesamt
= R11 + R12 + R13 Ω berechnen. Berechne R3 bei
gegebenem R1 , R2 und Rgesamt !
Hier musste man als gesuchte Lösung R3 angeben. Ferner erkennst
du, dass man für Variable nicht nur einen Buchstaben verwenden
darf, sondern auch Zeichenketten.
1271 Löse Aufg. 677 mit Hilfe von wxMaxima!
1272 Löse Aufg. 680 mit Hilfe von wxMaxima!
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15.4 Funktionen zeichnen
wxMaxima besitzt auch einen Funktionszeichner. Möchtest du die
Funktion f : y = − 14 x2 + 5 im Intervall –4 bis +4 darstellen, kannst du
– wie folgt – vorgehen:
Wir definieren zuerst die Funktion (siehe Zeile (%i1). Beachte dabei
das Definitionszeichen := und am Ende das $-Zeichen! Vergiss nicht
„Strg Enter“ zu drücken!
Willst du einzelne Werte berechnen, geschieht das z. B. für x = 3
durch y(3).
Günstig ist es auch, eine Wertetabelle anzulegen. Dies geschieht
durch Klicken auf „Algebra“ und Aufrufen von „Liste erzeugen“.
Dort wird neben „Ausdruck“ y(x) eingetragen, neben „Variable“
x und es werden die Intervallgrenzen –4 und 4 eingegeben. „OK“
liefert die Wertetabelle.
Zum Zeichnen klickst du auf „2D Plotten“, trägst unter Ausdrücke
y(x) ein, neben Variable x –4 und 4. Für y wählst du 0 bzw. 6 und
drückst „OK“.
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15.5 Gleichungssysteme lösen
15.5 Gleichungssysteme lösen
Um Gleichungssysteme zu lösen, gibt es bei wxMaxima ein eigenes
Fenster. Am einfachsten siehst du das an einem Beispiel:
Finde die Lösung des Gleichungssystems: x+2y=7
2x+y=8
Lösung: Ruft man „Gleichungen“ „Löse lineares System“ auf,
erhältst du eine Eingabemaske, in die du die Anzahl der zu lösenden
Gleichungen eingibst, also 2. Drücken von „OK“ führt dich zu einer
weiteren Eingabemaske, in die du, wie in der Grafik gezeigt, die
Gleichungen und die Unbekannten eingibst (vergiss den Beistrich
nicht!). Drücken von „OK“ ergibt die Lösung.
Wenn du willst, kannst du ein Gleichungssystem auch grafisch lösen:
Dazu musst du als erstes
jede der Gleichungen in die
explizite Form bringen, in
dem du die Gleichung jeweils
nach y auflöst. Anschließend
wendest du den plot2d-Befehl
an, indem du die beiden
Gleichungen und die Intervallgrenzen eingibst. Drücken
von „Strg Enter“ liefert die
folgende Grafik.
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Allerdings geht das Zeichnen von Graphen mit GeoGebra leichter.
Hast du aber die Funktionsgleichungen bereits eingegeben, ist es geschickter mit wxMaxima zu arbeiten.
1273 Löse Aufg. 881 mit Hilfe von wxMaxima!
1274 Löse Aufg. 882 mit Hilfe von wxMaxima!
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15.6 Rückblick und Ausblick
15.6 Rückblick und Ausblick
Wenn du siehst, wie bequem du mittels wxMaxima auch umfangreichere Aufgaben lösen kannst, wirst du dich fragen, warum du das
alles bisher von Hand rechnen musstest. Dafür gibt es drei Gründe:
1. Angenommen du bist 16 Jahre alt, hast ein Moped und auch
den Mopedführerschein. Wirst du jetzt alle Wege nur mit dem
Moped zurücklegen? Auch die kurzen? Auch die in eurer Wohnung?
Selbstverständlich nicht! Du wirst nach wie vor viele Wege zu Fuß
zurücklegen. Was für ein Glück, dass du gelernt hast, zu Fuß zu
gehen.
2. Und du wirst wahrscheinlich auch Wandern, Joggen, Laufen, Fußballspielen usw., um deinen Körper zu trainieren und auch weil
es Spaß macht. Mathematik trainiert deinen Geist und es macht
(zumindest Sara und Tom) Spaß.
3. Laufen kannst du, weil du gelernt hast, zu Fuß zu gehen. Auch
schwierigere Mathematikprobleme kannst du nur deshalb lösen,
weil du zuerst gelernt hast, auch einfachere zu lösen.
Gibt es eigentlich noch schwierigere Probleme in der Mathematik?
wxMaxima gibt dir einen kleinen Einblick davon. Klick etwa das
Fenster „Algebra“ an: Im oberen Teil stehen lauter Wörter, deren
mathematische Bedeutung du nicht kennst. Und auch mehrere Wörter
beim Fenster „Rechnen“ kennst du nicht. Es gäbe also noch viel zu
lernen.
Aber auch in den Verfahren, die du
bis jetzt angewendet hast, steckt noch
viel drinnen, was du nicht weißt. Versuche die Gleichung x2 − 6x + 5 = 0
zu lösen. Es wird dir nicht gelingen.
wxMaxima jedoch kann es und liefert
zwei Lösungen, nämlich x = 1 und
x = 5. Und probiere x2 + 1 = 0. Da liefert wxMaxima eine Lösung, die du
nicht verstehst. Solltest du nach der
4. Klasse eine höhere Schule besuchen, so wirst du lernen, obige zwei
Aufgaben (ohne wxMaxima) zu lösen. Und gehst du nach der Reifeprüfung auf eine Universität, wo auch Mathematik unterrichtet wird,
werden dir die meisten Vokabeln von wxMaxima vertraut werden.
Wie gesagt: „Es gibt noch viel zu lernen, wenn du willst.“
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