Der Riesen-Magnetowiderstand
Seminar: Elektrodynamik & Spezielle Relativität
Tim Adler
10.07.2015
In dieser Ausarbeitung werden die physikalischen Grundlagen der Riesen-Magnetowiderstands dargestellt. Nach einer kurzen Einführung, um den Effekt in den
geschichtlichen Kontext einzuordnen, wenden wir uns den Leitungseigenschaften ferromagnetischer Metall zu. Das “Zwei-Ströme”-Modell dieser Metalle ist der
Hauptansatzpunkt zur Erklärung der drastischen Widerstandsänderung. Im Anschluss gehen wir auf den Material- bzw. den experimentellen Aufbau ein und
geben eine Näherung für die Widerstandsänderung bei niedrigen Temperaturen
an.
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
2
2 Ferromagnetische Materialien
2.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Leitungseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
3 Materialaufbau
5
4 Trennschicht-Kopplung
6
5 Der GMR-Effekt
7
Literatur
9
1
1 Einführung
Seit über 150 Jahren ist bekannt, dass äußere Magnetfelder den Widerstand von Leitern beeinflussen können. Diese Tatsache wurde im Jahr 1856 von William Thompson (Lord Kelvin)
entdeckt und veröffentlicht [9]. Dieser sogenannte anisotrope oder gewöhnliche Magnetowiderstand führt zu einer relativen Widerstandsänderung von ca. 3-4%. Im Anschluss an diese
erste Entdeckung wurden kaum Fortschritte auf dem Gebiet des Magnetowiderstands gemacht
bis 1989 die Gruppen von Peter Grünwald und Albert Fert (vgl. Abb. 2) unabhängig voneinander Paper veröffentlichten, die von Experimenten mit Magnetowiderständen von 10% im Fall
von Grünwald und 50% im Fall von Fert berichteten (vgl. [2], [3] und Abb. 1).
Abbildung 1: Nobelpreis-Plots, aus [8]
Abbildung 2: Peter Grünberg und Albert Fert
Der Effekt tritt bei zu jener Zeit neuentwickelten Materialien auf, den sogenannten Supergittern. Mit der Perfektion der Herstellung dieser Materialien können heute Widerstandsänderungen im Bereich von über 100% erreicht werden.
Dies hatte bahnbrechende Auswirkungen auf die Industrie. Jede moderne (nicht-SSD-) Festplatte macht sich den als Riesen-Magnetowiderstand getauften Effekt zu nutze. Nicht allein
deshalb erhielten Peter Grünberg und Albert Fert für diese Entdeckung und ihre (teilweise)
Erklärung den Nobelpreis für Physik im Jahr 2007.
Im folgenden wollen wir auf die theoretischen Grundlagen eingehen, die den Riesen-Magnetowiderstand (engl. Giant Magnetoresistance, kurz GMR-Effekt) erklären können. Dazu werden
wir uns zuerst mit den Leitungseigenschaften von Ferromagneten und danach mit dem Aufbau
von Supergittern und dem Einfluss von paramagnetischen “Verunreinigungen” auf Ferromagneten auseinandersetzen. Diese Prozesse zusammen können den GMR-Effekt erklären. Wir
orientieren uns bei unserer Darstellung stark an der Nobelpreiszusammenfassung [8].
2
2 Ferromagnetische Materialien
2.1 Aufbau
Die Leitungseigenschaften von Metallen können durch das Bandmodell erklärt werden. Grundsätzlich ist für uns nur interessant, dass jedes Atom im Metallgitter eine gewisse Anzahl an
Elektronen an das Leitungsband beisteuert, die für die Stromleitung verantwortlich sind.
Nun hat jedes Elektron einen Spin und wie sich zeigt, ist der Elektronen-Spin ausschlagebend für die ferromagnetischen Eigesnchaften eines Materials (vgl. [6]). Das bedeutet in nicht
magnetisierten Materialien liegen gleichviele Elektronen mit Spin Up und Spin Down vor, in
ferromagnetischen Materialien jedoch nicht. Dies wirkt sich direkt auf die Bandstruktur des
Metalls auf (vgl. Abb. 3), d.h. die Leitungsbänder für die beiden Spin-Polarisierungen, sehen
sehr unterschiedlich aus, was die Vermutung nahelegt, dass die beiden unterschiedlich polarisierten Elektronen unterschiedliche Widerstände erfahren.
Abbildung 3: Bandmodell für Ferromagnete, aus [8]
Im Folgenden betrachten wir wie sich die unterschiedlichen Widerstände von den Spin Up
und Spin Down Elektronen auf den Gesamtwiderstand des Ferromagneten auswirken.
2.2 Leitungseigenschaften
Die zentrale Erkenntnis zur Erklärung des GMR-Effekts ist der unteschiedliche Widerstand
für die beiden Spin-Polarisierungen der Leitungselektronen. In diesem Abschnitt werden wir
eine Formel für den spezifischen Ersatzwiderstand ρ (der unabhängig von den Dimensionen
des Materials, aber ansonsten proportional zum Widerstand R ist) in einem Ferromagneten in
Abhängigkeit von den drei spezifischen Widerständen ρ↑ , ρ↓ und ρ↑↓ herleiten. Wir halten uns
dabei an die Darstellung in [4].
Wir führen diese Berechnungen im Drude-Modell für Festkörper durch. Die Annahmen für
dieses Modell sind die folgenden:
1. Wir rechnen (semi-) klassisch.
2. Wir nehmen an die Geschwindigkeit der Elektronen ist nicht-relativistisch.
3. Wir nehmen an, dass die Elektronen nur durch Stöße mit den Atomrümpfen interagieren
(also keine langreichweitigen Kräfte wirken; freie Elektronen-Approximation).
4. Wir nehmen an, dass keine Coulomb-Kräfte zwischen den einzelnen Elektronen wirken
(unabhängige Elektronen-Approximation).
3
5. Wir rechnen das Beispiel eindimensional (nicht notwendig).
Wir haben eine Spannung U an den Ferromagneten angelegt und dies führt zu einen elektrischen Feld E im Leiter. Letztendlich führt dies zum Strom bzw. zur Stromdichte j im Leiter. In
erster Näherung besteht eine Proportionalität zwischen E und j und das Inverse der Proportionalitätskonstante ist der spezifische Widerstand, d.h. wir erhalten
j = ρ−1 E.
(1)
Als nächsten Schritt werden wir die Stromdichten j↑ und j↓ für die beiden Spinkomponenten
herleiten. Da wir klassisch arbeiten, können wir einfach die Bewegungsgleichungen für die
Elektronen aufstellen. Diese lauten wie folgt:
e
E−
m
e
v̇↓ = − E −
m
v̇↑ = −
v↑ v↓ − v↑
−
,
τ↑
2τ↑↓
v↓ v↑ − v↓
−
.
τ↓
2τ↑↓
(2)
(3)
Physikalisch erhöht sich die Geschwindigkeit durch das elektrische Feld E und unter unserer Annahme, dass die Elektronen nur Energie (also Geschwindigkeit) durch Stöße verlieren, erhalten wir einen Term, der proportional zu v selbst ist und wir nennen das Inverse der
Proportionalitätskonstante die Streuzeit τ . Diese ist unbekannt, aber es besteht ein direkter
Zusammenhang zum spezifischen Widerstand, so dass wir in einem der letzten Schritte die
Streuzeiten, wieder eliminieren können. Der letzte Term in den Gleichungen rührt daher, dass
die Elektronen ihren Spin flippen könnten. Dieser Effekt trägt auch zum Energieverlust bei.
Nun sind wir nur an der mittleren Geschwindigkeit unserer Elektronen interessiert. Diese
entspricht der Grenzgeschwindigkeit der obigen gekoppelten Differentialgleichung. Desahlb
setzen wir v̇↑ = v̇↓ = 0 und ersetzen v↑/↓ durch ihr zeitliches Mittel v̄↑/↓ . Damit erhalten
wir ein lineares Gelichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen, das sich (da die
τi > 0 sind) eindeutig durch
(τ↓ + τ↑↓ )τ↑
τ↑ + τ↓ + 2τ↑↓
(τ↑ + τ↑↓ )τ↓
v̄↓ = −2
τ↑ + τ↓ + 2τ↑↓
v̄↑ = −2
eE
m
eE
·
m
·
und
(4)
(5)
lösen lässt.
Akzeptieren wir weiterhin den theortische Fakt (vgl. [1])
ρ−1 = nev̄ =
ne2 τ
,
m
(6)
wobei n die Elektronendichte im Leitungsband bezeichnet, und spalten unsere spezfischin
Widerstände wie folgt in einen temperaturabhängigen und einen -unabhängigen Teil
4
ρ↑/↓ (T ) = ρ↑/↓ (0) + ρ′↑/↓ (T )
und
(7)
(8)
ρ↑↓ (T ) = 0 + ρ↑↓
auf, so können wir den Gesamtwiderstand des Systems berechnen. Dass der Spin-Flip Anteil
keinen temperaturunabhängigen Term besitzt, deckt sich gut mit dem Experiment, obwohl es
schwierig ist theoretische Erklärungen zu finden (vgl. [4]).
Als letzte Formel benötigen wir nun noch
ρ(T ) =
E
.
j↑ + j↓
(9)
Setzen wir die Gleichugen (5), (6), (8) und (9) ineinander ein, so erhalten wir den folgenden
Zusammenhang
ρ(T ) =
(ρ↑ (0) + ρ′↑ (T ))(ρ↓ (0) + ρ′↓ (T )) + (1/2)ρ↑↓ (T )(ρ↑ (0) + ρ′↑ (T ) + ρ↓ (0) + ρ′↓ (T ))
ρ↑ (0) + ρ′↑ (T ) + ρ↓ (0) + ρ′↓ (T ) + 2ρ↑↓ (T )
.
(10)
Dieser Ausdruck ist durchaus involviert und es wird nicht klar, wie genau sich ein Unterschied im Widerstand der beiden Spin-Polarisierungen auf den Gesamtwiderstand auswirkt.
Deshalb machen wir folgende vereinfachende Annahmen ρ(T ) := ρ′↑ (T ) = ρ′↓ (T ) und
ρ(T ), ρ↑↓ (T ) ≪ ρ↑ (0), ρ↓ (0). Diese Annahme ist für niedrige Temperaturen gerechtfertigt
und da die Experimente von Albert Fert bei 4, 2K durchgeführt wurden, ist dieser Grenzfall
durchaus interessant. Wir entwickeln den Ausdruck nun bis zu den linearen Termen in ρ(T )
und ρ↑↓ (T ) in einer Taylor-Reihe. Damit erhalten wir
1
1
ρ(T ) = ρ(0) + ρ(T ) +
2
2
(
ρ↑ (0) − ρ↓ (0)
ρ↑ (0) + ρ↓ (0)
)2
(ρ(T ) + ρ↑↓ (T )),
(11)
−1
wobei ρ(0) über ρ−1 (0) = ρ−1
↑ (0) + ρ↓ (0), also als Ersatzwiderstand für die temparaturunabhängigen Widerstände, definiert ist. Der dritte Term macht nun klar, dass die Differenz
zwischen ρ↑ (0) und ρ↓ (0) erst gewisse temperaturabhängige Effekte auslöst, z.B. spielt SpinFlip nur bei unterschiedlichen spezifischen Widerständen eine Rolle.
Allerdings wird auch klar, dass bei sehr niedrigen Temperaturen (also für ρ(T ) ≈ 0 ≈
ρ↑↓ (T )), einfach mit dem Ersatzwiderstand für eine Parallelschaltung gerechnet werden kann.
Diese Näherungen ist diejenige, die wir im Folgenden verwenden werden.
3 Materialaufbau
Die eigentliche Probe, an der der GMR-Effekt gefunden wurde, bestand nun aus zwei Metallen,
die in sehr dünnen Schichten zu einem sogenannten Supergitter aufgetragen wurden. Die eine
5
Abbildung 4: Supergitter, aus [8]
Schicht bestand aus Eisen (grüne Schicht in Abb. 4), also einen Ferromagneten, und die Andere
aus Chrom (graue Schicht in Abb. 4), einem Paramagneten.
In Grünbergs Experiment ([3] und Abb. 4 links) wurde eine Schicht Chrom von zwei Eisenschichten umhüllt; Fert ([2] und Abb. 4 rechts) verwendete mehrere (bis zu 60) Eisen-ChromBlöcke hintereinander. Wir werden hauptsächlich mit Grünbergs experimentellem Aufbau arbeiten, da er einfacher greifbar ist. Physikalisch spielt sich in beiden Aufbauten natürlich das
gleiche ab und die Erhöhung der Schichtzahl führt zu stärkeren Widerstandsänderungen.
Wir sehen also, dass der GMR-Effekt mit dem Zwischenspiel von ferro- und paramagnetischen Metallen zusammenhängt. Dieses werden wirh im nächsten Abschnitt genauer untersuchen.
4 Trennschicht-Kopplung
Wir müssen nun also die Frage beantworten, wie sich eine paramagnetische “Verunreinigung”
auf das anliegende ferromagnetische Material auswirkt. 1986 zeigten Majkrzak et al. in [5],
dass diese Verunreinigungen zu einer Oszillation der Spin-Kopplungskonstante J (über den
Abstand zur Verunreinigung) führt (vgl. Abb. 5).
Abbildung 5: Spin-Oszillation, aus [8]
J geht nun aber wie folgt in die Energie unseres (Modell-) Systems ein:
Hex = −
∑
J ij · si · sj
i<j
6
si ∈ {±1},
(12)
wobei die si die Elektronen-Spins modellieren und die Abhängigkeit von J von den einzelnen Spins nur vom Abstand zur paramagnetischen Verunreinigung abhängt. Mit diesem Term
wird nun aber klar, dass das Vorzeichen von J entscheident dafür ist, ob es für das System
energetisch sinnvoller ist parallele oder antiparalle Spins zu haben.
Damit erhalten wir zwei Rollen für das Chrom: Einerseits löst es die Oszialltionen in J aus
und andererseits kann es gleichzeit als Abstandshalter zwischen den beiden Eisenschichten fungieren, so dass wir die relative Magnetisierung der Eisenschichten einstellen können. In unserem wollen wir sie gegensätzlich magnetisieren. Dies bedeutet nun aber, dass ohne Einschränkung unsere linke Eisenschicht “nach oben” magnetisiert ist und die rechte Schicht “nacht
unten”. Dieser Zustand ist genau in Abb. 6 dargestellt.
5 Der GMR-Effekt
Wir wissen nun also, dass ohne Magnetfeld die beiden Eisenschichten gegensätzlich magnetisiert sind, zusätzlich wissen wir, dass die beiden Ströme der gegensätzlichen Spin-Polarisierungen unterschiedliche Widerstände erfahren. Außerdem können wir bei niedrigen Temperaturen annehmen, dass kaum Spin-Flips auftreten und die Elektronen zwischen den beiden
Eisenschichten ihren Spin nicht ändern.
Abbildung 6: Supergitter ohne Magnetfeld, aus [8]
Dies hat aber den Effekt, dass die Spin Up Elektronen in der linken Eisenschicht den Widerstand R↑ erfahren, aber in der zweiten Eisenschicht R↓ , denn diese ist genau die Spiegelung
der ersten Schicht. Analog erfahren Spin Down Elektronen in der linken Schicht R↓ und in der
Rechten R↑ . Dies ist in Abb. 7 zusammengefasst.
Abbildung 7: Schaltbild ohne Magnetfeld, aus [8]
Damit ergibt sich als Ersatzwiderstand im Fall eines abgeschalteten Magnetfelds
1
R0 = (R↑ + R↓ ).
2
7
(13)
Nun betrachten wir den Fall H ̸= 0. Ist das Magnetfeld stark genug, werden beide Eisenschichten parallel magnetisiert. Dieser Zustand ist in Abb. 8 zusammengefasst.
Abbildung 8: Supergitter mit Magnetfeld, aus [8]
Das bricht aber die Symmetrie für die Spin Up und Spin Down Elektronen und sie erfahren
unterschiedliche Widerstände. Für Spin Up Elektronen erhalten wir nun 2R↑ , für Spin Down
Elektronen 2R↓ (vgl. Abb. 9) und als Ersatzwiderstand
RH = 2
R↑ R↓
.
R↑ + R↓
(14)
Abbildung 9: Schaltbild mit Magnetfeld, aus [8]
Damit können wir die Widerstandsdifferenz berechnen und erhalten mit den Gleichungen
(13) und (14)
∆R = RH − R0 = −
1 (R↑ − R↓ )2
.
2 R↑ + R↓
(15)
Wir erkennen also erneut wie zentral die Differenz der Widerstände für die beidne SpinPolarisierungen ist. Weiterhin können wir das negative Vorzeichen für den Widerstandsprung
ablesen wie er in Abb. 1 auftritt.
Dies schließt unsere sehr rudimentäre Betrachtung des Riesen-Magnetowiderstands. Falls
ein genauerer Überblick über die Herstellung der Supergitter oder an besonderen Materialien
mit starkem GMR-Effekt interssiert ist, dem sei ein Blick in [8] empfohlen.
8
Literatur
[1]
N. W. Ashcroft und N. D. Mermin. Solid State Physics. Harcourt College Publishers, 1976.
[2]
M. N. Baibich u. a. “Giant magnetoresistance of (001) Fe/(001) Cr magnetic superlattices”.
In: Phys. Rev. Lett. 61.21 (1988), S. 2472.
[3]
G. Binasch u. a. “Enhanced magnetoresistance in layered magnetic structures with antiferromagnetic interlayer exchange”. In: Phys. Rev. B 39.7 (1989), S. 4828.
[4]
I. A. Campbell, A. Fert und R. Pomeroy. “Evidence for two current conduction iron”. In:
Phil. Mag. 15.137 (1967), S. 977–983.
[5]
C. F. Majkrzak u. a. “Observation of a magnetic antiphase domain structure with longrange order in a synthetic Gd-Y superlattice”. In: Phys. Rev. Lett. 56.25 (1986), S. 2700.
[6]
P. Mohn. Magnetism in the Solid State: An Introduction. Bd. 134. Springer Science & Business Media, 2006.
[7]
S. S. P. Parkin, N. More und K. P. Roche. “Oscillations in exchange coupling and magnetoresistance in metallic superlattice structures: Co/Ru, Co/Cr, and Fe/Cr”. In: Phys. Rev. Lett.
64.19 (1990), S. 2304.
[8]
Class for Physics of the Royal Swedish Academy of Sciences. The Discovery of Giant Magnetoresistance. 2007. url: http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/
laureates/2007/advanced-physicsprize2007.pdf.
[9]
W. Thomson. “On the electro-dynamic qualities of metals:–effects of magnetization on
the electric conductivity of nickel and of iron”. In: Proc. R. Soc. 8 (1856), S. 546–550.
Bei den Abbildungen 2 handelt es sich um die Bilder
• “Peter Gruenberg 01” by Kuebi = Armin Kübelbeck - Own work. Licensed under CC
BY-SA 3.0 via Wikimedia Commons - Quelle
und
• “Albert fert 15 janvier 2009 Spintronique Paris Descartes” by Eurobas - Own work. Licensed under CC BY-SA 3.0 via Wikimedia Commons - Quelle
9
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