Elektrodynamik Eichgruppe U(1) Quellen Felder elektrische Ladung ⃗ elektrisches Feld E Vektorpotential A → ⃗ 7→ E ⃗ E 7→ A +∇ λ A → → → λ reell ⃗ ⃗ E, B = ∇ ×A → → H 2 ⃗ Ed = Q F F → infinitesimale Eichtransformationen Beziehung zu Messgrößen nicht-abelsche Yang–Mills-Theorie Erzeuger Ti , i∑ = 1, . . . , n Ti Tj − Tj Ti = ijk Cijk Tk Strukturkonstanten Cijk Gravitation SU(2), i = 1, 2, 3 Rotationen Cijk = ϵijk total antisymmetrisch z.B. Farbladung Spindichte, Energiedichte ⃗ ⃗i Ei Dreibein E Zusammenhang A A i i → → ∑ ⃗ ⃗ ⃗ Ei 7→ Ei + j,k Cijk λj Ek ∑ → 7 + λi A A i i k+∇ j,k Cijk λj A → → → → λi reell ∫ ∑ 2 ⃗ ⃗ i Ti d2 F |Ei | , Fluss F i E → Flächeninhalt ∫ √∑3 ⃗ i )(n · E ⃗ i )d2 y (n · E F H Energie oder ∫ ⃗ 2 d⃗ s = A K → F Bd F → ∫ 3 2 2 ⃗ ⃗ d x(E + B ) i=1 → → (Konormalenvektor n) )→ ( H ∑ 3 s Holonomien hK (A i σi d⃗ i ) = P exp i K i=1 A → → ∑ ⃗ ⃗ ⃗ ∫ 3 ∫ ϵ ( B × E i j )·Ek ijk ⃗ i |2 + |B ⃗ i |2 ) d x(|E d3 x √ ∑ijk | ijk ϵijk (Ei ×Ej )·Ek | ⃗ ⃗ ⃗ i = ∇ × Ai + Cijk Aj × Ak mit B → → → → Hamiltonfunktion Table 1: Nicht-abelsche Yang–Mills-Theorien dienen als mathematische Brücke zwischen der Eletrodynamik und der Gravitation. Zunächst werden das elektrische Feld und das Vektorpotential jeweils zu n unabhängigen Feldkomponenten verallgemeinert, wobei n die Dimension einer Lie-Algebra ist. Der Gravitation liegt außerdem eine andersartige Dynamik zugrunde. Die Schleifenquantengravitation ist eine kanonische Quantisierung der rechten Spalte dieser Tabelle. [13] J. Lewandowski, A. Okolów, H. Sahlmann und T. Thiemann, Uniqueness of diffeomorphism invariant states on holonomy-flux algebras, Commun. Math. Phys. 267, 703–733 (2006); C. Fleischhack, Representations of the Weyl Algebra in Quantum Geometry, Commun. Math. Phys. 285, 67–140 (2009). [14] C. Rovelli und L. Smolin, Spin Networks and Quantum Gravity, Phys. Rev. D 52, 5743–5759 (1995). 13 ⃗
© Copyright 2024 ExpyDoc
