Kostenfunktionen 1. Ein Unternehmen stellt ein Produkt her. Die Produktion eines Wirtschaftsgutes verursacht Kosten. Die Gesamtkostenfunktion lautet: K(x) = 512 + 0,44x + 0,005x2 . Um x Einheiten des Produkts zu produzieren, entstehen Kosten von K(x) Geldeinheiten. Der Stückpreis (Preis pro Einheit) beträgt 4 Geldeinheiten. Die durch Verkauf zu erzielenden Gesamteinnahmen heißen Umsatz. a) Wie lautet die Umsatzfunktion U(x), die jeder Produktionsmenge (Output) x den durch Verkauf zu erzielenden Umsatz zuordnet? b) Zeichne die Kosten- und die Umsatzfunktion in dasselbe Koordinatensystem. c) Lies aus der Grafik ab, in welchem Bereich ein Gewinn erzielt wird. Errechne die Gewinnzone. d) Skizziere die Gewinnfunktion G(x), die jeder Produktionsmenge x den zu erzielenden Gewinn zuordnet. e) Wie viele Einheiten müssen produziert werden, damit der Gewinn maximal wird? Wie hoch ist der Gewinn dann? y 2500 2000 1500 1000 500 100 200 300 400 500 600 c Roolfs 1 x Kostenfunktionen Lösungen 1. Ein Unternehmen stellt ein Produkt her. Die Produktion eines Wirtschaftsgutes verursacht Kosten. Die Gesamtkostenfunktion lautet: K(x) = 512 + 0,44x + 0,005x2 . Um x Einheiten des Produkts zu produzieren, entstehen Kosten von K(x) Geldeinheiten. Der Stückpreis (Preis pro Einheit) beträgt 4 Geldeinheiten. Die durch Verkauf zu erzielenden Gesamteinnahmen heißen Umsatz. a) Wie lautet die Umsatzfunktion U(x), die jeder Produktionsmenge (Output) x den durch Verkauf zu erzielenden Umsatz zuordnet? b) Zeichne die Kosten- und die Umsatzfunktion in dasselbe Koordinatensystem. c) Lies aus der Grafik ab, in welchem Bereich ein Gewinn erzielt wird. Errechne die Gewinnzone. d) Skizziere die Gewinnfunktion G(x), die jeder Produktionsmenge x den zu erzielenden Gewinn zuordnet. e) Wie viele Einheiten müssen produziert werden, damit der Gewinn maximal wird? Wie hoch ist der Gewinn dann? 1. a) U(x) = 4 · x b) Output x 0 100 200 300 K(x) 512 606 800 1094 1488 1982 2576 Output x 0 100 200 U (x) 0 400 800 1200 1600 2000 2400 300 400 500 400 500 c) Die Gewinnzone lautet: [200, 512]. Hierzu ist eine quadratische Gleichung zu lösen: 600 600 y K(x) 2500 K(x) = U(x) U (x) 2000 512 + 0, 44x + 0, 005x2 = 4 · x 0, 005x2 − 3, 56x + 512 = 0 1500 2 x − 712x + 102400 = 0 1000 d) siehe Grafik 500 e) G(x) = U(x) − K(x) G(x) Der Scheitel der Gewinn-Parabel lautet S(356 | 121, 68), G(356) = 121,68. 100 200 Der maximale Gewinn wird bei einem Output von 356 Einheiten erwirtschaftet, er beträgt dann 121,68 Geldeinheiten. c Roolfs 2 300 400 500 600 x Anwendungen in der Betriebswirtschaftslehre Ein Unternehmen stellt ein Produkt her, z. B. Nagellack. Ziel ist es, einen möglichst großen (maximalen) Gewinn zu erwirtschaften. Der Gewinn ist die Differenz von Umsatz und Gesamtkosten. Mit Umsatz werden die Einnahmen bezeichnet. Werden x = 5000 Nagellack-Fläschchen zum Stückpreis p = 4 e verkauft, so beträgt der Umsatz U = 20000 e . Der Umsatz hängt von der Anzahl x der verkauften Produkte ab, kurz U(x) = p · x. Wir gehen vereinfachend davon aus, dass alle produzierten Güter verkauft werden, x ist daher auch die Anzahl der produzierten Güter. Die Produktion eines Wirtschaftsgutes verursacht Kosten, die von x abhängig sind. Die Gesamtkostenfunktion lautet z. B.: K(x) = 512 + 0,44x + 0,005x2 . Um x Einheiten des Produkts zu produzieren, entstehen Kosten von K(x) e , allgemeiner K(x) Geldeinheiten, z. B. 100 e , 1000 e . a) Zeichne die Graphen der Umsatz-, Gesamtkosten- und Gewinnfunktion. Tipp: Verwende für den Graphen von G(x) = p · x − K(x) die Funktionsvariablen Y-VARS. b) Ermittle mit dem GTR die Gewinnzone, also den Bereich, in dem Gewinn erwirtschaftet wird. G(x) kann auch negativ werden, dann liegt Verlust vor. c) Wie viele Einheiten müssen produziert werden, damit der Gewinn maximal wird? Wie hoch ist der Gewinn dann? d) Errechne algebraisch die Gewinnzone. y 2500 2000 1500 1000 500 100 200 300 400 500 600 c Roolfs 3 x Ein Unternehmen stellt ein Produkt her. Die Gesamtkostenfunktion lautet: K(x) = 0,008x2 + 2,8x + 1300, der Stückpreis beträgt p = 10 Geldeinheiten. a) Zeichne die Graphen der Umsatz-, Gesamtkosten- und Gewinnfunktion. Tipp: Verwende für den Graphen von G(x) die Funktionsvariablen Y-VARS. b) Ermittle mit dem GTR die Gewinnzone. c) Wie viele Einheiten müssen produziert werden, damit der Gewinn maximal wird? Wie hoch ist der Gewinn dann? d) Errechne algebraisch die Gewinnzone. e) Bei welchem Output (Ausbringung) sind die Stückkosten minimal? Tipp: Verwende für den Graphen der Stückkostenfunktion ein neues Koordinatensystem. Funktionsgraphen Y= WINDOW GRAPH 1. Funktionsterm (Y=) eingeben, 2. Einstellungen vornehmen: Bereiche auf der x- und y-Achse wählen, einen Überblick verschafft hierfür TABLE, Schrittweite der Ticks mit Xscl und Yscl festlegen, 3. mit GRAPH zeichnen, nützlich: TRACE Darstellung ändern: Cursor auf \ von \Y1= , ENTER Bei mehreren Funktionen kann eine Auswahl getroffen werden: Cursor auf = von \Y1= (oder \Y2=), ENTER, unverzerrte Darstellung mit: ZOOM | 5: ZSquare. Nullstellen, Schnittstellen, Min./Max., Funktionswerte Im Menü 2nd CALC ist alles Notwendige zu finden. Die linke und rechte Grenze müssen eingegeben werden. Zu gegebenem x-Wert ist der y-Wert mit value zu berechnen. c Roolfs 4 Ein Unternehmen stellt ein Produkt her. Die Gesamtkostenfunktion lautet: K(x) = 0,008x2 + 2,8x + 1300, der Stückpreis beträgt p = 10 Geldeinheiten. a) Zeichne die Graphen der Umsatz-, Gesamtkosten- und Gewinnfunktion. Tipp: Verwende für den Graphen von G(x) die Funktionsvariablen Y-VARS. K(x) y U (x) 9000 8000 7000 bc 6000 5000 4000 3000 bc 2000 1000 G(x) bc 100 200 b) Ermittle mit dem GTR die Gewinnzone. bc 300 400 500 600 700 800 x [250, 650] c) Wie viele Einheiten müssen produziert werden, damit der Gewinn maximal wird? Wie hoch ist der Gewinn dann? Der maximale Gewinn von 320 Geldeinheiten wird bei einem Output von 450 Einheiten erwirtschaftet. d) Errechne algebraisch die Gewinnzone. U(x) = G(x) e) Bei welchem Output (Ausbringung) sind die Stückkosten minimal? K(x) Die Stückkosten D(x) = x sind an der Stelle x = 403 (gerundet) minimal, sie betragen dann 9,25 Geldeinheiten. c Roolfs 5 Stückkostenfunktion y 14 12 10 D(x) bc 8 6 4 2 100 200 300 400 500 500 550 600 650 0,008x2 + 2,8x + 1300 D(x) = x Fülle die Tabelle aus und interpretiere sie. x 250 300 350 403 450 D(x) c Roolfs 6 600 700 800 x Stückkostenfunktion y 14 12 10 D(x) bc 8 6 4 2 100 200 300 400 500 500 550 600 650 600 700 800 x 0,008x2 + 2,8x + 1300 D(x) = x Fülle die Tabelle aus und interpretiere sie. x 250 300 350 403 450 D(x) 10,00 9,53 9,31 9,25 9,29 9,40 9,56 9,77 10,00 Die Gewinnzone lautet: [250, 650] An ihren Grenzen stimmen Stückkosten und Stückpreis überein, der Gewinn ist Null. Minimale Stückkosten liegen an der Stelle x = 403 vor. Wenn mehr produziert und verkauft wird, steigen zwar die Stückkosten, der Gewinn pro Stück verringert sich damit, jedoch kann der Gesamtgewinn noch erhöht werden, bis zu der Stelle x = 450, an der der maximale Gewinn erwirtschaftet wird. c Roolfs 7 Ein Unternehmen stellt ein Produkt her. Die Gesamtkostenfunktion lautet: K(x) = 500 + 7x + 0,01x2 . Der Stückpreis beträgt 13 e . Die Kapazitätsgrenze liegt bei 600 Stück. Mehr kann nicht produziert werden. a) Wie lautet die Gewinnzone? (grafische und algebraische Lösung) b) Bei welcher Ausbringung ist der Gewinn maximal und wie groß ist er dann? c) Bei welcher Produktionsmenge sind die Stückkosten minimal? d) Aufgrund äußerer Umstände ist das Unternehmen gezwungen, 400 Einheiten zu produzieren. Der Stückpreis fällt auf 12,50 e . Kann nun noch ein Gewinn erzielt werden? (Eine genaue Begründung ist erforderlich.) c Roolfs 8 Ein Unternehmen stellt ein Produkt her. Die Gesamtkostenfunktion lautet: K(x) = 500 + 7x + 0,01x2 . Der Stückpreis beträgt 13 e . Die Kapazitätsgrenze liegt bei 600 Stück. a) Wie lautet die Gewinnzone? (grafische und algebraische Lösung) [100, 500] b) Bei welcher Produktionsmenge ist der Gewinn maximal und wie groß ist er dann? G(300) = 400 e c) Bei welcher Produktionsmenge sind die Stückkosten minimal? D(223, 61) = 11,47 e d) Aufgrund äußerer Umstände ist das Unternehmen gezwungen, 400 Einheiten zu produzieren. Der Stückpreis fällt auf 12,50 e . Kann nun noch ein Gewinn erzielt werden? (Eine genaue Begründung ist erforderlich.) K(400) D(400) = 400 = 12,25 e Gewinn 0,25 · 400 e c Roolfs 9
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