(I) Lösungen zu Übung 1

Deskriptive
Statistik (I)
Lösungen zu Übung 1
(Kap. 1.5)
Prof.
Dr.B.Grabowski
Lösungen zur Übung1: Skript I (Beschreibende Statistik), Kap. 1.5
Aufgabe 1
1. Sind folgende Merkmale diskret oder stetig?
a)
b)
c)
d)
Die durch eine wahlberechtigte Person der BRD gewählte Partei bei der Bundestagswahl.
Kraftstoffverbrauch eines Personenkraftwagens auf 100 km.
Zahl der pro Stunde in einem Geschäft eintreffenden Kunden.
Lebensdauer einer bestimmten Leuchtstoffröhrenart.
e) Plazierung beim 100-Meter-Lauf (von Studenten der HTW)
Geben Sie jeweils das Merkmal, die Objektmenge und den Wertebereich des Merkmals an. Welche Art
Skalierung liegt hier vor?
Lösung
Zu a)
Merkmal:
Objektmenge:
Wertebereich:
Skalierung:
Wahlverhalten
Alle wahlberechtigten Personen der BRD
zur Bundestagswahl zugelassene Parteien (SPD, CDU, Grüne, FDP)
Nominalskala
Zu b)
Merkmal:
Objektmenge:
Wertebereich:
Skalierung:
Kraftstoffverbrauch
alle PKWs
R0+, stetig
Proportionalitätsskala
Zu c)
Merkmal:
Objektmenge:
Wertebereich:
Skalierung:
Anzahl der Kunden, die ein bestimmtes Geschäft pro Stunde betreten
Menge von Zeitintervallen von einer Stunde während der Öffnungszeiten
(z.B. von 8-18 Uhr)
N0, diskret
Proportionalitätsskala (Spezialfall)
Achtung: Man kann die Aufgabenstellung zu c) auch anders interpretieren:
Merkmal:
Anzahl der Kunden, die ein Geschäft in einer bestimmten Stunde (z.B.
von 8-9 Uhr) betreten
Objektmenge:
Menge von Geschäften
Wertebereich:
N0, diskret
Skalierung:
Proportionalitätsskala (Spezialfall)
Zu d)
Merkmal:
Objektmenge:
Wertebereich:
Skalierung:
Lebensdauer
Menge von Leuchtstoffröhren dieser bestimmten Leuchtstoffröhrenart
R0+ (in Stunden), stetig
Proportionalitätsskala
Zu e)
Merkmal:
Objektmenge:
Wertebereich:
Skalierung:
Platznummer
Menge von Personen, die am 100 Meterlauf teilnehmen.
N0, diskret
Proportionalitätsskala (Spezialfall)
1
12/2005
Lösungen zu Übung 1
Deskriptive
Statistik (I)
(Kap. 1.5)
Prof.
Dr.B.Grabowski
Aufgabe 2
2. An einem Bankschalter werden die Kundenankünfte (Anzahl der pro 10-Minuten-Zeitintervall ankommenden
Kunden) beobachtet. Für 40 derartige Zeitintervalle erhält man folgende Ergebnisse:
0,
1,
2,
1,
0,
2,
0,
4,
1,
3,
1,
2,
3,
0,
1,
3,
4,
2,
6,
2,
1,
0,
1,
0,
2,
1,
0,
3,
2,
3,
2,
0,
1,
1,
3,
1,
1,
2,
1,
2,
Ermitteln Sie absolute und relative Häufigkeiten der Kundenankünfte und stellen Sie Häufigkeitsverteilung und
Summenhäufigkeitsfunktion grafisch dar!
Lösung
i
ai
Hn(ai)
hn(ai)
H(i)
h(i)
1
0
8
0,2
8
0,2
2
1
13
0,325
21
0,525
3
2
10
0,25
31
0,775
4
3
6
0,15
37
0,925
5
4
2
0,05
39
0,975
6
5
0
0
39
0,975
7
6
1
0,025
40
1
2
12/2005
Deskriptive
Statistik (I)
Lösungen zu Übung 1
(Kap. 1.5)
Prof.
Dr.B.Grabowski
3
12/2005
Deskriptive
Statistik (I)
Lösungen zu Übung 1
(Kap. 1.5)
Prof.
Dr.B.Grabowski
Aufgabe 3
3. 1000 Motoren eines bestimmten Typs weisen folgende Lebensdauerverteilung auf:
Lebensdauer in
Anzahl der Motoren
Jahren
bis 2
33
276
über 2 bis 4
404
über 4 bis 6
über 6 bis 8
237
über 8 bis 10
50
Tab.: Lebensdauerverteilung
Stellen Sie diese Häufigkeitsverteilung und die dazugehörende Summenhäufigkeitsfunktion grafisch dar und
bestimmen Sie den Anteil der Motoren mit einer Lebensdauer von mehr als 5 Jahren!
Lösung:
i
Ki
Hn(Ki) hn(Ki)
0
H(i)
h(i)
0
1
bis 2
33
0,033
33
0,033
2
über 2 bis 4
276
0,276
309
0,309
3
über 4 bis 6
404
0,404
713
0,713
4
über 6 bis 8
237
0,237
950
0,95
5
über 8 bis 10
50
0,05
1000
1
4
12/2005
Deskriptive
Statistik (I)
Lösungen zu Übung 1
(Kap. 1.5)
Prof.
Dr.B.Grabowski
Den Anteil der Motoren mit einer Lebensdauer von mehr als 5 Jahren kann man ablesen: ca. 50%!
Rechnerische Lösung:
Vorgehensweise:
•
•
•
•
Ermitteln sie die Klasse Ki in der das Merkmal [ x = 5 Jahre ] liegt [ i = 3 ].
Ermitteln sie die relative Summenhäufigkeit (Flächeninhalt im Histogramm) bis zur
darunter liegenden Klasse [ h(i–1) = 0,309].
Addieren sie den verbleibenden Anteil (Restfläche im Histogramm) in der ermittelten
Klasse Ki hinzu. Den Anteil ermitteln sie, in dem sie vom gegebenen Wert [ x = 5 Jahre ]
den Wert der Klassenuntergrenze [ aiu = 4 Jahre ] abziehen und die Differenz durch die
Klassenbreite [∆Κi =2] teilen und anschließend mit der relativen Häufigkeit [ hn(Ki)
=0,404] der Klasse multiplizieren.
Um den Anteil der Motoren, die länger als 5 Jahre halten, zu ermitteln ziehen sie den
errechneten Wert von 100% ab.
Also: Der Anteil der Motoren, die bis 5 Jahre halten ist:
u
( x − ai )
h(i − 1) + hn ( K i ) *
∆K i
5−4
= 0,511
= 0,309 + 0,404 *
2
Anteil der Motoren die länger als 5 Jahre halten:
1 – 0,511 = 0,489
48,9% der Motoren halten länger als 5 Jahre.
5
12/2005
Deskriptive
Statistik (I)
Lösungen zu Übung 1
(Kap. 1.5)
Prof.
Dr.B.Grabowski
Aufgabe 4
Werten Sie nachstehende Urliste aus!
Wählen Sie eine geeignete Klassenzahl und den unteren Wert der 1. Klasse !
Stellen Sie die absoluten, relativen Klassenhäufigkeiten, sowie die relativen (Klassen-) Summenhäufigkeiten
tabellarisch und grafisch (Histogramm, Summenhäufigkeitsfunktion) dar!
Tab.: Lebensdauer xi von 30 Glühbirnen in
Stunden
i
xi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
375,3
392,5
467,9
503,1
591,2
657,8
738,5
749,6
752,0
765,8
772,5
799,4
799,6
803,9
808,7
810,5
812,1
848,6
867,0
904,3
918,3
935,4
951,1
964,9
968,8
1006,5
1014,7
1189,0
1215,6
1407,2
6
12/2005
Deskriptive
Statistik (I)
Lösungen zu Übung 1
(Kap. 1.5)
Prof.
Dr.B.Grabowski
Lösung:
Anzahl der Klassen:
k = 30 = 5,48
⇒ k=5
für n ≥ 25 ; 5 ≤ k ≤ 25
Klassenbreite:
x − x min + 2ε
b = max
, ε = 0,05 (halbe Messgenauigkeit)
k
b=
1407,2 − 375,3 + 0,1
= 206,4
5
Klassenuntergrenze der ersten Klasse: (Messgenauigkeit ist 0.1. Demzufolge ist die halbe
Messgenauigkeit ε=0.05)
a1 = x min − ε = 375,3 − 0,05 = 375,25
u
i
Ki
Hn(Ki)
hn(Ki)
H(i)
h(i)
1
375,25 bis 581,65
4
0,133
4
0,133
2
581,65 bis 788,05
7
0,233
11
0,366
3
788,05 bis 994,45
14
0,467
25
0,833
4
994,45 bis 1200,85
3
0,100
28
0,933
5
1200,85 bis 1407,25
2
0,067
30
1,000
7
12/2005
Deskriptive
Statistik (I)
Lösungen zu Übung 1
(Kap. 1.5)
Prof.
Dr.B.Grabowski
(Achtung: Üblicherweise ist die Skalierung der y-Achse in Histogrammen :
hn(Ki)/Klassenbreite. Aus Gründen der Übersichtlichkeit haben wir hier Hn(Ki) gewählt.
Das entstehende Bild ist bei beiden Skalen das gleiche).
8
12/2005
Deskriptive
Statistik (I)
Lösungen zu Übung 1
(Kap. 1.5)
Prof.
Dr.B.Grabowski
9
12/2005

Download Report