Satz 1 Für alle Mengen M und N gilt: M ⊕ N = (M ∪ N) \ (M ∩ N

Satz 1 Für alle Mengen M und N gilt:
M ⊕ N = (M ∪ N ) \ (M ∩ N ).
Beweis: Um die behauptete Gleichheit nachzuweisen, genügt der Nachweis der beiden Teilmengenbeziehungen (oder Inklusionen“)
”
M ⊕ N ⊆ (M ∪ N ) \ (M ∩ N ) und M ⊕ N ⊇ (M ∪ N ) \ (M ∩ N ).
⊆“ Wir zeigen die erste Inklusion, also M ⊕ N ⊆ (M ∪ N ) \ (M ∩ N ). Sei x ∈ M ⊕ N
”
beliebig. Wir müssen zeigen, dass x ∈ (M ∪ N ) \ (M ∩ N ) gilt.
Nach Definition der symmetrischen Differenz gilt M ⊕ N := (M \ N ) ∪ (N \ M ). Also
gilt x ∈ M \ N oder x ∈ N \ M . Wir unterscheiden zwischen den beiden Fällen.
Fall 1: Es gilt x ∈ M \ N . Nach Definition der Mengendifferenz ist x ∈ M und x 6∈ N .
Wegen x ∈ M gilt x ∈ M ∪N , denn M ist eine Teilmenge von M ∪N . Wegen x 6∈ N gilt
x 6∈ M ∩N , denn M ∩N ist eine Teilmenge von N . Nach Definition der Mengendifferenz
folgt x ∈ (M ∪ N ) \ (M ∩ N ) und die Inklusion ist in diesem Fall nachgewiesen.
Fall 2: Es gilt x ∈ N \ M . Die Argumentation verläuft wie in Fall 1, wenn die Rollen
von M und N vertauscht werden.
Damit sind alle möglichen Fälle abgedeckt.
⊇“ Wir zeigen die zweite Inklusion, also M ⊕ N ⊇ (M ∪ N ) \ (M ∩ N ). Sei x ∈ (M ∪ N ) \
”
(M ∩ N ) beliebig. Wir müssen zeigen, dass x ∈ M ⊕ N gilt.
Nach Definition der Mengendifferenz folgt x ∈ M ∪ N und x 6∈ M ∩ N . Wir unterscheiden, ob x ∈ M oder x ∈ N gilt.
Fall 1: Es gilt x ∈ M . Da x ∈ M und x 6∈ M ∩ N gilt, ist x kein Element von N .
Nach Definition der Mengendifferenz folgt x ∈ M \ N und insbesondere x ∈ (M \
N ) ∪ (N \ M ). Die Inklusion ist in diesem Fall nachgewiesen, denn nach Definition
M ⊕ N = (M \ N ) ∪ (N \ M ).
Fall 2: Es gilt x ∈ N . Die Argumentation verläuft wie in Fall 1, wenn die Rollen von
M und N vertauscht werden.
Damit sind alle möglichen Fälle abgedeckt.
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