Einführungsbeispiele für Extremwertaufgaben

Übe die Lösungsstrategie für Extremalprobleme !
Aufgabe
Gegeben ist eine Funktion f durch die Gleichung
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g(x)  x  9x
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Der Graph von f ist G (siehe Skizze).
Die Punkte O(0/0), P(– 4,5/0) und S(u/f(u)),
(u ∈ R mit – 4,5 ≤ u ≤ 0)
Sind Eckpunkte eines Dreiecks.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes S so,
dass der Flächeninhalt des Dreiecks OPS maximal wird.
Ermitteln Sie diesen Flächeninhalt.
Der letzte Weg des Bären Bruno
wird durch die Funktion f beschrieben.
Der Bär wandert gemächlich von links nach
rechts auf dem Graphen von f. Am Ort (1;0) sitzt
ein feiger Jäger, der Bruno genau dann erlegt,
wenn er von ihm die kleinste Entfernung hat. In
welchem Punkt wird Bruno getroffen?
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Maximale Rechteckfläche
Der Graph zu der Funktion mit f (x) = -x2 +16 und die x-Achse
schließen eine Fläche ein. In diese Fläche wird ein Rechteck so gelegt,
dass die Rechteckseiten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen.
Ermitteln Sie die Koordinaten der Eckpunkte desjenigen Rechtecks,
dessen Flächeninhalt maximal ist, und geben Sie den maximalen
Flächeninhalt an.
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Extremalprobleme
Da soll's doch in den Niederlanden einen Campingplatz, Mierenhoop" heißt
er, der mit handfesten Auflagen die Neuankömmlinge empfängt.
Jeder neue Camper bekommt 4 Flaggen und ein Tau von 30m Länge, mit
dem er ein rechteckiges Gebiet abzugrenzen hat. Dabei muss man wissen,
dass das Camping-Terrain an allen Seiten durch eine Hecke abgegrenzt ist.
Nehmen wir mal an, Du bist auch für ein möglichst großes Stückchen ,,
Freiheit ". Du suchst also das ,, Maximum an Freiheit", sprich die
größtmögliche Fläche, die du mit dem Seil eingrenzen kannst.
1) Du fährst in der Hauptsaison! Die Leute tummeln sich - für den
Campingplatzbesitzer die Chance zum großen Geld! Er verlangt, dass auch
die Hecke mit dem Seil abgetrennt wird. Wie sieht dann die größtmögliche
Fläche aus? Begründe!
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Extremalprobleme
Da soll's doch in den Niederlanden einen Campingplatz, Mierenhoop" heißt
er, der mit handfesten Auflagen die Neuankömmlinge empfängt.
Jeder neue Camper bekommt 4 Flaggen und ein Tau von 30m Länge, mit
dem er ein rechteckiges Gebiet abzugrenzen hat. Dabei muss man wissen,
dass das Camping-Terrain an allen Seiten durch eine Hecke abgegrenzt ist.
Nehmen wir mal an, Du bist auch für ein möglichst großes Stückchen ,,
Freiheit ". Du suchst also das ,, Maximum an Freiheit", sprich die
größtmögliche Fläche, die du mit dem Seil eingrenzen kannst.
2) Du fährst in der Vorsaison! Man kommt dir entgegen: Du brauchst die
Hecke nicht mit dem Seil abzutrennen, da man jetzt noch großzügig mit dem
Platz verfährt
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Extremalprobleme
Da soll's doch in den Niederlanden einen Campingplatz, Mierenhoop" heißt
er, der mit handfesten Auflagen die Neuankömmlinge empfängt.
Jeder neue Camper bekommt 4 Flaggen und ein Tau von 30m Länge, mit
dem er ein rechteckiges Gebiet abzugrenzen hat. Dabei muss man wissen,
dass das Camping-Terrain an allen Seiten durch eine Hecke abgegrenzt ist.
Nehmen wir mal an, Du bist auch für ein möglichst großes Stückchen ,,
Freiheit ". Du suchst also das ,, Maximum an Freiheit", sprich die
größtmögliche Fläche, die du mit dem Seil eingrenzen kannst.
3) Du fährst mit deinem Freund in der Vorsaison! Da wird noch freundlich mit
den Leuten umgesprungen. Für zwei befreundete Leutchen ist da noch
folgende Möglichkeit drin: Ihr dürft Eure beiden Seile zusammenknoten, und
ihr braucht die Hecke nicht mit dem Seil abzutrennen!
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Strategie beim Lösen von Extremwertaufgaben
1. Ich suche die Größe heraus, die extremal werden soll.
Das erkenne ich ganz einfach an den Worten maximal oder minimal
oder am größten oder am kleinsten.
Ich überlege, wie sie berechnet wird. Das ist dann die Hauptbedingung
und schreibe die dazugehörende Gleichung auf. Sie bestimmt das Ziel.
2. Ich suche nun heraus, welche Werte ich zur Berechnung der Extremalgröße
benötige. Diese sind in der Regel veränderlich, so dass ich diese Veränderung
wieder durch eine Gleichung festhalten muss die sich aus den gegebenen
Bedingungen schlussfolgern lässt. Diese nennt man Nebenbedingung.
3. Nun setze ich die nach meiner benötigten Größe umgestellte Nebenbedingung
in die Hauptbedingung ein und es sollte so sein, dass diese danach nur noch
von einer Veränderlichen abhängt. Wenn ich so die so genannte Zielfunktion
ermittelt habe, dann kann die Kurvendiskussion in gewohnter Weise erfolgen. 9
Übungen
LB. S. 153 Nr.2 S.169 Nr.29
S.169 Nr.27 Nr.28
S.190 Nr. 5
S.190 Nr. 4
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S.169 Nr.29
S.169 Nr.27 Nr.28
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S.190 Nr. 5
S.190 Nr. 4
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