geometrischer Körper

Vorlesungsübersicht Wintersemester 2015/16 Di 08-10 Audimax
Grundlegende Geometrie - Vorlesung mit integriertem Praxiskurs
Benötigte Materialien: Geometrieheft – DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier oder
Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere
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27.10.
03.11.
10.11.
17.11.
08.12.
01.12.
15.12.
22.12.
12.01.
19.01.
26.01.
• 09.02.
V1
V2
V3
V4
V5
V6
V7
V8
V9
V10
V11
Geometrie in der Grundschule
Räumliches Vorstellungsvermögen
Entwicklung geometrischen Denkens
Ebene Figuren - Vierecke
Ebene Figuren - Dreiecke
Ebene Figuren – Kreise und Vielecke
Körper - Überblick
Körper – Flächen, Netze, Bauen
Symmetrie; Parkettieren
Zeichnen und Konstruieren
Zusammenfassung
Klausur (08-10 Uhr Audimax, HS 1)
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V 7 Körper - Überblick
1 Unterrichtsinhalte
Rahmenplan Rheinland-Pfalz
Kernlehrplan Saarland
2 Kleine Körperkunde
2.1 Begriffe; Start
2.2 Ordnungskriterien
2.3 Körper und ihre Einordnung
2.4 Modelle von Körpern
3 Praxiskurs: „Schnelle Körper“
2
1 Unterrichtsinhalte
Rahmenplan Rheinland-Pfalz
Kernlehrplan Saarland
3
Rahmenplan Rheinland-Pfalz 2014
4
Kernlehrplan Saarland (ab 2009)
Kl. 1/2
• Körper erkennen, benennen und darstellen
– Würfel, Rolle, Kugel
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Kl. 3
• Körper und ebene Figuren erkennen, benennen und
darstellen
– Würfel, Quader, Zylinder, Kegel, Kugel, quadratische
Pyramide,
– Ecke, Kante, Fläche, rund, rechteckig, spitz
– Kantenmodelle, Netze, Abwicklungen
Kl. 4
• Geometrische Figuren erkennen, benennen und
darstellen
– Modelle von Körpern bauen
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2 Kleine Körperkunde
•Begriffe, Ordnungskriterien
•ausgewählte Körper und ihre
Merkmale
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2.1 Begriffe; Start
• Ein geometrischer Körper ist eine räumliche
Figur, die vollständig durch ebene oder
gekrümmte Flächen begrenzt wird.
• Sind Körper nur von ebenen Flächen begrenzt,
so werden sie auch Polyeder genannt. (polys:
griech. viel; edra: Boden, Fläche)
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• Die das Polyeder begrenzenden Vielecke
heißen Seitenflächen.
• Die Strecken, in denen je zwei Seitenflächen
zusammenstoßen, heißen Kanten, ihre
Endpunkte Ecken des Körpers.
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Friedrich Fröbel (1782-1852)
Spielgaben für den Kindergarten
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Körper in der Grundschule
Quader
quadrum (lat.) - viereckig
Skizziere die geometrischen Körper in dein Heft. (oder) Klebe die
Abbildungen ein und skizziere auf den Abbildungen nach.
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Körper - dargestellt in Kavalierperspektive
Skizziere die geometrischen Körper in dein Heft. (oder) Klebe die
Abbildungen ein und skizziere auf den Abbildungen nach.
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Verpackungen
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Von den Flächen zu den Körpern
Körper
aufschichten nach
der „FröbelGeometrie“
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Wie aus Flächen Körper werden
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2.2 Ordnungskriterien für Körper
a. Art der Begrenzungsflächen
b. Grund- und Deckfläche bzw. Spitze
c. Anzahl der Seitenflächen
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a. Art der Begrenzungsflächen
•nur ebene Begrenzungsflächen
•ebene und gekrümmte
Begrenzungsflächen
•nur gekrümmte
Begrenzungsflächen
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b. Grund- und Deckfläche bzw. Spitze



mit Grund- und Deckfläche
mit Grundfläche und Spitze
ohne Grund- und Deckfläche
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c. Anzahl der Seitenflächen
z.B.
• dreiseitige Körper
• sechsseitige Körper ...
Prisma
Pyramide
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gerade und schiefe Körper
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2.3 Körper und ihre Einordnung
Säulen, Spitzkörper, Kugel,
Platonische Körper
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(1) Säulen
Prismen (Quader, Würfel, …) und Zylinder
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Prismen
Bezeichnen Sie die Prismen genauer.
Abb. aus Matheprofis 4
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Prisma
• Grund- und Deckfläche sind kongruent und parallel
zueinander
• Seitenflächen sind Rechteckflächen
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Würfel und Quader
• Ein Würfel ist ein geometrischer Körper, der von
sechs zueinander kongruenten Quadraten begrenzt
wird.
– Umwelt: Spielwürfel, Brühwürfel (?), einzelne
Verpackungen, Pflastersteine,..
• Ein Quader ist ein geometrischer Körper, der von drei
Paaren zueinander kongruenter Rechtecke, die jeweils
in zueinander parallelen Ebenen liegen, begrenzt
wird.
– Umwelt: Verpackungen, Ziegelstein, Dominostein,
Zuckerwürfel, Gebäudeformen, ...
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Die Baukörper ohne Dach sind Säulen.
Matheprofis 4
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Zylinder
• wird begrenzt von zwei zueinander
kongruenten, parallelen Kreisflächen und
• einer gekrümmten Fläche, die bei einer
Abwicklung ein Rechteck ergibt.
– Umwelt: vielfältig zu entdecken, z. B. Stiele an
Arbeitsgeräten, auch häufig als Hohlzylinder
(Behälter, Rohre)
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(2) Spitzkörper
Kegel und Pyramiden
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Kegel
• wird begrenzt von einer Kreisfläche und
• einer gekrümmten Fläche, die bei einer
Abwicklung einen Kreisausschnitt ergibt.
• Umwelt: Straßenabsperrung (Pylon);
Turmdächer; Teile von Geräten u.
Werkstücken; Berge vulkanischen Ursprungs;
Haufen, der aus langsam rinnendem Sand
entsteht, Spielstein, …
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Pyramide
• Ein Körper heißt Pyramide, wenn er begrenzt wird
von
– einer n-eckigen Grundfläche und
– n Dreiecksflächen, die einen Punkt S (Spitze) gemeinsam
haben.
• Berühmte Grabstätten altägyptischer Könige sind gerade
Pyramiden mit quadratischer Grundfläche. Am bekanntesten sind
die Pyramiden, die am südlichen Rand Kairos liegen.
Cheopspyramide: Höhe 146,5 m; Länge 232,5 m.
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Die Ägypter hatten nur geringe theoretische Kenntnisse in der Geometrie.
Sie waren aber fähig, die riesigen regelmäßigen Pyramiden mit
quadratischer Grundfläche in Gizeh zu bauen.
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Pyramiden werden nach der Anzahl der
Seitenflächen unterschieden
Eine dreiseitige
Pyramide, deren
Kanten alle
gleichlang sind, heißt
Tetraeder.
eine Pyramide
mit einem
Quadrat bzw.
Rechteck als
Grundfläche
Eine Pyramide heißt
regelmäßig (regulär),
wenn die Grundfläche
ein regelmäßiges n-Eck
ist.
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(3) Kugel
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Kugel
• wird von einer gleichmäßig gekrümmten
Fläche begrenzt und
• alle Punkte der Kugeloberfläche haben vom
Kugelmittelpunkt den gleichen Abstand
• Umwelt: Ball, aber auch in Technik u. Natur:
Kugellager, Kugelgelenk, Himmelskörper,
Süßigkeiten, Schmuck, …
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(4) Platonische Körper
Regelmäßige Polyeder
Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder, Isokaeder
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Platonische Körper werden von ebenen kongruenten
Vielecken begrenzt.
Begrenzungsflächen
• gleichseitige Dreiecke
Tetraeder, Oktaeder, Ikosaeder
• regelmäßige Vierecke
Hexaeder (Würfel)
• regelmäßige Fünfecke
Euklid nannte diese Körper in
Dodekaeder
Die platonischen Körper werden alle
auch als Spielwürfel verwendet.
seinem Buch „Elemente“
platonische Körper.
Diesen Namen erhielten sie zu
Ehren des griechischen
Philosophen Plato, der aber mit
der Entdeckung dieser Körper
nichts zu tun hatte.
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Platonische Körper und ihre Netze
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2.4 Herstellen von Körpermodellen
Vollmodelle
Kantenmodelle
Flächenmodelle
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Herstellen von Modellen
• Vollmodelle: Formen der Körper aus Knete;
Schneiden aus Styropor, Kartoffeln
• Flächenmodelle: Polydronmatrial,
quadratische Pappen
(Bierdeckel)/Klebestreifen
• Kantenmodelle: Zahnstocher/Knetkügelchen (für die
Ecken besser: Erbsen in Wasser einweichen, werden später
wieder hart und sorgen für Haltbarkeit des Kantenmodells);
Ecken u. Kanten aus Faltpapier
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Ein Mobile aus platonischen Körpern
Quelle: Zahlenbuch, Klasse 4
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Herstellen eines Dodekaeders mit Hilfe der Zeichenuhr
• Stellt in Gruppenarbeit einen
Dodekaeder her.
• Ihr braucht 12 Zeichenuhren
und 12 Stück Fotokarton.
• 12 regelmäßige Fünfecke
zeichnen, die Zeichenuhr auf
Fotokarton kleben und
ausschneiden.
• ...
Quelle: Zahlenbuch (ältere Ausgabe), S. 77
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Flächenmodell aus Polydronmaterial
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Kantenmodelle
Ecken: s. Folie 42
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3 Praxiskurs: „Schnelle Körper“
Aus einem A-4 Blatt kann man Mantelflächen ganz
unterschiedlicher Körper formen. Betrachtet man die Mantelfläche
kann man sich die dazugehörende Grund- und Deckfläche und den
entsprechenden Körper vorstellen.
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• „schnelle“ Pyramiden
und schnelle Würfel
und Quader
Beispiel Pyramide
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• Fazit …
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