Ergänzung zu komplexe Zahlen

Ortskurven
Komplexe Funktionen einer komplexen Veränderlichen
Ergänzung zu komplexe Zahlen
Fakultät Grundlagen
Juli 2015
Fakultät Grundlagen
Ergänzung zu komplexe Zahlen
Ortskurven
Komplexe Funktionen einer komplexen Veränderlichen
Übersicht
1
Ortskurven
2
Komplexe Funktionen einer komplexen Veränderlichen
Ganze lineare Abbildung
Gebrochen lineare Abbildung
Fakultät Grundlagen
Ergänzung zu komplexe Zahlen
Ortskurven
Komplexe Funktionen einer komplexen Veränderlichen
Wechselstromkreis mit ohmschem und kapazitivem Widerstand (Parallelschaltung)
i(t)
u(t)
R
C
1 + ωRC
1
= 1 + ωC =
R
R
Z (ω)
Bei festen Werten für den
ohmschen Widerstand R
und die Kapazität C ergibt
sich für den komplexen
Widerstand die folgende
Abhängigkeit:
Z (ω) =
R
1 + ωRC
Durchläuft die Kreisfrequenz sämtliche Werte von 0 bis ∞, so bewegt sich
der komplexe Widerstandszeiger auf einer Kurve.
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Ortskurven
Komplexe Funktionen einer komplexen Veränderlichen
Wechselstromkreis mit ohmschem und kapazitivem Widerstand (Parallelschaltung)
Natur dieser Ortskurve:
h
i
1
R
1 · 1 + ωRC
+
Z (ω) =
= R 1
−
2
2 1 + ωRC
1 + ωRC
1 + ωRC
i
h
1 − ωRC
= R 12 + 12 ·
1 + ωRC
(?)
Der Quotient einer komplexen Zahl durch die zugehörige konjugiert komplexe Zahl hat stets den Betrag 1. (?)
1 − ωRC 1 + ωRC = 1 für alle ω
Ortskurve: Ausgehend von dem Punkt R
2 auf der reellen Achse wird eine
R
komplexe Zahl der Länge 2 abgetragen. Da ω ≥ 0 können nur negative
Imaginärteile auftreten. Damit bewegt sich der komplexe Widerstanszeiger
R
auf dem unteren Halbkreis mit Radius R
2 und Mittelpunkt ( 2 |0). Für ω = 0
ergibt sich der Punkt (R|0). Für ω → ∞ strebt Z (ω) gegen den Nullpunkt.
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Ortskurven
Komplexe Funktionen einer komplexen Veränderlichen
Wechselstromkreis mit ohmschem und kapazitivem Widerstand (Parallelschaltung)
Im 6
R
2
R
2r
R
-q
XX
H
@
A HXXX
A@HHHXXXXX
zq
X
A @
HH
A @
H
H
Uq
A
jq
H
@
Rq
@
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
...
..
.
...
...
...
...
...
..
...
..
.
....
.
.
....
...
...
....
....
.....
....
......
......
.
.......
.
.
.
.
.
.
........
........
.........
.........
.............
.........................................................
-
Re
Bei Parallelschaltung eines ohmschen und induktiven Widerstands erhält
man den unteren Halbkreis als Ortskurve des Widerstandszeigers.
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Ortskurven
Komplexe Funktionen einer komplexen Veränderlichen
Parameterdarstellungen von Kurven im Komplexen
Wir betrachten nun komplexwertige Funktionen, die von einer reellen Variablen – meist t genannt – abhängen.
z = z(t) ,
mit z ∈ C
und
t∈R
wobei ta ≤ t ≤ tb
Im
Stellt man z(t) in der Komponentenform dar, so erhält man:
z(t1 )
z(t) = x(t) + y (t)
z(t3 )
Re
wobei x(t) und y (t) zwei reelle Funktionen einer reellen Variablen sind.
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z(t)
z(t2 )
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Gerade
Im
eϕ
ϕ
g

z(t) = z0 + t · eϕ
z0
1
Re
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Durchläuft der Parameter t
sämtliche reelle Zahlen, so
bewegt sich der Zeiger z(t)
auf der gesamten Geraden.
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Kreis
Im
r et
t
z(t) = z0 + r · et
r
z0
Re
Fakultät Grundlagen
Durchläuft der Parameter t
den Bereich 0 ≤ t < 2 · π,
so bewegt sich der Zeiger z(t)
auf dem Kreis.
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Ellipse um Ursprung
z(t) = r1 ·et +r2 ·e−t = (r1 + r2 ) cos t+(r1 − r2 ) sin t ,
| {z }
| {z }
a
b
r1 6= r2
Im
z(t)
b
ϕ
a
Re
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Durchläuft der Parameter t
den Bereich 0 ≤ t < 2 · π,
so bewegt sich der Zeiger z(t)
auf der skizzierten Ellipse.
Dabei ist zu beachten, dass
der Parameter t nicht mit
dem eingezeichneten Winkel
ϕ übereinstimmt.
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Ganze lineare Abbildung
Gebrochen lineare Abbildung
Definition
Wir betrachten nun komplexwertige Funktionen bei denen auch die
unabhängige Variable komplex ist.
w = f (z);
z ∈ Df ⊂ C,
w ∈ Wf ⊂ C
Wählen wir die Komponentendarstellung, so gilt mit z = x + y
und w = u + v der Zusammenhang:
w = f (z) = u(x, y ) + v (x, y )
Solche funktionale Zusammenhänge lassen sich nicht in einer
Ebene oder in dreidimensionalen Anschauungsraum darstellen. Da
sowohl Definitions- als auch Bildbereich die Dimension zwei hat,
wäre zur Veranschaulichung ein vierdimensionaler Raum notwendig.
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Ganze lineare Abbildung
Gebrochen lineare Abbildung
Visualisierung
Um wenigstens eine gewisse Visualisierung (vgl. Einführung
Matrizenrechnung!) zu erzielen legen wir zwei komplexe
Zahlenebenen – gekennzeichnet als z- und w -Ebene –
nebeneinander. Zu Veranschaulichung der Funktion w = f (z)
markiert man zugeordnete Punkte in den beiden komplexen
Ebenen:
y
z-Ebene
z1
v
w = f (z)
z2
x
w -Ebene
w1
u
w3
z3
w2
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Ganze lineare Abbildung
Gebrochen lineare Abbildung
w =a·z +c
Bei der Funktion
w = f (z) = az + b
a, b ∈ C, konstant
bewirkt die Multiplikation mit a = r · e jϕ eine Drehstreckung mit
Drehwinkel ϕ und Streckungsfaktor r ; die Addition von b bedeutet
eine Translation (Verschiebung).
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Ortskurven
Komplexe Funktionen einer komplexen Veränderlichen
Ganze lineare Abbildung
Gebrochen lineare Abbildung
w = f (z) = (2 + j) · z + (2 − j)
a = 2 +  = r · e jϕ ⇒ Drehung um ϕa = arctan 12 √
≈ 0, 46 (≈ 26, 6◦ )
Streckung mit Faktor ra = 5
b =2−
⇒ Translation um (2 − )
z1 = 0 → w1 = 2 − 
z2 = 1 → w2 = 4
Spezielle
Punkte:
Fixpunkt:
z0
z3 = 1 +  → w3 = 3 + 2
z4 =  → w4 = 1 + 
−1 + 3
= (2 + )z0 + (2 − )
z0 =
2
v
z0 y
w3
w0
z3
w = f (z)
z4
w4
w2
z1
z2
x
u
w1
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Ortskurven
Komplexe Funktionen einer komplexen Veränderlichen
Ganze lineare Abbildung
Gebrochen lineare Abbildung
Abbildung durch die Funktion w = z1
Diese Abbildung stellt den Zusammenhang zwischen komplexem
Widerstand und Leitwert aus dem vorangegangenen Abschnitt dar.
Die Eigenschaften der Funktion f (z) = z1 erkennt man am besten
bei Darstellung von z und w in Exponentialform;
z = rz · e jϕz
⇒
w = rw · e jϕw =
1 −jϕz
e
rz
Die Abbildung erfolgt in 2 Schritten:
1. Schritt:
2. Schritt:
rw = r1z
ϕw = −ϕz
...
...
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Spiegelung am Einheitskreis“
”
Spiegelung an der reellen Achse“
”
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Ortskurven
Komplexe Funktionen einer komplexen Veränderlichen
Ganze lineare Abbildung
Gebrochen lineare Abbildung
Spiegelung am Einheitskreis
Im
B2
z
z0
Re
w
B1
Einheitskreis
z → z0 =
1
rz
· e jϕ = w ∗
Fakultät Grundlagen
Die
Tangentialpunkte
B1 , B2 auf dem Einheitskreis werden mit Hilfe
des Thaleskreises über
der Strecke Oz konstruiert.
Der gespiegelte
0
Punkt z ergibt sich als
ergibt sich als Schnitt
der Verbindungsgeraden
B1 B2 mit der Ursprungsgeraden Oz. Die Punkte
O, Bi z
ergeben ein
rechtwinkliges Dreieck.
Der Kathedensatz liefert
die Rechtfertigung für
die Spiegelung “.
”
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Ganze lineare Abbildung
Gebrochen lineare Abbildung
Ubergang zum konjugiert komplexen Wert (z 0 )∗ = w
y
v
6
7
w = z1
5
2
1
3
4
3
x
8
4
7
8
6
5
2
u
1
außerhalb des Einheitskreises ←→ innerhalb des Einheitskreises
oberhalb der reellen Achse
←→ unterhalb der reellen Achse
Die Fixpunkte der Gesamtabbildung sind z1,2 = ±1.
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Ganze lineare Abbildung
Gebrochen lineare Abbildung
w = f (z) = z1 ist kreistreu
{Kreise in z-Ebene} → {Kreise in w -Ebene}. Dabei werden Geraden als
Kreise mit Radius ∞ bzw. ”‘Kreise durch ∞”’ interpretiert.
z = x + y ,
w = u + v
1
1
z = w = u + v = 2 u 2 −  2 v 2
u +v
u +v
)
⇒ x=
u ,
u2 + v 2
y =−
Einsetzen in die allgemeine Kreisgleichung der z-Ebene
a(x 2 + y 2 ) + bx + cy + d = 0
ergibt nach kurzer Rechnung die allgemeine Kreisgleichung der w -Ebene:
Sonderfälle:
a = 0, d = 0
a = 0, d 6= 0:
a 6= 0, d = 0:
a 6= 0, d 6= 0:
d(u 2 + v 2 ) + bu − cv
bx + cy = 0
−→
d.h. Ursprungsgerade −→
Gerade nicht durch 0 −→
Kreis durch 0
−→
Kreis nicht durch 0
−→
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+a=0
bu − cv = 0
Ursprungsgerade
Kreis durch 0
Gerade nicht durch 0
Kreis nicht durch 0
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v
u2 + v 2
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Ganze lineare Abbildung
Gebrochen lineare Abbildung
Allgemeine gebrochen lineare Abbildung w =
az+b
cz+d
Umformung durch Polynomdivision
w=
a bc − ad
1
az + b
= +
·
cz + d
c
c
cz + d
Man kann die zugehörige Abbildung in zwei ganze lineare Abbildungen und
die Abbildung z1 zerlegen:
w (1) = cz + d
1
w (2) =
w (1)
a
bc − ad
· w (2) +
w = w (3) =
c
c
Beim Hintereinanderausführen der drei Teilabbildungen bleiben die Eigenschaften Kreistreue und Winkeltreue erhalten.
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Ganze lineare Abbildung
Gebrochen lineare Abbildung
Allgemeine gebrochen lineare Abbildung; Beispiel: w =
z
w
z +
w = f (z) = 1 + z
1
1
j
∞
y
-1
-1
-j
0
z+
1+z
0
j
v
w = f (z)
x
Einheitskreis
Inneres des Einheitskreises
u
−→
−→
Fakultät Grundlagen
reelle Achse
obere Halbebene
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