Balken an Wand Auf einer alten babylonischen Keilschrifttafel aus

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Geometrie
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
**
Balken an Wand
Auf einer alten babylonischen Keilschrifttafel aus der Zeit von
etwa 1700v.Chr. findet sich die folgende Aufgabe:
Ein Balken von 1gi Länge (das sind etwa 3m) steht an einer ebenfalls 1gi hohen Wand.
Wie weit wurde der Balken von der Wand weggezogen, wenn er
1
von oben gi herabgekommen ist?
5
2011 Thomas Unkelbach
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Geometrie
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
x: Länge der Strecke, um die der Balken von der Wand weggezogen wurde, in gi
2
4
9
 3 3
(P) x 2 +   = 12 ⇔ x 2 −
= 0 ; L = − ; 
25
 5
 5 5
Der Balken wurde
3
gi von der Wand weggezogen.
5
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
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Geometrie
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
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Baum am Fluss 1
Die obige Zeichnung stammt aus dem handgeschriebenen und reich bebilderten Rechenbuch des Fillipo CALANDRI aus dem Jahre 1491. Es wird in der Bibliothek von Florenz aufbewahrt.
Ein ursprünglich 60 Fuß hoher Baum ist umgeknickt. Er ragt jetzt über den 30 Fuß breiten Fluss. In welcher
Höhe ist der Baum umgeknickt?
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Geometrie
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
h: Höhe des Baumstumpfes in Fuß; (60-h): Höhe des abgeknickten Stückes in Fuß
(P) h 2 + 30 2 = (60 − h ) 2 ⇔ h − 22 12 = 0 ; L = {22 12}
Der Baum ist in einer Höhe von 22 12 Fuß abgeknickt.
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
***
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
***
Baum am Fluss 2
Die folgende Aufgabe stammt aus der Arithmetik des Chinesen CH'IN CHIU-SHAO (13. Jh. n.Chr.), die Abbildung aus einem Rechenbuch des 15. Jahrhunderts.
Ein ursprünglich 10 Fuß hoher Bambus ist so geknickt, dass seine Spitze 3 Fuß vom unteren Ende des Bambus
entfernt den Boden berührt. In welcher Höhe ist der Bambus abgeknickt?
2011 Thomas Unkelbach
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Geometrie
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
h: Höhe des Bambus in Fuß; (10-h): Höhe des abgeknickten Stückes in Fuß
(P) h 2 + 3 2 = (10 − h ) 2 ⇔ h − 4 11
= 0 ; L = {4 11
}
20
20
Der Bambus ist in einer Höhe von 4 11
Fuß abgeknickt.
20
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Schwierigkeit
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
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Brunnen zwischen den Türmen 1
Die obige Zeichnung stammt aus dem handgeschriebenen und reich bebilderten Rechenbuch des Fillipo CALANDRI aus dem Jahre 1491. Es wird in der Bibliothek von Florenz aufbewahrt.
Auf einem ebenen Feld stehen zwei Türme, einer 60 Fuß hoch, der andere 80 Fuß hoch. Ihr Abstand beträgt
100 Fuß. Für die beiden Vögel ist der Weg von der Turmspitze bis zu einem Brunnen zwischen den Türmen
gleich weit. Wie weit ist der Brunnen von den Türmen entfernt?
Tipp: Führe zwei Variablen ein.
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
***
d: Abstand des linken Turms vom Brunnen in Fuß; (100-d): Abstand des rechten Turms vom Brunnen in Fuß
s: Abstand der beiden Turmspitzen vom Brunnen in Fuß
(P) 60 2 + d 2 = s 2 ∧ 80 2 + (100 − d ) 2 = s 2 ⇒ 60 2 + d 2 = 80 2 + (100 − d ) 2 ⇔ d − 64 = 0 ; L = {64}
Der linke Turm steht 64 Fuß und der rechte 36 Fuß vom Brunnen entfernt.
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
***
Brunnen zwischen den Türmen 2
Die folgende Aufgabe stammt aus der 'Coß' des Christoff RUDOLFF (1553).
Zween Thurn stehen auff einer ebenen velde 60 eln von ein ander. Der ein ist 50 eln hoch der ander 40 eln
hoch. Zwischen den zweyen Thurnen steht ein Brunne gleych weyt von den spitzen der zweyen Thurnen. Ist die
frag wie fern steht der Brunne vnden von yedem Thurn?
Tipp: Führe zwei Variablen ein.
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
***
d: Abstand des linken Turms vom Brunnen in Ellen; (60-d): Abstand des rechten Turms vom Brunnen in Ellen
s: Abstand der beiden Turmspitzen vom Brunnen in Ellen
(P) 50 2 + d 2 = s 2 ∧ 40 2 + (60 − d) 2 = s 2 ⇒ 50 2 + d 2 = 40 2 + (60 − d) 2 ⇔ d = 22 12 ; L = {22 12 }
Der linke Turm steht 22 12 Ellen und der rechte 37 12 Ellen vom Brunnen entfernt.
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
*
Diagonale im Quadrat
a) Ein Quadrat hat die Seitenlänge a = 6cm . Berechne die Diagonalenlänge d .
b) Stelle den Term d (a ) auf, mit dem man allgemein in einem Quadrat aus der Seitenlänge a die Diagonalenlänge d berechnen kann. Hinweis: Diese „Formel“ findet man in allen Formelsammlungen.
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I – Anwendungsaufgaben
a) d: Diagonalenlänge in cm
{
(P) 6 2 + 6 2 = d 2 ⇔ d 2 − 72 = 0 ; L = − 6 2 ; 6 2
Die Diagonalenlänge beträgt 6 2cm ≈ 8,5cm .
b) a: Seitenlängen; d: Diagonalenlänge
(P) a 2 + a 2 = d 2 ⇒ d 2 = 2a 2 ⇒ d = 2a 2 = a 2
Der Term lautet d (a ) = a 2 .
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}
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*
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
*
Diagonale im Rechteck
a) Ein Rechteck hat die Seitenlängen a = 6cm und b = 3cm . Berechne die Diagonalenlänge d .
b) Stelle den Term d (a ; b) auf, mit dem man allgemein in einem Rechteck aus den Seitenlängen a und b die
Diagonalenlänge d berechnen kann. Hinweis: Diese „Formel“ findet man in allen Formelsammlungen.
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I – Anwendungsaufgaben
a) d: Diagonalenlänge in cm
{
(P) 6 2 + 3 2 = d 2 ⇔ d 2 − 45 = 0 ; L = − 3 5; 3 5
Die Diagonalenlänge beträgt 3 5cm ≈ 6,7 cm .
b) a, b: Seitenlängen; d: Diagonalenlänge
(P) a 2 + b 2 = d 2 ⇒ d = a 2 + b 2
Der Term lautet d (a ; b) = a 2 + b 2 .
2011 Thomas Unkelbach
}
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*
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
***
Echolot
Ein Schiff bestimmt die Wassertiefe mittels Echolot.
Schallsender und Schallempfänger sind im Abstand
von 10m am Schiffsboden angebracht.
Wie weit über Grund befindet sich dieser, wenn ein
ausgesandtes Signal bei einer Schallgeschwindigkeit in
m
Wasser von 1500
nach 0,1s wieder empfangen
s
wird?
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Geometrie
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
m
⋅ 0,1s = 150m
s
h: Länge der Strecke SB in m; (150-h): Länge der Strecke BE in m
s: Länge des Streckenzugs S-B(oden)-E in m; es gilt s = v ⋅ t = 1500
(P) h 2 + 10 2 = (150 − h) 2
2
⇔ h = 74 23 ; L = {74 23}
Das Schiff befindet sich 74 23 m über Grund.
2011 Thomas Unkelbach
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***
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
***
Eckschrank
Ein Eckschrank aus einer Anbauserie hat nach dem Prospekt eine Schenkellänge von 70cm und eine seitliche
Tiefe von 37cm. Im Prospekt wird die Breite AD mit 100cm und die Breite BC mit 45cm angegeben. Prüfe
die Angaben des Prospekts kritisch nach.
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Geometrie
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
b 1 : Breite AD in cm
{
(P) 70 2 + 70 2 = b 12 ⇔ b1 2 − 9600 = 0 ; L = − 70 2 ; 70 2
}
Die Breite AD beträgt 70 2cm ≈ 99cm .
b 2 : Breite BC in cm
{
(P) ( 70 − 37) 2 + ( 70 − 37) 2 = b 2 2 ⇔ b 2 2 − 2178 = 0 ; L = − 33 2 ; 33 2
Die Breite BC beträgt 33 2cm ≈ 46,7cm .
2011 Thomas Unkelbach
}
Schwierigkeit
***
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
*
Giebel 1
In der obenstehenden Abbildung ist die Giebelseite eines Hauses gezeigt. Berechne die Entfernung der Punkte
A und S.
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
d: Länge der Strecke AS in m
(P) (
{
18 2
) + ( 6 + 4) 2 = d 2 ⇔ d 2 − 181 = 0 ; L = − 181; 181
2
Die Strecke AS ist 181m ≈ 13,5m lang.
2011 Thomas Unkelbach
}
Schwierigkeit
*
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
***
Giebel 2
In der obenstehenden Abbildung ist die Giebelseite des Daches eines älteren Hauses gezeigt. Berechne die Längen x und y.
Tipp: Berechne zuerst die Länge n der beiden eingezeichneten Hilfslinien in Abhängigkeit von x bzw. y.
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
***
Für die Länge h1 der vertikalen Hilfslinie gilt als Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge x und
1
dem Satz des PYTHAGORAS: h 1 =
3 x.
2
Für die Länge h2 der horizontalen Hilfslinie gilt als Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge y
1
und dem Satz des PYTHAGORAS: h 2 =
3 y.
2
Damit ergibt sich das Lineare Gleichungssystem
1
1
3 x + y = 4,80 und
2
2
1
1
1
3 y + x = ⋅ 10,80 = 5,40
2
2
2
und daraus x = ( 4,8 3 − 5,4) m ≈ 2,9 m und y = (5,4 3 − 4,8) m ≈ 4,6 m .
2011 Thomas Unkelbach
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
***
Glocke
In einem Glockenturm hängt das Seil zum Läuten der Glocke. Wenn man das Ende des Seils um 2m
seitlich aus der Ruhelage bewegt, so hebt sich das Seilende dabei um 10cm. Berechne die Länge des
Glockenseils.
2011 Thomas Unkelbach
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Geometrie
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
l : Länge des Seils in m
(P) ( l − 0,1) 2 + 2 2 = l 2 ⇔ l = 20,05 ; L = {20,05}
Das Seil ist 20,05m lang.
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
***
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Geometrie
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
*
Höhe im Gleichschenkligen Dreieck
a) Ein Gleichschenkliges Dreieck hat die Seitenlängen a = 6cm und c = 5cm . Berechne die Höhenlänge h .
b) Stelle den Term h ( a; c) auf, mit dem man allgemein in einem Gleichschenkligen Dreieck aus den Seitenlängen a und c die Höhenlänge h berechnen kann. Hinweis: Diese „Formel“ findet man in allen Forme lsammlungen.
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Geometrie
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I – Anwendungsaufgaben
a) h: Höhenlänge in cm
2
6
(P) h +   = 5 2 ⇔ h 2 − 16 = 0 ; L = {− 4; 4}
2
2
Die Höhenlänge beträgt 4cm .
b) a, c: Seitenlängen; h: Höhenlänge
2
 c
c 
(P) h 2 +   = a 2 ⇒ h = a 2 −  
2
2
2
 c
Der Term lautet h ( a; c ) = a −   .
 2
2
2011 Thomas Unkelbach
2
Schwierigkeit
*
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Geometrie
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
*
Höhe im Gleichseitigen Dreieck
a) Ein Gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge a = 6cm . Berechne die Höhenlänge h .
b) Stelle den Term h ( a; c) auf, mit dem man allgemein in einem Gleichseitigen Dreieck aus der Seitenlänge a
die Höhenlänge h berechnen kann. Hinweis: Diese „Formel“ findet man in allen Formelsammlungen.
2011 Thomas Unkelbach
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Schwierigkeit
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I – Anwendungsaufgaben
*
a) h: Höhenlänge in cm
{
2
6
(P) h 2 +   = 6 2 ⇔ h 2 − 27 = 0 ; L = − 3 3; 3 3
2
}
Die Höhenlänge beträgt 3 3cm ≈ 5,2cm .
b) a: Seitenlängen; h: Höhenlänge
2
2
a2
a 
a 
(P) h 2 +   = a 2 ⇒ h = a 2 −   = a 2 −
=
4
2
2
Der Term lautet h ( a ) =
a
3.
2
2011 Thomas Unkelbach
4a 2 a 2
−
=
4
4
3a 2 a
=
3
4
2
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
***
Interessantes zum Parallelogramm
Beweise mit Hilfe der Zeichnung, dass in jedem Parallelogramm gilt 2a 2 + 2b 2 = e 2 + f 2 .
Tipp: b 2 , e 2 und f 2 lassen sich als Hypotenusenquadrate auffassen.
2011 Thomas Unkelbach
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Geometrie
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I – Anwendungsaufgaben
In dem Recht winkligen Dreieck BFC gilt
(P) d 2 + h 2 = b 2 (1)
In dem Recht winkligen Dreieck AFC gilt
(P) ( a + d) 2 + h 2 = e 2 (2)
In dem Recht winkligen Dreieck EBD gilt
(P) ( a − d ) 2 + h 2 = f 2 (3)
Addieren der Gleichungen (2) und (3) liefert
e 2 + f 2 = ( a + d) 2 + h 2 + (a − d) 2 + h 2 = ... = 2a 2 + 2d 2 + 2 h 2 = 2a 2 + 2 ⋅ ( d 2 + h 2 )
Einsetzen von (1) d 2 + h 2 = b 2 liefert e 2 + f 2 = 2a 2 + 2 b 2
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
***
Bereich
Geometrie
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
***
Interessantes zur Raute
Beweise mit Hilfe der Zeichnung, dass in jeder Raute gilt 4a 2 = e 2 + f 2 .
Tipp: Es gibt mindestens zwei verschiedene Beweismöglichkeiten; beide sind angedeutet.
2011 Thomas Unkelbach
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Geometrie
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I – Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
***
1. Möglichkeit: Ist M der Schnittpunkt der beiden Diagonalen der Raute, dann gilt in dem Rechtwinkligen
Dreieck AMD
e
f
e2 f 2
e2 + f 2
(P)   +   = a 2 ⇔
+
= a2 ⇔
= a 2 ⋅ 4 ⇔ e 2 + f 2 = 4a 2
2
2
4
4
4
   
2
2
2. Möglichkeit: In dem Rechtwinkligen Dreieck AEC gilt
(P) e 2 + f 2 = ( 2a ) 2 ⇔ e 2 + f 2 = 4a 2
2011 Thomas Unkelbach
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
*
Leiter an Hauswand A
Eine 5m lange Leiter wird auf einen horizontalen Untergrund gestellt und an eine Hauswand gelehnt. Ihr unteres Ende hat von der Wand den Abstand 80cm.
In welcher Höhe berührt sie die Wand?
2011 Thomas Unkelbach
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Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
h: Höhe, in der die Leiter die Wand berührt, in m
{
}
(P) h 2 + 0,80 2 = 5,00 2 ⇔ h 2 − 24,36 = 0 ; L = − 24,36 ; 24,36
Die Leiter berührt die Wand in einer Höhe von
2011 Thomas Unkelbach
24,36m ≈ 4,94m .
Schwierigkeit
*
Bereich
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
*
Leiter an Hauswand B
Eine Leiter von 3,60m Länge ist so an eine Hauswand gestellt, dass ihre unteren Holmenden einen Abstand von 1,00m von der Hauswand haben.
In welcher Höhe berührt sie die Wand?
2011 Thomas Unkelbach
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Geometrie
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
h: Höhe, in der die Leiter die Wand berührt, in m
{
(P) h 2 + 1,00 2 = 3,60 2 ⇔ h 2 − 11,96 = 0 ; L = − 11,96 ; 11,96
Die Leiter erreicht eine Höhe von
}
11,96m ≈ 3,49m an der Hauswand.
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Schwierigkeit
*
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
***
Leiter an Wand A
Bereits in einem altbabylonischen Text um 2000 v.Chr. findet sich das Problem der 'angelehnten Leiter', die
Abbildung stammt aus dem 15. Jahrhundert:
Eine Leiter steht an einer Wand, die so hoch wie die Leiter ist. Wird nun die Leiter von der Wand weggezogen,
so dass oben 3Ellen frei sind, steht die Leiter am Boden 9Ellen von der Wand entfernt. Wie lang ist die Leiter?
2011 Thomas Unkelbach
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Geometrie
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
h: Höhe der Wand und gleichzeitig Länge der Leiter in Ellen.
(P) ( h − 3) 2 + 9 2 = h 2 ⇔ h = 15 ; L = {15}
Die Wand ist 15Ellen hoch, die Leiter ebenfalls 15Ellen lang.
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
***
Bereich
Geometrie
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
***
Leiter an Wand B
Bereits in einem altbabylonischen Text um 2000 v.Chr. findet sich das Problem der 'angelehnten Leiter', die
Abbildung stammt aus dem 15. Jahrhundert:
Eine Leiter steht an einer Wand, die so hoch wie die Leiter ist. Wird nun die Leiter von der Wand weggezogen,
so dass oben 1 12 Ellen frei sind, steht die Leiter am Boden 4 12 Ellen von der Wand entfernt. Wie lang ist die Leiter?
2011 Thomas Unkelbach
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Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
h: Höhe der Wand und gleichzeitig Länge der Leiter in Ellen.
(P) ( h − 1 12 ) 2 + 4 12 = h 2 ⇔ h = 7 12 ; L = {7 12 }
2
Die Wand ist 7 12 Ellen hoch, die Leiter ebenfalls 7 12 Ellen lang.
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
***
Bereich
Geometrie
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
***
Schale A
In einer Kugelschale mit dem Radius R = 1,8m hat der Flüssigkeitsspiegel den Durchmesser s = 5,12m .
Berechne die Flüssigkeitstiefe t.
2011 Thomas Unkelbach
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Geometrie
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
t: Flüssigkeitstiefe in m
1
(P) ( ⋅ 5,12 ) 2 + (1,8 − t ) 2 = 1,8 2 ⇔ t 2 − 3,6 t + 1,28 = 0 ; L = {0,4; 3,2}
2
Die Flüssigkeitstiefe beträgt 0,4m .
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
***
Bereich
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
***
Schale B
In einer Kugelschale mit dem Radius R = 8cm hat der Flüssigkeitsspiegel den Durchmesser s = 8 3cm .
Berechne die Flüssigkeitstiefe t.
2011 Thomas Unkelbach
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Geometrie
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
t: Flüssigkeitstiefe in m
1
(P) ( ⋅ 8 3 ) 2 + (8 − t ) 2 = 8 2 ⇔ t 2 − 16 t + 48 = 0 ; L = {4; 12}
2
Die Flüssigkeitstiefe beträgt 4cm .
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
***
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
***
Schilfrohr
Die folgende Aufgabe stammt aus der Arithmetik des Chinesen CH'IN CHIU-SHAO (13.Jh. n.Chr.).
5 Fuß vom Ufer eines Teichs entfernt ragt ein Schilfrohr einen Fuß über das Wasser empor. Zieht man seine
Spitze an das Ufer, so berührt sie gerade den Wasserspiegel. Wie tief ist der Teich?
2011 Thomas Unkelbach
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Geometrie
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
t: Tiefe des Teichs in Fuß; (t+1): Höhe des Schilfrohres in Fuß
(P) t 2 + 5 2 = ( t + 1) 2
2
⇔ t = 12 ; L = {12}
Der Teich ist 12 Fuß tief.
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
***
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
**
Schrank 1
Ein Schrank wurde in ein Dachzimmer getragen, das
2,20m hoch ist. Der Schrank ist 2,05m hoch, 95cm
breit und 55cm tief.
Kann man ihn aufstellen, wenn man ihn
a) über die Seitenkante
b) über die Vorderkante kippt?
2011 Thomas Unkelbach
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Geometrie
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
a) d: Länge der Diagonalen beim Kippen über die Seitenkante in m
{
(P) 2,05 2 + 0,952 = d 2 ⇔ d 2 − 5,105 = 0 ; L = − 5,105 ; 5,105
}
Nein, denn die Diagonale beim Kippen über die Seitenkante hat die Länge
5,105m ≈ 2, 26m .
b) d: Länge der Diagonalen beim Kippen über die Vorderkante in m
{
}
(P) 2,05 2 + 0,55 2 = d 2 ⇔ d 2 − 4,505 = 0 ; L = − 4,505; 4,505
Ja, denn die Diagonale beim Kippen über die Vorderkante hat die Länge
2011 Thomas Unkelbach
4,505m ≈ 2,12m .
Schwierigkeit
**
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
**
Schrank 2A
Wie hoch darf der Schrank in der obenstehenden Abbildung höchstens sein, damit man ihn wie angegeben aufstellen kann?
2011 Thomas Unkelbach
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Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
h: Höhe des Schranks in m
{
(P) h 2 + 0,6 2 = 2,4 2 ⇔ h 2 − 5, 4 = 0 ; L = − 5,4 ; 5,4
Der Schrank darf höchstens
}
5,4 m ≈ 2,32m hoch oder breit sein.
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
**
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
*
Seil zwischen den Türmen
Ein 14m hoher Tur m und ein 2m hoher Turm sollen an ihren höchsten Stellen mit einem Seil verbunden werden. Die Türme stehen 8m voneinander entfernt. Bestimme, wie lang das Seil mindestens sein muss.
2011 Thomas Unkelbach
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Geometrie
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
x: Länge des Seils in m
{
(P) 8 2 + (14 − 2) 2 = x 2 ⇔ x 2 − 208 = 0; L = − 4 13 ; 4 13
Das Seil muss mindestens 4 13m ≈ 14,42m lang sein.
2011 Thomas Unkelbach
}
Schwierigkeit
*
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
*
Sendemast
Um einen Sendemast zu befestigen, werden Stahlseile in 50m Höhe am Mast angebracht und in 40m Entfernung vom Fuß des Mastes verankert. Wie lang sind die Stahlseile in gespanntem Zustand?
2011 Thomas Unkelbach
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Geometrie
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
l : Länge der Seile in m
{
(P) 50 2 + 40 2 = l 2 ⇔ l 2 − 4100 = 0 ; L = − 10 41; 10 41
Die Seile sind 10 41m ≈ 64 m lang.
2011 Thomas Unkelbach
}
Schwierigkeit
*
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
***
Sichtweite 1
a) Die Erde ist näherungsweise eine Kugel mit dem Radius R = 6370km . Wie weit kann ein Beobachter aus
der Höhe h im Idealfall sehen? Zeige, dass für die Sichtweite s gilt s = 2 Rh + h 2 . Warum kann man als
'Faustformel' s = 2Rh benutzen?
b) Berechne die Sichtweiten für die Höhen h = 0,8m (Kajak), h = 2,2m (Segeljacht), h = 12m (Frachtschiff),
h = 90m (Bohrinsel) und h = 1000m (Flugzeug).
c) Wie weit ist ein Schiff mindestens entfernt, dessen 20m hohe Mastspitze für einen Beobachter mit der Augenhöhe 1,6m gerade 'hinter dem Horizont' verschwindet?
2011 Thomas Unkelbach
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
***
a) (P) R 2 + s 2 = ( R + s ) 2 ⇒ s = 2Rh + h 2 .
Da in der Formel s = 2 Rh + h 2 die Größe h2 im Verhältnis zur Größe 2Rh immer sehr klein ist, kann man
diese vernachlässigen und es gilt s = 2Rh + h 2 ≈ 2Rh .
b) s ≈ 3,2km ; s ≈ 5,3km ; s ≈ 8,0km ; s ≈ 12km ; s ≈ 34km ; s ≈ 113km
c) s1 : Länge der Strecke vom Beobachter bis zum Horizont in km
s2 : Länge der Strecke vom Schiff bis zum Horizont in km
s = s 1 + s 2 : Länge der Strecke vom Beobachter bis zum Schiff in km
Wie in b) errechnen sich s 1 ≈ 4,5 km , s 2 ≈ 16,0km , also s ≈ 20,5km .
2011 Thomas Unkelbach
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
**
Sperrholzplatte
Passt eine 2,40m lange, 1,85m breite und 3cm
starke rechteck ige Sperrholzplatte durch eine
1,20m breite und 1,40m hohe rechteckige Fensteröffnung?
2011 Thomas Unkelbach
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
**
d: Länge der Diagonalen der Fensteröffnung in m
{
(P) 1,20 2 + 1,40 2 = d 2 ⇔ d 2 − 3,4 = 0 ; L = − 3,4 ; 3, 4
}
Die Spanplatte passt nicht durch die Fensteröffnung, da die Diagonale der Fensteröffnung
ist.
2011 Thomas Unkelbach
3,4 m ≈ 1,84m lang
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
**
Steigung A
Die Steigung einer ansteigenden Straße AB wird als Verhältnis des Höhenunterschieds h zur horizontal gemessenen Entfernung e angegeben. Ist z.B. h = 20m und e = 800m , so beträgt die Steigung
h
20m
1
=
=
= 2 ,5 % .
e 800 m 40
a) Aus einer Karte entnimmt man die horizontale Entfernung e = 2,5km und die Steigung 8%. Wie groß ist
der Höhenunterschied h und wie lang ist die Straße AB ? Runde auf Meter.
b) Auf einem Straßenschild steht die Länge der Straße AB = 12,4km und die Steigung 5%. Wie groß sind die
horizontale Entfernung e und der Höhenunterschied h? Runde auf Meter.
2011 Thomas Unkelbach
Bereich
Geometrie
a)
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
**
h
= 8% ⇔ h = e ⋅ 8% ⇔ h = 0, 2km ; l : Länge der Straße in km
e
{
(P) 0,2 2 + 2,5 2 = l 2 ⇔ l 2 − 6,29 = 0 ; L = − 6, 29; 6,29
Die Länge der Straße beträgt
}
6,29km ≈ 2,508km .
b) e: Horizontale Entfernung in km; 5% ⋅ e : Höhenunterschied in km
{
(P) ( 0,05 ⋅ e) 2 + e 2 = 12,4 2 ⇔ e 2 − 153,38 = 0 ; L = − 153,38 ; 153,38
Die Horizontale Entfernung beträgt
2011 Thomas Unkelbach
}
153,38km ≈ 12,380km , der Höhenunterschied ca. 0,619km = 619m .
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
**
Steigung B
Die Steigung einer ansteigenden Straße AB wird als Verhältnis des Höhenunterschieds h zur horizontal gemessenen Entfernung e angegeben. Ist z.B. h = 20m und e = 800m , so beträgt die Steigung
h
20m
1
=
=
= 2 ,5 % .
e 800 m 40
a) Aus einer Karte entnimmt man die horizontale Entfernung e = 2,5km und die Steigung 4%. Wie groß ist
der Höhenunterschied h und wie lang ist die Straße AB ? Runde auf Meter.
b) Auf einem Straßenschild steht die Länge der Straße AB = 6,2km und die Steigung 5%. Wie groß sind die
horizontale Entfernung e und der Höhenunterschied h? Runde auf Meter.
2011 Thomas Unkelbach
Bereich
Geometrie
a)
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
**
h
= 4% ⇔ h = e ⋅ 4% ⇔ h = 0,1km ; l : Länge der Straße in km
e
{
(P) 0,12 + 2,5 2 = l 2 ⇔ l 2 − 6,26 = 0 ; L = − 6,26 ; 6,26
Die Länge der Straße beträgt
}
6,26km ≈ 2,502km .
b) e: Horizontale Entfernung in km; 5% ⋅ e : Höhenunterschied in km
{
(P) ( 0,05 ⋅ e) 2 + e 2 = 6, 2 2 ⇔ e 2 − 38,34 = 0 ; L = − 38,34 ; 38,34
Die Horizontale Entfernung beträgt
2011 Thomas Unkelbach
}
38,34km ≈ 6,190km , der Höhenunterschied ca. 0,310km = 310 m .
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
**
Steigung C
Die Steigung einer ansteigenden Straße AB wird als Verhältnis des Höhenunterschieds h zur horizontal gemessenen Entfernung e angegeben. Ist z.B. h = 20m und e = 800m , so beträgt die Steigung
h
20m
1
=
=
= 2 ,5 % .
e 800 m 40
a) Aus einer Karte entnimmt man die horizontale Entfernung e = 12km und die Steigung 6%. Wie groß ist der
Höhenunterschied h und wie lang ist die Straße AB ? Runde auf Meter.
b) Auf einem Straßenschild steht die Länge der Straße AB = 6,2km und die Steigung 10%. Wie groß sind die
horizontale Entfernung e und der Höhenunterschied h? Runde auf Meter.
2011 Thomas Unkelbach
Bereich
Geometrie
a)
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
**
h
= 6% ⇔ h = e ⋅ 6% ⇔ h = 0,72km ; l : Länge der Straße in km
e
{
(P) 0,72 2 + 12 2 = l 2 ⇔ l 2 − 144,5184 = 0 ; L = − 144,5184; 144,5184
Die Länge der Straße beträgt
}
144,5184km ≈ 12,022km .
b) e: Horizontale Entfernung in km; 10% ⋅ e : Höhenunterschied in km
{
(P) ( 0,1 ⋅ e) 2 + e 2 = 6,2 2 ⇔ e 2 − 38,06 = 0 ; L = − 38,06 ; 38,06
Die Horizontale Entfernung beträgt
2011 Thomas Unkelbach
}
38,06 km ≈ 6,169 km , der Höhenunterschied ca. 0,617km = 617m .
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
**
Steigung D
Die Steigung einer ansteigenden Straße AB wird als Verhältnis des Höhenunterschieds h zur horizontal gemessenen Entfernung e angegeben. Ist z.B. h = 20m und e = 800m , so beträgt die Steigung
h
20m
1
=
=
= 2 ,5 % .
e 800 m 40
a) Aus einer Karte entnimmt man die horizontale Entfernung e = 12km und die Steigung 9%. Wie groß ist der
Höhenunterschied h und wie lang ist die Straße AB ? Runde auf Meter.
b) Auf einem Straßenschild steht die Länge der Straße AB = 6,2km und die Steigung 7,5%. Wie groß sind
die horizontale Entfernung e und der Höhenunterschied h? Runde auf Meter.
2011 Thomas Unkelbach
Bereich
Geometrie
a)
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
**
h
= 9% ⇔ h = e ⋅ 9% ⇔ h = 1,080km ; l : Länge der Straße in km
e
{
(P) 1,08 2 + 12 2 = l 2 ⇔ l 2 − 145,1664 = 0 ; L = − 145,1664; 145,1664
Die Länge der Straße beträgt
}
145,1664km ≈ 12,049km .
b) e: Horizontale Entfernung in km; 7,5% ⋅ e : Höhenunterschied in km
{
(P) ( 0,075 ⋅ e) 2 + e 2 = 6, 2 2 ⇔ e 2 − 38,22 = 0 ; L = − 38,22 ; 38,22
Die Horizontale Entfernung beträgt
2011 Thomas Unkelbach
}
38, 22km ≈ 6,183km , der Höhenunterschied ca. 0,464km = 464m .
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
**
Strohhalm
Wie weit ragt ein 20cm langer Strohhalm mindestens aus der Dose, wenn diese
11cm hoch ist und einen Durchmesser von 6cm hat?
2011 Thomas Unkelbach
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
**
l : Länge des Strohhalms in der Dose in cm
{
(P) 6 2 + 112 = l 2 ⇔ l 2 − 157 = 0 ; L = − 157 ; 157
Die Länge des Strohhalms in der Dose beträgt
halms aus der Dose.
2011 Thomas Unkelbach
}
157cm ≈ 12,5cm , also ragen mindestens ca. 7,5cm des Stroh-
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
**
Tischplatte
Kann man eine 3cm dicke kreisförmige Tischplatte von
2,10m Durchmesser durch eine Türöffnung transportieren,
die nur 2m hoch und 1m breit ist?
2011 Thomas Unkelbach
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
**
d: Länge der Diagonalen der Türöffnung in m
{
(P) 2 2 + 12 = d 2 ⇔ d 2 − 5 = 0 ; L = − 5; 5
}
Die Tischplatte passt durch die Türöffnung, da die Diagonale der Türöffnung
der Tischplatte kann man in diesem Fall vernachlässigen.
2011 Thomas Unkelbach
5m ≈ 2,24m lang ist. Die Dicke
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
*
Trampelpfad
An einer unbebauten Straßenecke ist ein Trampelpfad entstanden.
Wie lang ist die Abkürzung von P nach Q? Wie viel Meter spart man durch die Abkürzung?
2011 Thomas Unkelbach
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
d: Länge der Strecke PQ in m
{
(P) 50 2 + 30 2 = d 2 ⇔ d 2 − 3400 = 0 ; L = − 10 34 ; 10 34
}
Die Strecke PQ ist 10 34 m ≈ 58,3m lang. Man spart durch sie ca. 50m + 30m − 58,3m = 21,7 m
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
*
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
*
Turm am Fluss
Die obige Zeichnung stammt aus dem handgeschriebenen und reich bebilderten Rechenbuch des Fillipo CALANDRI aus dem Jahre 1491. Es wird in der Bibliothek von Florenz aufbewahrt.
Ein Turm am Fluss ist 40 Fuß hoch, der Fluss ist 30 Fuß breit. Wie lang ist das Seil?
2011 Thomas Unkelbach
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
l : Länge des Seils in Fuß
(P) 40 2 + 30 2 = l 2 ⇔ l 2 − 2500 = 0 ; L = {− 50; 50}
Das Seil ist 50 Fuß lang.
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
*
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
**
Wärmeausdehnung
Fließt elektrischer Strom durch einen Draht, so wird dieser erwärmt. Dadurch verlängert sich der Draht und ein
angehängter Körper sinkt. Berechne die Längenänderung eines ursprünglich 50cm langen Drahtes, wenn der
Körper um 2cm, 4cm bzw. 8cm sinkt.
2011 Thomas Unkelbach
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
**
l : Länge des erwärmten Drahtes in cm bei einem Absinken des angehängten Körpers um 2cm
(P) (
{
50 2
l
) + 2 2 = ( ) 2 ⇔ l 2 − 2516 = 0 ; L = − 2 629 ; 2 629
2
2
}
Der erwärmte Draht hat eine Länge von 2 629cm ≈ 50,16cm , die Längenänderung beträgt also ca. 0,16cm .
Entsprechend ergeben sich bei einem Absinken des angehängten Körpers um 4cm bzw. 8cm Längenänderungen
von ca. 0,6cm bzw. ca. 2,5cm.
2011 Thomas Unkelbach
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Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
**
Zahnradbahn am Pilatus
Die steilste Zahnradbahn der Welt fährt auf den Pilatus (Schweiz). Auf einem Streckenabschnitt von 1130m
Länge überwindet sie gleichmäßig einen Höhenunterschied von 489m.
a) In einer Landkarte sind im Normalfall die horizontalen Abstände von Orten maßstabsgetreu abgebildet. Wie
lang erscheint dieser Streckenabschnitt auf einer Karte im Maßstab 1:25000?
b) Eine andere Zahnradbahnstrecke erscheint auf einer Karte im Maßstab 1:10000 12cm lang. Die wirkliche
Streckenlänge beträgt 1250m. Wie groß ist der Höhenunterschied?
2011 Thomas Unkelbach
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben
Schwierigkeit
**
a) x: Länge der horizontalen Strecke in m
{
(P) x 2 + 489 2 = 1130 2 ⇔ x 2 − 1037779 = 0 ; L = − 1037779 ; 1037779
Der horizontale Abstand beträgt in der Wirklichkeit
1:25000 ca. 4,1cm.
1037779m ≈ 1019m und auf einer Karte im Maßstab
b) Der horizontale Abstand beträgt in der Wirklichkeit 1200m.
h: Höhenunterschied in m
(P) h 2 + 1200 2 = 1250 2 ⇔ h 2 − 122500 = 0 ; L = {− 350; 350}
Der Höhenunterschied beträgt 350m.
2011 Thomas Unkelbach
}
Name:
Datum:
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Grundwissen
Welche Zusammenhänge bestehen zwischen den Streckenlängen in Rechtwinkligen Dreiecken?
Aussagen hierüber machen die
sogenannten Flächensätze in
Rechtwinkligen Dreiecken.
Für die Hypotenuse und die beiden Hypotenusenabschnitte (hier c, p und q) gilt
p+ q = c .
Satz des PYTHAGORAS (PYTHAGORAS von Samos, ca. 580-500 v.Chr.)
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate über den Katheten
inhaltsgleich dem Quadrat über der Hypotenuse, hier
a2 + b2 = c2 .
Erster Satz des EUKLID oder Kathetensatz (EUKLID, ca. 365-300 v.Chr.)
In jedem Rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete inhaltsgleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und dem an der Kathete anliegenden
Hypotenusenabschnitt, hier
a 2 = p ⋅ c und b 2 = q ⋅ c .
Zweiter Satz des EUKLID oder Höhensatz
In jedem Rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe inhaltsgleich
dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten, hier
h2 = p ⋅q .
Flächeninhaltsformel
In jedem Rechtwinkligen Dreieck ergibt sich der Flächeninhalt entweder aus
Hypotenuse und Höhe (hier c und h) oder aber aus den Katheten (hier a und b)
1
1
A = ⋅ c ⋅ h= ⋅ a ⋅ b .
2
2
Daraus ergibt sich die Höhe durch Katheten und Hypotenuse (hier h, a, b und c)
h=
a⋅b
.
c
Nach dem Satz des PYTHAGORAS in den rechtwinkligen Teildreiecken (ADC)
bzw. (DBC) gilt weiter
h 2 + p 2 = a 2 und h 2 + q 2 = b 2 .
2011 Thomas Unkelbach
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Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
Schwierigkeit
*
Aufgabe 1a
Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 19,2cm und 25,6cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse?
Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf.
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
Gib die gesuchte Größe an.
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Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
x: Länge der Hypotenuse in cm
(P) 19, 2 2 + 25,6 2 = x 2 ⇔ x 2 − 1024 = 0 ; L = {−32 ; 32}
Die Hypotenuse ist 32cm lang.
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
*
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
Schwierigkeit
*
Aufgabe 1b
Von einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse 51,4cm und eine der Katheten 6,4cm lang. Wie lang ist
die andere Kathete?
Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf.
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
Gib die gesuchte Größe an.
2011 Thomas Unkelbach
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Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
x: Länge der anderen Kathete in cm
(P) 6,4 2 + x 2 = 51,4 2 ⇔ x 2 − 2601 = 0 ; L = {−51 ; 51}
Die andere Kathete ist 51cm lang.
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
*
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Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
Schwierigkeit
**
Aufgabe 2a
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die eine Kathete 2,4mal so lang wie die andere. Die Länge der Hypotenuse
beträgt 39cm. Wie lang sind die Katheten?
Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf.
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
Gib die gesuchten Größen an.
2011 Thomas Unkelbach
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Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
x: Länge der kürzeren Kathete in cm
(P) (2,4x) 2 + x 2 = 39 2 ⇔ 6,76x 2 − 1521 = 0 ; L = {−15 ; 15}
Die Katheten sind 15cm und 36cm lang.
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
**
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Geometrie
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
Schwierigkeit
**
Aufgabe 2b
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die eine Kathete 1 13 mal so lang wie die andere. Die Länge der Hypotenuse
beträgt 35cm. Wie lang sind die Katheten?
Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf.
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
Gib die gesuchten Größen an.
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
x: Länge der kürzeren Kathete in cm
(P) (1 13 x) 2 + x 2 = 35 2 ⇔ 2 79 x 2 − 1225 = 0 ; L = {−21 ; 21}
Die Katheten sind 21cm und 28cm lang.
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
**
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Geometrie
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
Schwierigkeit
**
Aufgabe 2c
In einem rechtwinkligen Dreieck mit einer 40cm langen Hypotenuse ist eine Kathete drei Mal so lang wie die
andere. Wie lang sind die Katheten?
Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf.
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
Gib die gesuchten Größen an.
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Geometrie
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
x: Länge der kürzeren Kathete in cm
(P) (3x) 2 + x 2 = 40 2 ⇔ 10x 2 − 1600 = 0 ; L = {−4 10 ; 4 10 }
Die Katheten sind 4 10cm und 12 10cm lang.
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
**
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Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
Schwierigkeit
**
Aufgabe 2d
In einem rechtwinkligen Dreieck mit einer 40cm langen Hypotenuse ist eine Kathete doppelt so lang wie die
andere. Wie lang sind die Katheten?
Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf.
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
Gib die gesuchten Größen an.
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Geometrie
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
x: Länge der kürzeren Kathete in cm
(P) (2x) 2 + x 2 = 40 2 ⇔ 5 x 2 − 1600 = 0 ; L = {−8 5 ; 8 5}
Die Katheten sind 8 5cm und 16 5cm lang.
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
**
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Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
Schwierigkeit
**
Aufgabe 2e
Die Längen der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks verhalten sich wie 15:8, d.h. die Länge der längeren
Kathete beträgt das 158 fache der Länge der größeren Kathete. Die Länge der Hypotenuse beträgt 18,7cm. Wie
lang sind die Katheten?
Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf.
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
Gib die gesuchten Größen an.
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Geometrie
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Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
x: Länge der kürzeren Kathete in cm
33 2
(P) ( 158 x) 2 + x 2 = 18,7 2 ⇔ 4 64
x − 349,69 = 0 ; L = {−8,8 ; 8,8}
Die Katheten sind 8,8cm und 16,5cm lang.
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
**
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Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
Schwierigkeit
**
Aufgabe 2f
Die Längen der Katheten eines rechtwink ligen Dreiecks verhalten sich wie 3:4, d.h. die Länge der kleineren
Kathete beträgt das 34 fache der Länge der größeren Kathete. Die Länge der Hypotenuse beträgt 7,2cm. Wie
lang sind die Katheten?
Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf.
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
Gib die gesuchten Größen an.
2011 Thomas Unkelbach
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Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
x: Länge der längeren Kathete in cm
(P) ( 34 x) 2 + x 2 = 7,2 2 ⇔ 1 169 x 2 − 51,84 = 0 ; L = {−5,76 ; 5,76}
Die Katheten sind 5,76cm und 4,32cm lang.
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
**
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Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
Schwierigkeit
**
Aufgabe 3a
In einem rechtwinkligen Dreieck ist eine Kathete 20,5cm lang, die Länge der Hypotenuse beträgt das
der Länge der anderen Kathete. Wie lang sind die andere Kathete und die Hypotenuse?
13
12
fache
Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf.
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
Gib die gesuchten Größen an.
2011 Thomas Unkelbach
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Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
x: Länge der anderen Kathete in cm
(P) 20,5 2 + x 2 = ( 13
x) 2 ⇔
12
25
144
x 2 − 420,25 = 0 ; L = {−49,2 ; 49, 2}
Die andere Kathete ist 49,2cm und die Hypotenuse 53,3cm lang.
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
**
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Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
Schwierigkeit
**
Aufgabe 3b
In einem rechtwinkligen Dreieck ist eine Kathete 5,6cm lang. Die Länge der Hypotenuse beträgt das
der Länge der anderen Kathete. Wie lang sind die andere Kathete und die Hypotenuse?
17
15
fache
Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf.
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
Gib die gesuchten Größen an.
2011 Thomas Unkelbach
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
x: Länge der anderen Kathete in cm
(P) 5,6 2 + x 2 = ( 17
x) 2 ⇔
15
64
225
x 2 − 31,36 = 0 ; L = {−10,5 ; 10,5}
Die andere Kathete ist 10,5cm und die Hypotenuse 11,9cm lang.
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
**
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
Schwierigkeit
***
Aufgabe 4a
Die Längen der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks verhalten sich wie 3:4, d.h. die Länge der kleineren
Kathete beträgt das 34 fache der Länge der größeren Kathete. Die größere Kathete ist um 4cm kürzer als die
Hypotenuse. Wie lang sind die Katheten und die Hypotenuse?
Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf.
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
Gib die gesuchten Größen an.
2011 Thomas Unkelbach
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
x: Länge der größeren Kathete in cm
(P) ( 34 x) 2 + x 2 = (x + 4) 2 ⇔
9
16
x 2 − 8x − 16 = 0 ; L = {−1 79 ; 16}
Die Katheten sind 16cm und 12cm und die Hypotenuse 20cm lang.
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
***
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
Schwierigkeit
***
Aufgabe 4b
Die Längen der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks verhalten sich wie 5:12, d.h. die Länge der kleineren
Kathete beträgt das 125 fache der Länge der größeren Kathete. Die größere Kathete ist um 2cm kürzer als die
Hypotenuse. Wie lang sind die Katheten und die Hypotenuse?
Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf.
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
Gib die gesuchten Größen an.
2011 Thomas Unkelbach
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
x: Länge der größeren Kathete in cm
(P) ( 125 x) 2 + x 2 = (x + 2) 2 ⇔
25
144
x 2 − 4 x − 4 = 0 ; L = {− 24
; 24}
25
Die Katheten sind 24cm und 10cm und die Hypotenuse 26cm lang.
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
***
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
Schwierigkeit
***
Aufgabe 5a
Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist 29cm lang. Die Summe der Längen der Katheten beträgt
41cm. Wie lang sind die Katheten?
Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf.
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
Gib die gesuchten Größen an.
2011 Thomas Unkelbach
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
x: Länge einer der beiden Katheten in cm
(P) x 2 + (41 − x) 2 = 29 2 ⇔ 2 x 2 − 82x − 840 = 0 ; L = {20 ; 21}
Die Katheten sind 20cm und 21cm lang.
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
***
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
Schwierigkeit
***
Aufgabe 5b
Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist 34cm lang. Die Summe der Längen der Katheten beträgt
46cm. Wie lang sind die Katheten?
Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf.
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
Gib die gesuchten Größen an.
2011 Thomas Unkelbach
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
x: Länge einer der beiden Katheten in cm
(P) x 2 + (46 − x) 2 = 34 2 ⇔ 2 x 2 − 92x − 960 = 0 ; L = {16 ; 30}
Die Katheten sind 16cm und 30cm lang.
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
***
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
Schwierigkeit
***
Aufgabe 6a
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die eine Kathete um 2cm, die andere um 9cm kürzer als die Hypotenuse.
Wie lang sind die Katheten und die Hypotenuse?
Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf.
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
Gib die gesuchten Größen an.
2011 Thomas Unkelbach
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
x: Länge der Hypotenuse in cm
(P) (x - 2) 2 + ( x − 9) 2 = x 2 ⇔ x 2 − 22 x + 85 = 0 ; L = {5 ; 17}
Die Hypotenuse ist 17cm und die Katheten 15cm und 8cm lang.
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
***
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
Schwierigkeit
***
Aufgabe 6b
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die eine Kathete um 2cm, die andere um 16cm kürzer als die Hypotenuse.
Wie lang sind die Katheten und die Hypotenuse?
Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf.
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
Gib die gesuchten Größen an.
2011 Thomas Unkelbach
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
x: Länge der Hypotenuse in cm
(P) (x - 2) 2 + ( x − 16) 2 = x 2 ⇔ x 2 − 36 x + 260 = 0 ; L = {10 ; 26}
Die Hypotenuse ist 26cm und die Katheten 24cm und 10cm lang.
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
***
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
Schwierigkeit
***
Aufgabe 7a
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die größere Kathete um 1cm kürzer als die Hypotenuse und um 17cm länger als die kleinere Kathete. Wie lang sind die Katheten und die Hypotenuse?
Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf.
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
Gib die gesuchten Größen an.
2011 Thomas Unkelbach
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
x: Länge der größeren Kathete in cm
(P) x 2 + ( x − 17) 2 = (x + 1) 2 ⇔ x 2 − 36 x + 288 = 0 ; L = {12 ; 24}
Die Katheten sind 24cm und 7cm und die Hypotenuse 25cm lang.
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
***
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
Schwierigkeit
***
Aufgabe 7b
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse um 9cm größer als die eine und um 8cm größer als die
andere Kathete. Wie lang sind die Katheten und die Hypotenuse?
Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf.
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
Gib die gesuchten Größen an.
2011 Thomas Unkelbach
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
x: Länge der Hypotenuse in cm
(P) (x - 9) 2 + ( x − 8) 2 = x 2 ⇔ x 2 − 34 x + 145 = 0 ; L = {5 ; 29}
Die Hypotenuse ist 29cm und die Katheten 20cm und 21cm lang.
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
***
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
Schwierigkeit
*
Aufgabe 8a
Die eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks ist 39cm und die Hypotenuse 89cm lang. Wie lang ist die andere Kathete?
Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf.
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
Gib die gesuchte Größe an.
2011 Thomas Unkelbach
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
x: Länge der anderen Kathete in cm
(P) 39 2 + x 2 = 89 2 ⇔ x 2 − 6400 = 0 ; L = {−80 ; 80}
Die andere Kathete ist 80cm lang.
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
*
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
Schwierigkeit
*
Aufgabe 8b
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die eine Kathete 65cm und die Hypotenuse 97cm lang. Wie lang ist die
andere Kathete?
Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf.
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
Gib die gesuchte Größe an.
2011 Thomas Unkelbach
Bereich
Geometrie
Thema
Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben
x: Länge der anderen Kathete in cm
(P) 65 2 + x 2 = 97 2 ⇔ x 2 − 5184 = 0 ; L = {−72 ; 72}
Die andere Kathete ist 72cm lang.
2011 Thomas Unkelbach
Schwierigkeit
*
Name:
Flächensätze - Textaufgaben - Klapptest 1
1
Die Längen der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks verhalten sich wie 3:4, d.h. die
Länge der kleineren Kathete beträgt das 43 fache der Länge der größeren Kathete. Die
Länge der Hypotenuse beträgt 7,2cm.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist eine Kathete 20,5cm lang. Die Hypotenuse und die
andere Kathete verhalten sich wie 13:12, d.h. die Länge der Hypotenuse beträgt das
13
fache der Länge der anderen Kathete.
12
Die Längen der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks verhalten sich wie 3:4, d.h. die
Länge der kleineren Kathete beträgt das 43 fache der Länge der größeren Kathete. Die
größere Kathete ist um 4cm kürzer als die Hypotenuse.
Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist 29cm lang. Die Summe der Längen
der Katheten beträgt 41cm.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die eine Kathete um 2cm, die andere um 9cm
kürzer als die Hypotenuse.
2
(x - 2) 2 + ( x − 9) 2 = x 2
x 2 + ( 41 − x) 2 = 29 2
( 43 x) 2 + x 2 = (x + 4) 2
13
20,5 2 + x 2 = ( 12
x) 2
( 43 x) 2 + x 2 = 7,2 2
Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 19,2cm und 25,6cm lang. Wie lang ist 19, 2 2 + 25,6 2 = x 2
die Hypotenuse?
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die eine Kathete 2,4mal so lang wie die andere. Die (2,4x) 2 + x 2 = 39 2
Länge der Hypotenuse beträgt 39cm.
In einem rechtwinkligen Dreieck mit einer 40cm langen Hypotenuse ist eine Kathete (2x) 2 + x 2 = 40 2
doppelt so lang wie die andere.
Falte zuerst das Blatt entlang Linie 1. Löse dann die Aufgaben.
Falls du bei einzelnen Aufgaben keinen Ansatz gefunden hast, so falte das Blatt entlang
Linie 2 und arbeite mit der Hilfe weiter. Du erhältst für die Aufgabe einen halben Punkt.
Kontrolliere anschließend die Ergebnisse und notiere die Anzahl der richtigen Aufgaben.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
© 2005 Thomas Unkelbach ; nach einer Idee von Maria Niehaves
Datum:
L = {−32;32} . Die Hypotenuse hat
die Länge 32cm.
L = {−15;15} . Die Katheten haben
die Längen 15cm und 36cm.
L = {−8 5;8 5} . Die Katheten
haben die Längen 8 5cm und
16 5cm .
L = {−5,76;5,76} . Die Katheten
haben die Längen 5,76cm und
4,32cm.
L = {−49,2;49,2} . Die andere
Kathete hat die Längen 49,2cm,
die Hypotenuse die Länge 53,3cm.
L = {−1 97 ;16} . Die Katheten haben
die Längen 12cm und 16cm, die
Hypotenuse die Länge 20cm.
L = {20;21} . Die Katheten haben
die Längen 20cm und 21cm.
L = {5;17} . Die Hypotenuse hat
die Länge 17cm, die Katheten
haben die Längen 15cm und 8cm.
/9
Name:
Flächensätze - Textaufgaben - Klapptest 2
1
Die Längen der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks verhalten sich wie 15:8, d.h.
die Länge der größeren Kathete beträgt das 158 fache der Länge der kleineren Kathete.
Die Länge der Hypotenuse beträgt 18,7cm.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist eine Kathete 5,6cm lang. Die Hypotenuse und die
andere Kathete verhalten sich wie 17:15, d.h. die Länge der Hypotenuse beträgt das
17
fache der Länge der anderen Kathete.
15
Die Längen der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks verhalten sich wie 5:12, d.h.
die Länge der kleineren Kathete beträgt das 125 fache der Länge der größeren Kathete.
Die größere Kathete ist um 2cm kürzer als die Hypotenuse.
Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist 34cm lang. Die Summe der Längen
der Katheten beträgt 46cm.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die eine Kathete um 2cm, die andere um 16cm
kürzer als die Hypotenuse.
2
(x - 2) 2 + ( x − 16) 2 = x 2
x 2 + (46 − x) 2 = 34 2
( 125 x) 2 + x 2 = (x + 2) 2
17
5,6 2 + x 2 = ( 15
x) 2
( 158 x) 2 + x 2 = 18,7 2
Von einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse 51,4cm und eine der Katheten 6,4 2 + x 2 = 51, 4 2
6,4cm lang. Wie lang ist die andere Kathete?
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die eine Kathete 1 31 mal so lang wie die andere. Die (1 31 x) 2 + x 2 = 35 2
Länge der Hypotenuse beträgt 35cm.
In einem rechtwinkligen Dreieck mit einer 40cm langen Hypotenuse ist eine Kathete (3x) 2 + x 2 = 40 2
dreimal so lang wie die andere.
Falte zuerst das Blatt entlang Linie 1. Löse dann die Aufgaben.
Falls du bei einzelnen Aufgaben keinen Ansatz gefunden hast, so falte das Blatt entlang
Linie 2 und arbeite mit der Hilfe weiter. Du erhältst für die Aufgabe einen halben Punkt.
Kontrolliere anschließend die Ergebnisse und notiere die Anzahl der richtigen Aufgaben.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
© 2005 Thomas Unkelbach ; nach einer Idee von Maria Niehaves
Datum:
L = {−51;51} . Die Kathete hat die
Länge 51cm.
L = {−21;21} . Die Katheten haben
die Längen 21cm und 28cm.
L = {−4 10 ; 4 10} . Die Katheten
haben die Längen 4 10cm und
12 10cm .
L = {−8,8;8,8} . Die Katheten haben
die Längen 8,8cm und 16,5cm.
L = {−10,5;10,5} . Die andere
Kathete hat die Längen 10,5cm,
die Hypotenuse die Länge 11,9cm.
24
L = {− 25
; 24} . Die Katheten haben
die Längen 10cm und 24cm, die
Hypotenuse die Länge 26cm.
L = {16;30} . Die Katheten haben
die Längen 16cm und 30cm.
L = {10; 26} . Die Hypotenuse hat
die Länge 26cm, die Katheten
haben die Längen 24cm und 10cm.
/8

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