Blatt 1

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Mathematik für Informatiker: Algebraische Strukturen“
Übungsblatt 1
Abgabetermin: 26. April, 11:45 Uhr
(1)
Sei S eine Menge von Schützen und V eine Menge von Vögeln (ub̈er diese Mengen wissen wir erstmal
nichts, sie kon̈nen auch leer sein). Für einen Schützen s und einen Vogel v schreiben wir s + v, falls v
von s erschossen wurde. Wenn man erschossen wurde, ist man tot; wenn man nicht erschossen wurde,
lebt man. Beantworten Sie die folgenden Fragen (die Antwort kann von V und S abhan̈gen).
(a) (i)
(ii)
(iii)
(iv)
Es gelte: ∀v ∈ V ∃s ∈ S : s + v. Leben Vögel in V ?
Es gelte: ∀s ∈ S ∃v ∈ V : s + v. Leben Vögel in V ?
Es gelte: ∃v ∈ V : ∀s ∈ S s + v. Lebt ein Lebewesen in S ∪V ?
Es gelte: ∃v ∈ V : ∀s ∈ S ¬(s + v) ⇒ (∃s ∈ S) . Gibt es einen Schützen in S?
(b) Schreiben Sie folgende Aussagen mithilfe von S, V , + und logischen Zeichen auf:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(2)
Nicht jeder Vogel wurde erschossen.
Kein Vogel ist tot.
Die Schützen haben alle Vögel erschossen.
Vögel sind tot.
(a) Es sei M eine Menge und A, B ⊂ M Teilmengen. Zeigen Sie, dass gilt
M\(A ∩ B) = (M\A) ∪ (M\B).
(b) Es seien A, B, A0 und B0 Mengen. Welche der Symbole ⊂, ⊃, = darf man hier für einsetzen
um eine wahre Aussage zu erhalten?
(A × B) \ (A0 × B0 ) (A \ A0 ) × (B \ B0 )
(3)
(a) Wir betrachten die Abbildung f : {1, 2, 3} × N → N, (a, b) 7→ 5a + b sowie die Mengen
A = {1, 2, 3} × {0, 5}, B = {2} und B0 = {10, 11}. Bestimmen Sie das Bild f (A) von A unter f
und die Urbilder f −1 (B) und f −1 (B0 ).
(b) Es seien M, N zwei Mengen und f : M → N eine Abbildung. Weiter sei B ⊂ N. Zeigen Sie, dass
dann gilt f ( f −1 (B)) ⊂ B. Gilt auch die Gleichheit?
(4)
(a) Wir betrachten die Abbildungen f : Z → Z, z 7→ 2 − z und g : Z → Z × Z, x 7→ (2x + 1, −x).
(i) Zeigen Sie, dass sowohl f als auch g injektive Abbildungen sind.
(ii) Geben Sie die Komposition g ◦ f : Z → Z × Z an.
(b) Es seien X,Y und Z Mengen sowie f : X → Y und g : Y → Z zwei injektive Abbildungen. Zeigen
Sie, dass dann auch die Komposition g ◦ f : X → Z injektiv ist.
Hinweis: Mithilfe dieser Aussage können wir also direkt sehen, dass die Abbildung g ◦ f aus
Aufgabenteil a) auch injektiv ist.
(c) Geben Sie eine Abbildung f : N → {1, 2, 3} an, die surjektiv ist.
Hinweis: Alle Antworten zu den Übungsaufgaben sind zu begründen (dies gilt auch für alle folgenden
Übungsblätter).

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