Zufallsexperimente

Tutorium Mathematik in der gymnasialen Oberstufe
2. Veranstaltung: Zufallsexperimente
11. November 2015
1. Zufallsexperimente
Ein Zufallsexperiment ist ein unter stets gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbarer
Vorgang, dessen Ausgang nicht determiniert ist. Die möglichen Ausgänge nennt man
Ergebnisse, die Menge aller Ergebnisse heißt Ergebnismenge.
Ein Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge. Die Menge aller möglichen Ereignisse
zu einer Ergebnismenge heißt Ereignisraum. Ein Ereignis ist eingetreten, wenn das
tatsächliche Ergebnis des Zufallsexperiments in der dazugehörenden Menge liegt.
1. Aufgabe: Bilden Sie Zufallsexperiment – Ereignis – Paare aus den folgenden Begriffen:
es wird einmal gewürfelt
es wird eine rote Kugel gezogen
die Augenzahl ist gerade
eine Münze wird fünfmal geworfen
genau ein Triebwerk ist defekt
mindestens zweimal wird Wappen geworfen
es wird zweimal gewürfelt
aus einer Urne mit roten und weißen Kugeln wird eine Kugel gezogen
die Augenzahl ist eine Primzahl
die Triebwerke eines Flugzeuges werden überprüft
es wird mit einem regelmäßigen Oktaeder einmal gewürfelt
höchstens eine der Augenzahlen ist gerade
Zufallsexperiment
Ereignis
2. Aufgabe: Ein regelmäßiges Tetraeder mit den Ziffern 1, 2, 3, 4 wird einmal geworfen.
a.) Geben Sie die Ergebnismenge in Mengenschreibweise an!
b.) Geben Sie den Ereignisraum an!
c.) Welche Ereignisse sind eingetreten (formulieren Sie bitte auch sprachlich), wenn die 4
geworfen worden ist?
Bestimmte Teilmengen der Ergebnismenge, d.h. bestimmte Ereignisse tragen einen
besonderen Namen: Die einelementigen Teilmengen heißen Elementarereignisse, die leere
Menge, da sie nie eintreten kann, nennt man unmögliches Ereignis und die Ergebnismenge
selbst, da sie immer eintritt, heißt sicheres Ereignis.
Das Ereignis, das durch die Komplementärmenge des Ereignisses A beschrieben wird, heißt
Gegenereignis von A. Zwei Ereignisse A und B nennt man unvereinbar (oder man sagt: A
und B schließen sich aus), wenn die dazugehörenden Mengen elementenfremd sind.
3. Aufgabe: Es wird einmal gewürfelt.
a.) Wie viele Elementarereignisse enthält der Ereignisraum?
b.) Wie viele Ereignisse des Ereignisraumes sind keine Elementarereignisse?
c.) Wie viele Ereignisse treten bei jeder Durchführung des Zufallsexperiments ein?
Nun betrachten wir folgende Ereignisse:
A={die Augenzahl ist eine Primzahl}
C={die Augenzahl ist eine gerade Zahl}
B={die Augenzahl ist eine Quadratzahl}
D={die Augenzahl ist größer als 3}
E={die Augenzahl ist durch 3 teilbar}
d.) Geben Sie die Ereignisse A-E in Mengenschreibweise an!
e.) Welche Ereignisse von A-E sind unvereinbar?
f.) Beschreiben Sie sprachlich und geben Sie in Mengenschreibweise die Gegenereignisse
von A-E an!
2. Ereignisalgebra
Die Definition des Ereignisraumes eines Zufallsexperiments als Menge aller Ereignisse
ermöglicht, über Ereignisalgebra zu reden, bzw. Ereignisalgebra zu definieren.
Im Folgenden sei S die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments und bezeichne (S) den
dazugehörenden Ereignisraum. A und B seien zwei Elemente dieses Ereignisraumes. Es
können folgende Verknüpfungen definiert werden:
AB
AB
A oder B
A und B
mindestens eines der Ereignisse, A, B ist eingetreten
beide Ereignisse A, B sind eingetreten
(sowohl A als auch B ist eingetreten)
speziell:
A B =A\B
A ohne B
das Ereignis A ist eingetreten, das Ereignis B nicht
Überdies gilt: Wenn AB, dann heißt es, dass das Ereignis A das Ereignis B nach sich zieht.
Weiterhin gelten die sog. de-Morganschen-Regeln:
A B  A B
und
A B  A B
4. Aufgabe: Zeigen Sie mithilfe von Venn-Diagrammen, dass die de-Morganschen Regeln
gelten! Formulieren Sie diese Regeln bezogen auf Ereignisse auch sprachlich!
5. Aufgabe: Es wird einmal mit einem regelmäßigen Oktaeder gewürfelt. Man betrachte
folgende Ereignisse:
A={die Augenzahl beträgt höchstens 4}
B={die Augenzahl ist eine gerade Zahl}
Bestimmen Sie die zu den folgenden Ereignissen gehörenden Mengen und interpretieren Sie
diese!
a.) AB
b.) AB
c.) A\B
d.) B\A
6. Aufgabe: In einem Betrieb wird täglich der Anteil der defekten Produkte überprüft.
Bezeichne A das Ereignis, dass der Anteil des Ausschusses unter 5% liegt, B sei das Ereignis,
dass dieser Anteil unter 4 % liegt. Formulieren Sie sprachlich folgende in
Mengenschreibweise angegebenen Ereignisse:
a.)
b.)
c.)
d.)
AB
AB
A\B
B\A
7. Aufgabe: Eine Münze wird dreimal hintereinander geworfen. Bezeichne Wi das Ereignis
(i=1, 2, 3), dass beim i-ten Wurf oben Wappen zu sehen ist. Geben Sie in
Mengenschreibweise folgende Ereignisse an:
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
Alle drei Würfe enden mit Wappen.
Es wird höchstens einmal Wappen geworfen.
Es wird mindestens zweimal Wappen geworfen.
Es wird genau einmal Zahl geworfen.
Es wird kein Wappen geworfen.
8. Aufgabe: In einer Tischlerei gibt es drei Sägemaschinen. Bezeichne Si das Ereignis (i=1, 2,
3), dass die i-te Maschine binnen einer Woche kaputtgeht. Geben Sie in Mengenschreibweise
folgende Ereignisse an:
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
f.)
g.)
h.)
i.)
j.)
nur die zweite Maschine geht kaputt
alle drei Maschinen gehen kaputt
nicht alle drei Maschinen gehen kaputt
keine Maschine geht kaputt
die erste und die zweite gehen kaputt
die erste und die zweite gehen kaputt, die dritte jedoch nicht
genau zwei Maschinen gehen kaputt
höchstens eine Maschine geht kaputt
mindestens eine Maschine geht kaputt
genau eine Maschine geht kaputt
9. Aufgabe: Ein Zufallsexperiment besteht darin, dass es eine natürliche Zahl zufällig
gewählt wird. Bezeichne A das Ereignis, dass diese Zahl gerade ist, und sei B das Ereignis,
dass diese Zahl durch 7 teilbar ist. Formulieren Sie sprachlich die folgenden Ereignisse:
a.) AB
b.) A  B
c.) AB
d.) A  B
e.) A B
3. Mehrstufige Zufallsexperimente
„Werden n Zufallsexperimente nacheinander durchgeführt, so kann man dies als einmalige
Durchführung eines n-stufigen Zufallsexperiments auffassen, dessen Ergebnisse n-Tupel
sind.“ „Die ganze Ergebnismenge erhält man mithilfe eines Baumdiagramms, jedem
Ergebnis entspricht ein Pfad durch den Baum.“ (Schmid, A/Schweizer, W. (Hrsg.) (2001): LS
Mathematik. Stochastik. Leistungskurs. Stuttgart: Klett. S 8.)
10. Aufgabe: Eine Münze und anschließend ein Würfel werden nacheinander geworfen.
Erstellen Sie ein Baumdiagramm zu diesem Zufallsexperiment und beschreiben Sie mit
dessen Hilfe die möglichen Ausgänge (die Ergebnisse)!
11. Aufgabe: Ein regelmäßiger Tetraeder wird zweimal hintereinander geworfen. Erstellen
Sie ein Baumdiagramm zu diesem Zufallsexperiment und beschreiben Sie mit dessen Hilfe
die möglichen Ausgänge (die Ergebnisse)!
12. Aufgabe: Eine Münze wird einmal geworfen. Ist das Ergebnis Zahl, dann wird die Münze
noch zweimal geworfen, ist es Wappen, dann nur noch einmal. Erstellen Sie ein
Baumdiagramm zu diesem Zufallsexperiment und beschreiben Sie mit dessen Hilfe die
möglichen Ausgänge (die Ergebnisse)!

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