2015.03.11卒業研究発表 2色木 (Red-Black Tree) 関屋 隼人 原田 尚実 研究の動機 • 2014年度前期のゼミで原田が担当となった項 目だった. アルゴリズムイントロダクション1巻13章 • プログラミングで実現している人が少ない. • GUIに興味を持った. 研究の目標 • 2色木のプログラム作成 • 2色木の可視化 • 2色木と二分探索木の比較 役割 • 関屋 GUIの描画プログラム作成 利用データ(Exel)の読み込みプログラムの作成 その他プログラム不備の修正 • 原田 2色木、二分探索木のプログラム作成 発表スライドの作成、利用データのピックアップ 2色木の実用例 目次 • 2色木の特徴 -2色木とは？ • 2色木の利用 -2色木の利用例は？ • 2色木の実現 -2色木をGUIで描画 2色木の特徴 ‐2色木とは？ ０ 2色木の歴史 • 2色木は、ルドルフ・ベイヤーが自身が考案したB木に基 づいて「対称2分木」として1972年に発明. • のちにレオニダス・ギッバスとロバート・セジウィックが 研究し、「赤黒木」として論文で取り扱う. • 2008年、2色木に条件を付け加え、操作が簡単になっ た「Left-leaning Red-Black Tree」をベイヤーが考案. (http://www.cs.princeton.edu/~rs/talks/LLRB/LLRB.pdf） Ⅰ 二分探索木の親戚 二分探索木条件 親に対して、左の子の値は小さく、右の子の値は大きい 5 ・・・根(root) 7 2 子 親 高さ ・・・節点(node) ・・・葉(leaf) 4 1 小＜2＜大 小 ＜ 5 ＜ 9 7＜大 大 Ⅱ 2色条件 二分探索木条件に加え、以下の2色条件を満たしたものを２色木という. 2色条件 ① 各節点は赤 ( R E D ) または黒 ( B L A C K ) ② 根(root)は黒 ( B L A C K ) ③ すべての葉はN I L L (色は黒 ( B L A C K ) )(表示を省略) ④ 赤 ( R E D ) の節点の子は黒 ( B L A C K ) ⑤ 各節点について、その節点と子孫の 任意の葉を結ぶ単純道は同数の黒 ( B L A C K ) 節点を含 む 〈例〉 根は黒 赤の子は黒 葉はnillかつ黒 どの道も、黒の数は等しい Ⅱ 2色条件 • 2分探索木では 木の高さで各操作の実行時間が決まる.→O(h) 木が高い場合、連結リストよりも悪い可能性も • 2色木では • 2色条件により、根と葉を結ぶ任意の単純道上の節点の配色を 制約することで、ある道の長さがある道の長さの2倍を超えること がないことを保証できる. →木はおおよそ平衡している(balanced)という(平衡二分木) →n個の要素数に対して木の高さは高々2log(n+1) →各操作に対して最悪実行時間を保証→O(logn) Ⅲ 2色木の性質 • 木の各節点は属性color,key,left,right,p を持つ. • 親や子が存在しなければポインタ属性はNILを持つ. (根の親はNIL) • SERCH,MINIMUM,MAXIMUM,SUCCESSOR,PREDECESSORは二分 探索木と同様に行える. • INSERT,DELETEは二分探索木と同様に行うことができない． そのため、ROTATEを行う必要がある． Ⅳ ROTATE(回転) • 左回転(LEFT-ROTATE)と右回転(RIGHT-ROTATE)が存在する. 〈例〉左回転 Ⅳ ROTATE(回転) • 擬似コード Ⅴ INSERT(挿入) • 2色木Tを通常の二分探索木とみなし、節点zを木Tに挿入. • ただし、zは必ず赤(RED)に彩色する. • しかし、必ずしも2色木条件が満たされる状態にならない. • 補助手続きRB-INSERT-FIXUPを呼び出し節点の再彩色と回転を 行う必要がある. Ⅴ INSERT(挿入) • 14～15行でのT.nilをz.leftとz.right に代入. • 16行でzをREDに彩色. • 17行で補助手続きRB-INSERTFIXUP（T,z）を呼び出す. • Z を赤に彩色した時点で2色木が 保たれる（zの親が黒）であれば、 そこで終了。 Ⅴ INSERT(挿入) • 場合１： zの叔父yはRED zの親z.pとその兄弟y(zの叔父)が赤の場合 を指す ポインタzは木を２レベル登る Ⅴ INSERT(挿入) • 場合2： zの叔父yは黒 かつ z は右の子 • 場合3： zの叔父yは黒 かつ zは左の子 z.p.p(おじいちゃん)は変わらない。 z.pが黒となったので、whileは終了。 Ⅴ INSERT(挿入) 場合１、２、３を組み合わせると、 節点zの挿入後2色条件の満た されていなかった木が2色木と なり、次の操作ができるように なる ① ② ③ ④ ⑤ 各節点は赤 ( r e d ) または黒 ( b l a c k ) 根(root)は黒 ( b l a c k ) すべての葉はN I L L (黒( b l a c k ) ) 赤 ( r e d ) の節点の子は黒 ( b l a c k ) 各節点について、その節点と子孫の 任意の葉を結ぶ単純道は同数の黒 ( b l a c k ) 節点を含む Ⅵ DELETE(削除) • 2色木Tを通常の二分探索木とみなし、節点zを木Tから削除. • 次節点yの色によって2色条件を満たさない場合がある (yの左の子はNIL) • 節点yがあった場所に移動してくる節点xにも気をつける必要が ある • 補助手続きRB-TRANSPLANT,RB-DERETE-FIXUPを呼び出し節点 の再彩色と回転を行う必要がある Ⅵ DELETE(削除) u→入れ替えられる対称(削除されるもの). v→uに入るもの.uの次接点. • 1～2行目 uの親がT.nil(uが根)→根にv を持ってくる • 3～4行目 uが左の子 → vをもとのu のあったところにもってくる • 5行目 uが右の子 → // • 6行目 vの親にuの親がなる Ⅵ DELETE(削除) 1. zの子がない または右か左に1つもつ場合 y=zの位置にx(zのどちらかの子)がくる Ⅵ DELETE(削除) 2. zが左右どちらにも子を持っている場合 zの右部分木の中で一番小さい節点をyとして、 yの色を記憶しておく このとき、yには左の子は存在しないので、xを yの右の子とする • yの親がzであれば、zの位置にyが入り、yの 位置にxがくる(xの親はyのまま変わらない) • yの親がzでないなら、x=y.rightがyの位置に 入り、xがyがもといた位置にくる yはz の色を引き継ぐ ※yの色がもともと黒の場合、2色木条件が満た されない →RB-DERETE-FIXUP(T,x)で再彩色と回転を行う Ⅵ DELETE(削除) • 場合1：xの兄弟wがRED Ⅵ DELETE(削除) • 場合2：wがBLACKでwの両方の子もBLACK Ⅵ DELETE(削除) • 場合3：wはBLACK,wの右の子だけがBLACK Ⅵ DELETE(削除) • 場合4：wがBLACK,wの右の子だけがRED 2色木の利用 ‐2色木の実用例は？ プログラミング言語における連想配列の実現 • 配列 キー 0 1 2 値 リンゴ ミカン ブドウ ←数値 • 連想配列(連想リスト、ハッシュ、マップとも) キー Apple Orange Grape 値 リンゴ ミカン ブドウ ←文字 実現方法として主に平衡二分木(２色木、AVL木)、ハッシュテーブルが用いられる 二分探索木 1 Grape ブドウ 2 Apple リンゴ 3 Lemon レモン 4 Melon メロン 1 2 Grape：ブドウ 3 Lemon：レモン Apple：リンゴ 7 4 Carrot：ニンジン Orange：オレンジ 5 Orange Melon：メロン 5 オレンジ Pumpkin：カボチャ 6 Pumpkin カボチャ 7 Carrot ニンジン ここでは、アルファベット順で早いものが小さ い、後ろのものが大きいとしている. 6 2色(赤黒)木 1 Grape ブドウ 2 Apple リンゴ 3 Lemon レモン 4 Melon メロン 1 Grape：ブドウ 2 3 4 Lemon：レモン Apple：リンゴ 7 3 4 5 Melon：メロン Carrot：ニンジン Orange：オレンジ Pumpkin：カボチャ 5 Orange オレンジ 6 Pumpkin カボチャ 7 Carrot ニンジン 5 6 ２色木 二分探索木 高さ ３ 高さ ４ 二分探索木に比べ、２色木は木の高さを低く保つ性質がある.(2log(n+1) ) Orange→オレンジ、Pumpkin→カボチャを探索する場合、二分探索木より２色 木の方が早く見つかる. ⇒プログラミング言語で連想配列を実現するにあたって適している. 連想配列を標準で提供する言語 • • • • • • C++ Java Map 、HashMap、TreeMapなど JavaScript 文字列が添え字の連想配列として扱われる PL/SQL PHP (配列と連想配列の区別がない) Perl など 2色木の実現 ‐2色木をGUIで描画 2色木と二分探索木をGUIで描画 • 目的 2色木と二分探索木を可視化して比較するため. 数少ないデータだとあまり差がつかない. より多くのデータで量で比較することで、 本当に2色木が二分探索木より優秀であることを確かめる. • 利用データ 中部地方の各市(約174市)の人口 (引用：総務省「平成25年3月31日住民基本台帳人口・世帯数、平成24年度人口動態 （都道府県別）（総計）」 より) 描画にあたっての経過 12月 1月 2月・3月 上旬に研究内容を決定。 原田→ 2色木のプログラムを作成 関屋→ GUIの描写プログラムのベースを作成 2色木のプログラムと、GUIのプログラムを結合 GUIの描写に必要で2色木のプログラムでは 不足していた部分を追加・改善 2色木の実用例について調べる 3月の研究発表に向けて準備 スライドの作成、利用データのピックアップ Excelデータの読み込み部分の作成 比較用二分探索木のプログラムの作成 結果 • わかったこと ・実際に2色木の方が二分探索木よりも木の高さが低くなる ・探索時間も2色木の方が短い ことが確認できた • 問題点 GUIでの描画の際に動作が遅くなってしまう. 今回、2280のデータを準備したが、 400ほどのデータ数であっても時間がかかった. 展望 • 高さが高い木の描画を工夫する • その他の平衡二分木(AVL木、2-3-4木)との関 連性を学習する • Left-leaning Red-Black Treeの見聞を深める 参考：「アルゴリズムイントロダクション」第1巻 Wikipedia 「Red-Black Tree by Java—これで分かった赤黒木」 http://www.moon.sannet.ne.jp/okahisa/rb-tree/
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