名古屋大学 多弦セミナー 2015年6月12日 M2ブレーンから現れる 超共形量子力学 Superconformal Quantum Mechanics from M2-branes 1410.8180, 1503.03906 KEK Theory Center 岡崎 匡志 M理論とM2ブレーン M理論は弦理論と比較するとほとんど理解できていないが、 11次元M理論時空に存在し得る安定な物体は知られている。 M2ブレーン(電気的) M5ブレーン(磁気的) 弦理論の弦に対応する M理論の膜状の基本的物体 planar M2ブレーンの 低エネルギー力学理論 • • BLG理論 ‘06 Bagger, Lambert; 07Gustavsson ABJM理論 ‘08 Aharony et al. 背景 M5ブレーン R1,3 × ∑g AGT対応 R1,2 × M3 DGG対応 ’11 Dimofte Gaiotto Gukov; Terashima Yamazaki R1,1 × M4 2d-4d対応 ’13 Gadde Gukov Putrov R1,5-d上の 超共形場理論 ’09 Alday Gaiotto Tachikawa 幾何 Md Q. M2ブレーンに関してはどうか？ 本研究の目的 wrapped M2ブレーンの 低エネルギー力学を記述する 量子力学を導出して M理論を検証する。 基本的アイデア M2ブレーン × R 低エネルギー 量子力学 ∑g CY 結果 これまで構成困難と考えられてきた 高い超共形不変性を持った 量子力学理論 (超共形量子力学) がM2ブレーンから得られた。 発表内容 I. 超共形量子力学 レビュー II. M2ブレーン III. M2ブレーンから現れる量子力学 IV. 結論と議論 本研究 I. 超共形量子力学 共形変換 共形変換 時空内の任意の2点間の角度を局所的に保つ変換 1次元に角度は無いが・・・ 共形変換の生成子 正確には • • • • 並進 スケール変換 回転 共形ブースト Pμ× D Lμν K×μ 1次元共形変換=> 3個の生成子 H, D, K 共形量子力学 Q. 共形不変な量子力学(共形量子力学) はどのようにして構成できるか？ スケール不変なスカラー場の理論 d=1 DFF理論 ‘76 de Alfaro Fubini Furlan 有限共形変換 1. 並進 2. スケール変換 3. 共形ブースト変換 共形不変！ 無限小共形変換 H Noetherの定理 Hamiltonian Dilatation生成子 共形ブースト生成子 D K sl(2,R) 共形代数 SL(2,R)の表現論として 代数的に量子力学を解くことができると期待できる！ しかし話はそう単純ではない・・ i. 規格化可能なエネルギー基底状態は存在しない！ ii. エネルギースペクトルは連続である！ 規格化不可能な波動関数 φ α+ α− x DFFの提案 Gは運動の定数 =>原理的にGを時間発展を記述するHamiltonianとして使え る Gは非コンパクトとなり得る！ 0 G =Gのコンパクト性条件 uH + vD + wK . ground state if v − 4uw < 0. Any choice ex Take for example 2 1 1 G= K + aH 2 a ≡ R, of a length. The eigenvalues of R are + n, 1 r0 = 1+ 2 1 g+ 4 . 固有値スペクト ル L0の固有状態を用いて様々な物理量が計算可能！ 波動関数 ‘76 de Alfaro et al. 相関関数 ‘76 de Alfaro et al. ‘12 Jackiw et al. ゲージ化量子力学 補助場ゲージ場のintegrate out DFF理 論！ Hamiltonian reduction (Routh reduction) ゲージ化行列模型 補助場ゲージ場のintegrate out Calogero模 型！ Hamiltonian reduction (Routh reduction) ゲージ化(超)量子力学(行列模型) を考えることによって 新たな(超)共形量子力学が構成できる！ ‘91 Polychronakos‘08 Fedoruk et al. 超対称性 元々超対称量子力学(SQM)は 超対称場の理論の簡単なモデルとして導出された。 ‘81 Witten しかし量子力学の超対称性は 高次元場の量子論以上に豊富で異質！ (単なる「簡単なモデル」では片付けられない) i. #(超多重項内の成分場の数) ≧ #(超対称性の数) ii. #(力学的ボソン場の数) ≠ #(フェルミオン場の数) 超空間・超場 Wittenによる構成ではN=2 SQMの限られた系しか得られない。 超空間・超場形式がさらなるSQMの構成に有用 しかし成功しているのは N≦8 SCQMのみ ‘00 Pashnev et al.‘02 Gates et al. #(超多重項内の成分場の数) ≧ #(超対称性の数) AD写像 #(力学的ボソン場の数) ≠ #(フェルミオン場の数) 何故1次元で起こるのか？ Hodge双対性 0形式 ↔ 力学的ボソン場 ↔ (-1)形式 補助場 Automorphic Duaity Map ‘96 Gates et al. 以上の理由から i) 超空間・超場形式を用いて ii) 超多重項は N=1,2,4,8 SQMが構成されている。 (#(ボソン場), N, N-#(ボソン場)) という形で表現できる。 超共形対称性 共形対称性 + 超対称性 = 超共形対称性 SL(2)=SU(1,1)=Sp(2) R対称性 Lie超群 フェルミオン対称性 フェルミオン対称性 1次元超共形群 超場構成済 超場予想 本論文 N≧8 超共形量子力学の予想 N>8で超空間・超場形式は成功していないが、 N=4の SU(1,1|2) 型の構成から SU(1,1|N/2) 型の作用の形は予想されている。 ‘88 Ivanov et al. II. M2ブレーン M2ブレーン 11次元超重力理論 ‘78 Cremmer et al. 計量 44 グラビティーノ 128 3形式ゲージ場 84 11次元超重力背景内を運動する(1+2)次元の膜状の物体 M2ブレーン(電気的) M2ブレーンの低エネルギー力学を記述する世界体積理論 • (8次元時空の位置) • (超対称性) • (複数枚のM2ブレーンの自由度) • conformal (D2ブレーン(3d SYM理論)のIR理論) M3=R1,2 ‘07 BLG理論 ‘08 ABJM理論 BLG理論 • ‘08 Bagger Lambert; Gustavsson 3次元 N = 8 超共形Chern-Simons物質理論 w/ OSp(8|4) Conf(R1,2) R対称性 • 構造定数 Lie 3-代数 計量 場の種類 Lagrangian 超対称パラメータ ABJM理論 • ‘08 Aharony et al. 3次元 N = 6 超共形Chern-Simons物質理論 w/ OSp(6|4) Conf(R1,2) R対称性 • U(N)k×U(N)-k箙ゲージ理論 モジュライ空間とブレーン幾何の解釈 ‘08 Aharony et al. ABJM理論 SO(4) BLG理論 k=1 Spin(4) BLG理論 k=2 内を運動するN枚のM2ブレーンの世界体積理 論 内を運動する2枚のM2ブレーンの世界体積理論 内を運動する2枚のM2ブレーンの世界体積理論 III. M2ブレーンから現れる 量子力学 M2ブレーンの低エネルギー力学を記述する世界体積理論 M3=R1,2 ‘07 BLG ‘08 ABJM M3=R×∑ 本論文の研究 有限体積の与えるエネルギースケール >> エネルギー さらなる極限を取れる！ 量子力学の出現 つまり IR量子力学 with エネルギースケール << (Riemann面の大きさ)1 How to derive? Step1. BPS方程式 → 低エネルギー配位を決定 Step2. Riemann面上の積分を実行 A4 2 BLG理論/T Step1. BPS方程式 → 低エネルギー配位を決定 × R BPS配 位 Step2. Riemann面上の積分を実行 N=16 超対称ゲージ化量子力学 補助場ゲージ場のintegrate out Hamiltonian reduction (Routh reduction) decoupleされたlocal chargeと結び付く運動 OSp(16|2) 超共形量子力学 超空間・超場では得られていない N = 16 超共形量子力学！ ABJM理論/T2 Step1. BPS方程式 → 低エネルギー配位を決定 × R BPS配 位 Step2. Riemann面上の積分を実行 N=12 超対称ゲージ化量子力学 補助場ゲージ場のintegrate out Hamiltonian reduction (Routh reduction) t ain d= 1 conformal group SL(2, R) as it s subgroup. It is the only non-compact bosonic subgroup, while ot her bosonic subgroups are compact subgroups of t he relevant R-symmet ries. The full list of simple supergroups of N -ext ended superconformal quant um mechanics can be founddecoupleされたlocal in [24] (more complet e informat ion can be found in [44]). In cont rast to the cases of N ≤ 4 chargeと結び付く運動 where t he corresponding superconformal groups are in fact unique,17 there are four different N = 8 superconformal group: SU(1, 1|4), OSp(8|2), OSp(4∗ |4) and real exceptional supergroup F (4) wit h the R-symmet ry subgroup SO(7). Unt il now, models of N = 8 superconformal mechanics have been found for t he supergroup OSp(4∗ |4) in [13, 14] and for t he supergroup F (4) in [32].18 Also, in ref. [70] on-shell component act ions for t he superconformal mechanics models associat ed wit h the conformal supergroups SU(1, 1| N / 2), N ≥ 4, were construct ed (see also [3, 110]). Imposing the appropriat e covariant const raint s on MC forms which accomplish t he covariant reduct ion of t he conformal supergroups SU(1, 1| N / 2) to t he compact supergroup SU(1| N / 2) , in [70] t here were found t he physical component cont ents of t hese models and t heir equations of mot ion. The on-shell act ion of such a (1, N , ?) supermult iplet is similar t o t he act ion (4.38), N > 8 超共形量子力学Lagrangianの予想形 SU(1,1|6) 超共形量子力学 SN ≥ 4 = m + ψ̄k ψk k ˙ dt ẋ ẋ + i ψ̄k ψ̇ − ψ̄k ψ − x2 k 2 , ’89 Ivanov et al. (5.1) where ψk is the spinor in the fundamental represent at ion of SU(N / 2) . As shown in [110], the generat ors of t he conformal supergroups SU(1, 1| N / 2), N > 4 can be obt ained from the N = 4 17 超場予想と一致！ T he degeneracy in t he N = 4 case is somewhat t rivial, since all possible N = 4 superconformal groups correspond t o different choices of t he paramet er α in t he supergroup D (2, 1; α); an except ion is t he supergroup SU(1, 1|2), but it enters as a mult iplier in t he semidirect product st ruct ure of t he supergroup D (2, 1; α) at α = 0 and − 1. 18 Some furt her possibilit ies are discussed, from t he group-t heoret ical point of view, in a recent paper [83]. 平坦なブレーン 平坦なBPSブレーン decoupling極限 低エネルギーブレーン 世界体積有効理論 = 超対称ゲージ理論 Dpブレーン → (1+p)次元SYM理論 M2ブレーン → BLG理論、ABJM理論 曲がったブレーン 曲がったBPSブレーン calibrated部分多様体 (超対称サイクル) C ambient空間 X decoupling極限 曲がったブレーン 世界体積理論 = トポロジカルtwisted理論 ‘95 Bershadsky Sadov Vafa 曲がったM2ブレーン 空間2次元が曲がった BPS M2ブレーン ∑g holomorphic curve (超対称2サイクル) CY多様体 decoupling極限 Q.どんな理論か X そこで トポロジカルtwistingを 考える トポロジカルtwisting ‘88 Witten トポロジカルtwisting = R対称群をゲージ化して Euclid回転群をtwistする ブレーン理論の観点では・・・ 超サイクル空間回転群 transverse空間回転群 トポロジカルtwisting ‘88 Witten トポロジカルtwisting = R対称群をゲージ化して Euclid回転群をtwistする 我々のM2ブレーンの観点では・・・ 超サイクル空間回転群 transverse空間回転群 トポロジカルtwisting ‘88 Witten トポロジカルtwisting = R対称群をゲージ化して Euclid回転群をtwistする M2ブレーンの観点では・・・ Riemann面回転群 SO(2)E transverse空間回転群 SO(8)R X=T∑+N∑ 例：D3ブレーンの場合 IIB型超弦理論の平坦なn枚のD3ブレーン decoupling極限 平坦なn枚のD3ブレーン の世界体積理論 D3ブレーンの 世界体積 D3ブレーンの transverse空間 R4 × R6 = ４次元 N=4 U(n) SYM理 論 SO(4)E×SO(6)R ≅ SU(2)l×SU(2)r×SU(4)R SO(4)’E = (1+ρ)SO(4) ρ: homomorphism (embedding) of SO(4)E into SO(6)R 3個の異なるトポロジカルツイスト SO(6)R=SU(4)R 4 = SU(2)×SU(2)×U(1) i. (2,1)++(1,2)ii. (2,1)++(2,1)iii. (2,1)0+(1,1)++(1,1) - GL twist VW twist DW twist 3種類のtwisted4次元 N=4 SYM twist GL VW DW SO(4)’E = SU(2)’l×SU(2)’r dim X SUSY 3種類のtwisted4次元 N=4 SYM twist GL SO(4)’E = SU(2)’l×SU(2)’r dim X 8 VW 7 DW 8 SUSY 3種類のtwisted4次元 N=4 SYM twist SO(4)’E = SU(2)’l×SU(2)’r dim X SUSY 8 2 VW 7 2 DW 8 1 GL 3個の知られている超対称4サイクル M4 twist SO(4)’E = SU(2)’l×SU(2)’r ambient空間 X dim X SUSY 8 2 7 2 8 1 GL VW DW 3個の知られている超対称4サイクル M4 ambient空間 X twisted 4d N=4 SYM理論 の 曲がったD3ブレーン としての美しい解釈 ! twist SO(4)’E = SU(2)’l×SU(2)’r dim X SUSY 8 2 7 2 8 1 GL VW DW M2ブレーンの場合に戻る ! 特に CY = 直線束の直和 の場合 SO(8)R→SO(2)1×SO(2)2×SO(2)3×SO(2)4 Twisted SO(2)荷電 元々の SO(2)荷電 R対称群のCartan SO(2)生成子 n=1 → CY2多様体 N=8 n=2 → CY3多様体 N=4 n=3 → CY4多様体 N=2 n=4 → CY5多様体 N=2 K3曲面 BLG理論 flat space N∑ N = 8 SUSY Twisted K3 BLG Lagrangian Step1. BPS方程式 → 低エネルギー配位を決定 × R BPS配 位 Step2. Riemann面上の積分を実行 曲がったRiemann面の情報 N=8 超対称ゲージ化量子力学 有効理論作用は • 1次元共形不変性 • N = 8 超対称性 を持つ 曲がったM2ブレーンを記述し得る 超共形量子力学！ 現在様々な観点から検証中 (reduced Gromov-Witten不変量等) IV. 結論と議論 結論 本研究で これまで構成困難と考えられてきた 高い超共形不変性を持つ 超共形量子力学を見出すことに成功し、 それは我々の世界の基本的物体の候補である M2ブレーンを記述し得る。 今後の課題 • K3曲面以外のCalabi-Yau多様体の量子力学 • ABJM, g≠1の場合の量子力学 • SCQMの解析を通じたM2ブレーンの理解 応用 • • • • AdS2/CFT1対応 (ブラックホール物理学) 3=1+2 対応 (2次元理論, Riemann面との関係) reduced Gromov-Witten不変量 新しい超共形量子力学の構成
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