灘中算数 灘中 (1) 灘進学教室 １４年 http://nadasingaku.com （すべて類題） 図１のように、長方形ＡＢＣＤがあり、点Ｅは辺ＡＤを１：３に分け、点Ｆは辺ＢＣの中点である。 図の斜線部分で示した、△ＡＦＤと△ＢＣＥの共通部分の面積は、長方形ＡＢＣＤの面積の何倍か。 (2) 図２は、１辺が１５ｃｍの立方体である。 辺ＡＥ、ＢＦ、ＣＧ、ＤＨには１ｃｍ刻みで０から１５までの目もりがついている。 点Ｐは対角線ＡＣを１：３に分け、点Ｑは対角線ＥＧの中点である。 四角すいＰ-ＥＦＧＨと四角すいＱ-ＡＢＣＤの共通部分を立体 V とする。 次の目もりのついた４つの点を通る平面で V を切ると、切り口は正方形になる。 ① その１辺の長さは何ｃｍか。 ② １の目もり …… １辺が１ｃｍの正方形 ５の目もり …… １辺が ｃｍの正方形 ７の目もり …… １辺が ｃｍの正方形 ９の目もり …… １辺が ｃｍの正方形 V の体積を求めよ。 【解説】 (1) ＡＦとＥＢの交点をＭ、ＤＦとＥＣの交点をＮとする 斜線部分＝△ＥＦＭ＋△ＥＦＮ FM FN ＋△ＥＦＤ× FA FD 1 2 3 2 ＝□ＡＢＣＤ× × ＋□ＡＢＣＤ× × 8 3 8 5 ＝△ＥＦＡ× （∵ ＦＭ：ＭＡ＝ＦＢ：ＥＡ＝２：１、ＦＮ：ＮＤ＝ＦＣ：ＥＤ＝２：３ ＝□ＡＢＣＤ× 答 より） 7 30 7 倍 30 (2) 図１のＡＢＣＤ、Ｅ、Ｆを、図２のＡＥＧＣ、Ｐ、Ｑにおきかえ、 ＰＥとＡＧの交点をＪ、ＣＱとＰＧの交点をＫとすると 四角形ＰＪＱＫは、立体 V の、平面ＡＥＧＣによる切り口になる ① 四角形ＰＪＱＫを、ＥＧに平行に横切る線分が、問題の切り口の正方形の対角線になる ５の目もりは、ちょうど点Ｊに対応するから ５の目もり …… １５× 5 ＝５より 15 １辺が ５ ｃｍの正方形 ９の目もりは、下から６目もりであり、ちょうど点Ｋに対応するから ９の目もり …… １５× 6 ＝６より 15 １辺が ６ ｃｍの正方形 目もり７は、目もり５と９の真ん中だから ７の目もり …… （５＋６）÷２より １辺が ５.５ ｃｍの正方形 ② V を、底面に平行な平面で切り分けると 目もり０∼５の部分 四角すい ＝底面（１辺５ｃｍの正方形）、高さ（５ｃｍ） 目もり９∼１５の部分 四角すい ＝底面（１辺６ｃｍの正方形）、高さ（６ｃｍ） 目もり５∼９の部分 四角すい台＝上面（１辺５ｃｍの正方形）、下面（１辺６ｃｍの正方形）、高さ（４ｃｍ） ＝底面（１辺６ｃｍの正方形）、高さ（２４ｃｍ）の四角すいのうち、上から V の体積は ５×５×５× 1 1 1 5 5 5 3 ＋６×６×６× ＋６×６×２４× ×（１− × × ）＝２３５ cm 3 3 3 6 6 6 5 を除いた部分 6 灘中算数 灘中 灘進学教室 １４年 http://nadasingaku.com （すべて類題） ２ ５つの異なる偶数がある。 この５つの数の平均は 61 . 6 、最も大きいものを除いた４つの数の平均は 6 0 . 5 、 最も小さいものを除いた４つの数の平均は 6 3 である。 である。 この５つの偶数の中で、２番目に小さいものは ３ 地点Ｘと地点Ｙを結ぶ、長さが２１００ｍのまっすぐな道がある。 Ａ君は地点Ｘを出発して毎分１４０ｍの速さで地点Ｙに向かう。 Ｂ君は地点Ｘと地点Ｙの間にある地点Ｚを出発して毎分１００ｍの速さで地点Ｙに向かう。 Ｃ君は地点Ｙを出発して毎分１６０ｍの速さで地点Ｘに向かう。 Ｄ君は地点Ｙを出発して毎分１８０ｍの速さで地点Ｘに向かう。 ４人が同時に出発したところ、Ａ君、Ｂ君、Ｃ君の３人は地点Ｐで同時に出会った。 このとき、地点Ｘと地点Ｚは ｍ離れている。 また、Ａ君とＤ君が出会った地点Ｑと、Ｂ君とＤ君が出会った地点Ｒは ｍ離れている。 ４ 図で、１９個の○に１から１９までの整数をひとつずつ入れて、 ア列からソ列までのそれぞれについて、 直線上に並んだ整数全部の和が列ごとにすべて３８になるようにする。 例えば、ケ列では １１＋１＋７＋１９＝３８ である。 図に、続けて整数を入れるとき、Ａに入る整数は 、Ｂに入る整数は である。 ５ 整数を、素数の積として表す。 例えば、１２は２×２×３と３個の素数の積として、 また、１０００は２×２×２×５×５×５と６個の素数の積として表される。 １から１０００までの整数で、７個以上の素数の積として表される整数全部のうち、 小さい方から５番目のものは 、最も大きいものは である。 ただし、１とその数のほかに約数がない整数を素数という。１は素数に含めない。 ６ 2 面積が１８ cm の正六角形ＡＢＣＤＥＦの内部に点Ｇをとり、６つの頂点とＧをそれぞれ直線で結ぶ。 ３点Ｂ、Ｇ、Ｅと、３点Ｄ、Ｇ、Ｆがそれぞれ一直線上にあるときは、△ＡＢＧの面積は ３点Ｃ、Ｇ、Ｅと、３点Ｄ、Ｇ、Ｆがそれぞれ一直線上にあるときは、△ＡＢＧの面積は cm 2 である。 cm 2 である。 灘中算数 灘中 灘進学教室 １４年 http://nadasingaku.com （すべて類題） ７ 図で、点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅは正五角形の頂点で、ＡＣの長さは５ｃｍである。 また、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅを中心とする円の半径はすべて１ｃｍである。 図の太線のように、５個の円にたるまないように糸をかける。 必要な糸の長さは ｃｍである。 ただし、糸の太さは考えない。 ８ 図の四角形ＡＢＣＤは、ＡＤとＢＣが平行な台形である。 対角線ＡＣ、ＢＤの交点をＥとし、辺ＢＣ上に点Ｆをとる。 2 2 三角形ＡＦＥの面積が４２ cm 、三角形ＤＥＣの面積が１０８ cm のとき、 （ＢＦの長さ）：（ＦＣの長さ）＝ ： になる。 ９ 図のような、斜線をつけた面とそれに向かい合う面が台形で、 他の面が長方形である水そうが、水平な床の上に置かれている。 この水そうを空にして、毎秒一定の量の水を注いでいく。 水を注ぎ始めてから４分後の水面の高さは２０ｃｍ、 また、水を注ぎ始めてから６分１８秒後の水面の高さは３０ｃｍであった。 水面の高さが６０ｃｍになるのは、水を注ぎ始めてから 分 秒 後である。 １０ 図は、１辺が６ｃｍの立方体である。 四角すいＥ-ＡＢＣＤを３点Ａ、Ｆ、Ｈを通る平面で切ったとき、 この平面と辺ＢＥ、ＣＥ、ＤＥとの交をそれぞれＩ、Ｊ、Ｋとする。 四角すいＥ-ＡＩＪＫの体積は cm3 である。 １１ 図のように、長方形の板から大小２つの直角二等辺三角形の部分を切り取った板がある。 ただし、板の厚さは考えない。 この板を直線アのまわりに１回転させたとき、板が通過する部分の体積は cm3 である。 灘中算数 灘中 灘進学教室 １４年 http://nadasingaku.com （すべて類題） １ 縦横に並んだ○の中に数を入れていく。 ただし、１つの○がその上下左右にある４つの○と短い線でつながっているとき、 これら５つの○のうち、中央にある○の中の数は、残りの４つの○の中の数の平均となるようにする。 例えば、 のとき、アには 2 1 、イには５、ウには１１が入る。 2 この規則に従って、次の(1)∼(5)で、数の入っていない○の中に数を入れよ。 ２ 東西方向にまっすぐな道があり、西から順にＡ地点、Ｂ地点、Ｃ地点がある。 この道をＰ君とＱ君が歩く。 Ｐ君とＱ君の歩く速さは一定で、その比は３：４である。 また、Ｐ君は１５分歩くたびに２分休むことをくり返し、Ｑ君は８分歩くたびに１分休むことをくり返す。 Ｐ君がＡ地点からＢ地点に、Ｑ君がＢ地点からＡ地点に向かって同時に歩き始めると、 １０分後に初めて２人は出会う。 また、Ｐ君がＡ地点からＣ地点に、Ｑ君がＣ地点からＡ地点に向かって同時に歩き始めると、 ２０分後に初めて２人は出会う。 ＢＣ区間の距離は１５００ｍである。 (1) Ｐ君、Ｑ君の歩く速さは毎分何ｍか。 また、ＡＢ区間の距離は何ｍか。 (2) Ｐ君はＡ地点を、Ｑ君はＢ地点を同時に出発して歩き始め、ＡＢ区間を１往復する。 ２回目に２人が出会うのは、歩き始めてから何分後か。 また、このとき、２人はＡ地点から何ｍの地点にいるか。 灘中算数 灘中 灘進学教室 １４年 http://nadasingaku.com （すべて類題） ３ ２辺が１０ｃｍ、２０ｃｍの長方形のタイルがたくさんある。 これらのタイルで長方形の壁をすき間がないようにしきつめる。 例えば、縦３０ｃｍ、横２０ｃｍの壁の場合、タイルのしきつめ方は のように全部で３通りある。 (1) 縦３０ｃｍ、横４０ｃｍの壁の場合、タイルのしきつめ方は全部で何通りあるか。 (2) 縦３０ｅｍ、横６０ｃｍの壁の場合、タイルのしきつめ方は全部で何通りあるか。 ４ ４桁の整数ＡＢＣＤに次の①、②、③の「操作」をして新しい整数を作る。 ① Ａ×Ａ、Ｂ×Ｂ、Ｃ×Ｃ、Ｄ×Ｄをそれぞれ計算する。 ② ①でできた４個の数をそれぞれ１４で割り、余りを求める。 ただし、０を１４で割ったときの余りは０である。 ③ ②で求めた余りを順に並べて整数を作る。 例えば、右のように、２０１４に「操作」をすると４０１２ができ、 １５１３に「操作」をすると１１１１９ができいる。 (1) 次の表の空欄に数を入れて表を完成させよ。 Ｄ ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ Ｄ×Ｄ ０ １ ４ ９ １６ ２５ ３６ ４９ ６４ ８１ Ｄ×Ｄを１４で割った余り ０ １ ４ ９ ２ １１ (2) 「操作」をしても値が変化しないような４桁の整数は全部で何個あるか。 (3) 「操作」をすると値が小さくなるような４桁の整数は全部で何個あるか。 (4) 「操作」をすると値が大きくなるような４桁の整数は全部で何個あるか。
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