= ∑ ∫ ∫ = ∑ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∑ ∑

2010 量子力学（野嶋）
○母関数 generating function
エルミート多項式の母関数
G (ξ , s ) ≡ e − s
2
+ 2 sξ
2
= eξ ⋅ e
−( s −ξ )
G(ξ,s)をs=0の周りでのテイラー
展開した時、その係数にHk (ξ)
が現れる。
H k (ξ ) k
s
!
k
k =0
∞
=∑
2
エルミート多項式
∂ n −ξ 2
H n (ξ ) = ( − ) e
e
∂ξ n
n


ξ2 ∂
−ξ 2
ξ2
−ξ 2
 e.g., H1 (ξ ) = −e ∂ξ e = −e ⋅ ( −2ξ ) e = 2ξ 


ξ2
規格直交性
ϕ n ( x ) = N n H n (α x ) e
ϕ m ϕ n = δ mn
1
− α 2 x2
2
(ξ = α x )
（証明）母関数を用いた証明・・・証明すると共に規格化定数Nnを決める。
ϕm ϕn =
∞
N m* N n H m (α x ) H n (α x ) e −α x dx
∫
2 2
−∞
= N N nα
*
m
∞
∫
H m (ξ ) H n (ξ ) e−ξ dξ → δ mn
2
−∞
∞
I≡
−1
−ξ
∫ G (ξ , s ) G (ξ , t ) e dξ を２通りの方法で調べてみよう。
2
−∞
・母関数を用いて
∞
I=
∫e
− s 2 + 2 sξ − t 2 + 2 tξ −ξ 2
e
e
dξ =
−∞
∞
∫e
2
− ξ −( s + t )  + 2 st
dξ = e
∞
2 st
−∞
∞
π2
n =0
n!
= π e 2 st = ∑
n
s nt n =
−x
∫ e dx note : x ≡ ξ − ( s + t )
−∞
π 2 n!δ )
∑ m!n!(HJJJJJJJJJJJJJ
GJ
∞
m n
s t
n
mn
m ,n =0
・他方、母関数の展開式を用いて
∞
2
規格化定数
12
 α

Nn = 

n
 π 2 n! 
∞
smt n
−ξ 2
I= ∑
H
ξ
H
ξ
e
dξ
(
)
(
)
m
n
∫
m
n
!
!
m ,n = 0
−∞
HJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJGJ
∞

2
2
n
−ξ 2
−1
 m = n → ∫ H n (ξ ) e d ξ = π 2 n ! → N n α

−∞

∞
 m ≠ n → H (ξ ) H (ξ ) e − ξ 2 d ξ = 0
n
∫ m


−∞
16
e.g.


12 


α


 N0 =  π  

 
π 2n n ! = 1 
12



α
 N1 = 
 

2 π  


⋅ ⋅ ⋅


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