次元の一意性と基底の存在 Proposition 0.1. V をベクトル空間とする。 (1

次元の一意性と基底の存在
Proposition 0.1. V をベクトル空間とする。
(1) （置き換え定理）v1 , . . . , vn を V の元、r を実数とする。このとき v1 , . . . , vn
が一次独立であることと、v1 , v2 + rv1 , v3 , , . . . , vn が一次独立であるこ
とは同値である。
(2) V の元 v1 , . . . , vn で生成される V の部分空間 W = ⟨v1 , . . . , vn ⟩ から
(n + 1) 個の元 w1 , . . . , wn+1 をとると一次従属である。
Proof. (1) v1 , . . . , vn を一次独立として、v1 , v2 + rv1 , v3 , , . . . , vn が一次独立を
示す。a1 v1 + a2 (v2 + rv1 ) + a3 v3 + · · · an vn = 0 とする。これを変形して
0 = a1 v1 + a2 (v2 + rv1 ) + a3 v3 + · · · + an vn
= (a1 + r)v1 + a2 v2 + a3 v3 + · · · + an vn
となるが、v1 , . . . , vn の一次独立性をより、a2 = · · · = an = 0 であり、a1 +ra2 =
0 から a1 = 0 もいえる。また逆に v1 , v2′ = v2 + rv1 , v3 , , . . . , vn が一次独立で
あれば、v2 = v2′ − rv1 なので v1 , . . . , vn の一次独立性が言える。
(2) n による帰納法と背理法で示す。n = 1 の時は容易。w1 , . . . , wn+1 が一
次独立であるとする。w1 = 0 であれば、一次従属なので、w1 ̸= 0 であるとし
てよい。w1 を v1 , . . . , vn 一次結合で表したときの係数のうちのどれかは 0 でな
いので、簡単のためそれを v1 として、w1 = a1 v1 + u1 と書く。ここで a1 ̸= 0,
u1 ∈ ⟨v2 , . . . , vn ⟩。さて w2 = a2 v1 + u2 , u2 ∈ ⟨v2 , . . . , vn ⟩ と表せば、
a2
a2
a2
w2′ = w2 − w1 = (a2 v1 + u2 ) − (a1 v1 + u1 ) = u2 − u1 ∈ ⟨v2 , . . . , vn ⟩
a1
a1
a1
とおくと、(1) より、w1 , w2′ , w3 . . . , wn+1 は一次独立。この操作を w3 , . . . , wn+1
′
′
は一
∈ ⟨v2 , . . . , vn ⟩ で w1 , w2′ , . . . , wn+1
について同様に行えば、w3′ , . . . , wn+1
′
′
次独立となる。とくに w2 , . . . , wn+1 ∈ ⟨v2 , . . . , vn ⟩ も一次独立となる。これは
帰納法の仮定に反する。
□
Theorem 0.2. W を Rn の部分空間とする。
(1) W の基底の個数はその取り方によらない。
(2) W には基底が存在する
Proof. (1) w1 , . . . , wp 、v1 , . . . , vq ともに W の基底とする。w1 , . . . , wp は W の
生成系で v1 , . . . , vq は一次独立なので、Proposition 0.1 より q ≤ p. 逆もいえ
るので p = q.
(2) Rn は n 個の元で生成されるので W で一次独立な元の個数は n 個以下な
ので、一次独立なものの個数の最大値を与えるものを v1 , . . . , vp とする。w ∈ W
をとれば v1 , . . . , vp , w は一次従属なので a1 v1 + · · · + ap vp + bw = 0 なる非自
明な関係式がある。b = 0 ならば v1 , . . . , vp の一次独立性に反するので上の関
係式を b で割ることにより w が v1 , . . . , vp の一次結合であらわされることがわ
かる。したがって v1 , . . . , vp は生成系でもあり、したがって基底となる。 □
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