論文 - 九州工業大学木内研究室

有限要素法による
MgB2超伝導バルク磁石の
電磁気解析
電子情報工学科
木内研究室
11232069
平松
佑太
平成27年2月19日
目次
第 1 章序論 ............................................................................................................................ 1
1.1 超伝導体 ....................................................................................................................... 1
1.1.1 超伝導体の歴史 ..................................................................................................... 1
1.1.2 第 1 種・第 2 種超伝導体 ...................................................................................... 2
1.1.3 二ホウ化マグネシウム(MgB2) .............................................................................. 3
1.1.4 着磁 ....................................................................................................................... 3
1.1.5 超伝導バルク......................................................................................................... 4
1.2 有限要素法(FEM: Finite Element Method) ............................................................... 5
1.3 JMAG ........................................................................................................................... 5
1.4 A -ϕ 法 .......................................................................................................................... 5
1.5 臨界状態モデル ............................................................................................................ 7
1.6 FEM による着磁特性の計算 ........................................................................................ 8
1.7 本研究の目的.............................................................................................................. 10
第 2 章 FEM 解析 ................................................................................................................ 12
2.1 解析方法 ..................................................................................................................... 12
2.2 解析内容 ..................................................................................................................... 16
2.2.1 円盤状バルクの 2 枚重ねモデルの解析 .............................................................. 16
2.2.2 厚さを変化させた場合の円盤状モデルの解析 ................................................... 18
2.2.3 円盤状モデルの解析............................................................................................ 18
2.2.4 リング状モデルの解析 ........................................................................................ 18
第 3 章結果及び考察 ........................................................................................................... 19
3.1 円盤状バルクの 2 枚重ねモデルの解析 ..................................................................... 19
3.2 厚さを変化させた場合の円盤状モデルの解析 .......................................................... 23
3.3 円盤状モデルの解析................................................................................................... 25
3.4 リング状モデルの解析 ............................................................................................... 27
第 4 章まとめ ...................................................................................................................... 33
参考文献 ............................................................................................................................... 35
謝辞 ....................................................................................................................................... 36
i
図目次
図 1.1 超伝導状態と常伝導状態の関係 ......................................................................... 1
図 1.2 第 1 種・第 2 種超伝導体 .................................................................................... 3
図 1.3 FCM(Field Cool Magnetization)........................................................................ 4
図 1.4 有限要素法の概念 ............................................................................................... 5
図 1.5 FEM 計算の解析モデル....................................................................................... 9
図 1.6 外部磁界の印加と温度の関係 ........................................................................... 10
図 1.7 外部磁界の減少速度と温度上昇及び捕捉磁界の関係 ....................................... 10
図 2.1 解析状況のイメージモデル............................................................................... 13
図 2.2 解析モデル ........................................................................................................ 13
図 2.3 メッシュモデル ................................................................................................. 15
図 2.4 本研究で使用した着磁方法............................................................................... 15
図 2.5 正弦波電流 ........................................................................................................ 16
図 2.6 2 枚重ね円盤モデル ........................................................................................... 17
図 2.7 𝐽c − 𝐵特性.......................................................................................................... 17
図 2.8 厚さ変化の円盤状モデル .................................................................................. 18
図 2.9 円盤状モデル .................................................................................................... 18
図 3.1 最大捕捉磁界の温度依存性............................................................................... 20
図 3.2 バルク中心における磁束密度分布.................................................................... 22
図 3.3 バルク表面における磁束密度 ........................................................................... 22
図 3.4 バルク中心の磁束密度分布............................................................................... 24
図 3.5 バルク中心の電流密度分布............................................................................... 24
図 3.6 バルク表面 3.0mm 上の磁束密度分布.............................................................. 26
図 3.7 バルク表面上における磁束密度分布の𝒛軸依存性 ............................................ 26
図 3.8 リング状バルクのバルク中心における臨界電流密度 ...................................... 27
図 3.9 内径 0 mm のときの臨界電流密度分布 ............................................................ 28
図 3.10 内径 15 mm のときの臨界電流密度分布 ........................................................ 28
図 3.11 内径 25 mm のときの臨界電流密度分布 ........................................................ 28
図 3.12 リング状バルクのバルク中心における磁束密度分布 .................................... 30
図 3.13 リング状バルクのバルク表面における磁束密度分布 .................................... 30
図 3.14 内径 0 mm のときの磁束密度分布 ................................................................. 31
図 3.15 内径 15 mm のときの磁束密度分布 ............................................................... 31
図 3.16 内径 25 mm のときの磁束密度分布 ............................................................... 31
ii
表目次
表 3.1 各温度におけるバルク中心および表面における捕捉磁界 ................................ 20
iii
第1章序論
1.1 超伝導体
1.1.1 超伝導体の歴史
1908 年，オランダのヘイケ・カマーリン・オンネス (Heike Kamerlingh Onnes) が
ヘリウムの液化に初めて成功した．1911 年に液体ヘリウムが極低温であることを利用
し，水銀の抵抗が 4 K 付近で突然ゼロになる現象を発見した．このような物理現象は
今までにないということが分かり，導体以上の電気伝導率を持つことから，この現象を
持つ物質は超伝導体と呼ばれるようになった．超伝導体は，臨界温度以上の温度下では
電磁気的性質において常伝導体と変わりないが，ある温度を下回ることで電気抵抗ゼロ
などの様々な性質を示すようになる．この状態を超伝導状態という．超伝導体は，図 1.1
に見られるように，温度の上昇や外部磁界，流れる電流が大きくなることで常伝導状態
へと転移する．この超伝導状態が保てなくなる限界値をそれぞれ臨界温度𝑇c ，臨界磁界
𝐻c ，臨界電流密度𝐽c という．
図 1.1 超伝導状態と常伝導状態の関係
超伝導状態では電気抵抗が無いことで大電流が通電できるということが期待され，研
究が進められたが 40 年間決定的な理論は発見されなかった．しかし，BCS 理論が
1957 年に発表されたことにより超伝導体の発見機構が明らかにされた．この理論では
1
超伝導体が超伝導状態から常伝導状態へと転移する温度である臨界温度𝑇c は 30 K 程
度だと考えられた．しかしながら，1986 年に 30 K 以上の高温の𝑇c を持つLa2−𝑥 Bax CuO4
などの La-Ba-Cu-O 系超伝導体がドイツの物理学者・鉱物学者のヨハネス・ゲオルグ・
ベドノーツ(Johannes Georg Bednorz) とスイスの物理学者のカール・アレクサンダー・
ミュラー(Karl Alexander Muller)によって発見された．これは，化学式に酸素を含むこ
とからこのような超伝導体は酸化超伝導体とよばれるようになった．初の酸化物超伝導
体の発見以降，𝑇c が液体窒素の沸点(77.3 K)以上の高温超伝導体も発見され，今後より
高い𝑇c を持つ超伝導体の発見が期待されている．
1.1.2 第 1 種・第 2 種超伝導体
超伝導状態では電気抵抗がゼロであるという性質のほかに，完全反磁性という性質が
ある．これは超伝導体の外部から磁界𝐻e をかけても超伝導体内の磁界の強さを表す量で
ある，磁束密度𝐵はゼロに保たれるという性質である．1933 年にマイスナー(Fritz
Walther Meissner) とオクセンフェルト(Robert Ochsenfeld) によって発見されたこの
完全反磁性の現象は Meissner 効果と呼ばれる．外部磁界を大きくしていき，臨界磁界
𝐻c を超えると，超伝導体の反磁性の性質が失われ，常伝導状態となる．
臨界磁界以上の外部磁界中で反磁性の性質が完全に失われる超伝導体は第 1種超伝
導体と呼ばれ，Pb や Hg がこれに属する．これに対し，臨界磁界以上の外部磁界中で
Meissner 状態が破れ，磁束が部分的に超伝導体内に侵入し，さらに大きな磁界をかけ
たときに反磁性が完全に消失し，常伝導状態になる超伝導体は第 2 種超伝導体と呼ば
れる．Nb と V およびほとんどの合金超伝導体や化合物超伝導体はこれに属する．図 1.2
に見られるように，Meissner 効果が失われ始める最初の臨界磁界を下部臨界磁界𝐻c1，
常伝導状態になる臨界磁界は上部臨界磁界𝐻c2 と呼ばれる．
第一種超伝導体の臨界磁界𝜇0 𝐻cは 10～100 mT であるから，マグネットや電力輸送
のような実用目的にはまり適さない．一方，第 2 種超伝導体の上部臨界磁界𝜇0 𝐻c2 は非
常に高く，実用超伝導体であるNb37 Ti63では 15 T，Nb3 Snでは 29 T，臨界温度が 100 K
を超えるイットリウム系銅酸化物高温超伝導体YBa2 Cu3 Ox では 350 T である．上部臨
界磁界が大きな第 2 種超伝導体は高磁界での運用が必要なエネルギー機器への応用が
期待されている．
2
図 1.2 第 1 種・第 2 種超伝導体
1.1.3 二ホウ化マグネシウム(MgB2)
二ホウ化マグネシウム(MgB2)は，1950 年代からその存在は知られており試薬粉末と
して市販されていたが，2001 年に超伝導状態を持つことが判明した金属超伝導体であ
る[1]．
MgB2 の臨界温度𝑇c は金属超伝導体では最高の 39 K を誇り，液体ヘリウム(4.2 K)
ではなく冷却機や液体水素(20 K)を用いて超伝導状態にすることが可能である．マグネ
シウム(Mg)やホウ素(B)は自然界に多く存在しており，レアアースを用いる超伝導体と
比較して手に入れることが容易であるため，安価である．銅酸化物超伝導体と違い，結
晶間の結合が強いため，一つの結晶粒から隣の結晶粒へ大きな超伝導電流を流すことが
でき，結晶粒の向きをそろえる配向化が不必要である．現在，実際に使用されている
Nb3Sn や Nb-Ti の代わりとして，その高コストパフォーマンスや高い臨界温度を生か
した MRI や超伝導ケーブルなど様々な用途での応用が期待されている[2][3]．
1.1.4 着磁
超伝導体に外部磁界をかけることで，超伝導体に磁界を残すことを着磁という．通常，
着磁実験を行う際には磁場中冷却法 FCM(Field Cooled Magnetization)と呼ばれる着
磁方法を用いる．この方法は，図 1.3 に示してあるように，臨界温度以上の温度上で外
部磁界を印加し，外部磁界を維持した状態で温度を臨界温度以下まで落とし，測定温度
まで落とした後に外部磁界を落とすことで着磁を行う方法である．外部磁界を落として
いくことで超伝導体の表面から磁界が侵入していき，内部に定着することで磁界を着磁
させている．FCM は，零磁場冷却法 ZFCM(Zero Field Cooled Magnetization)と呼ば
3
れる着磁方法と比較される．ZFCM では、磁界をゼロにした状態で温度を測定温度まで
落とした上で，外部磁界を印加し，ゼロまで落とすことによって着磁を行っている．し
かし，同等の磁界を残すためにはより強力な磁界をかける必要があり，その点にて
ZFCM は劣っている．その他に，パルス着磁 PFM(Pulsed-field Magnetization)と呼ば
れる着磁方法があり，この着磁方法では一定温度下で強力な正弦波磁界を与えることで
着磁を行っている．しかし，この方法は磁束線の運動が起こることで急激な熱上昇を引
き起こし，その熱上昇による超伝導体の破損や捕捉磁界の低下などを引き起こすという
問題も存在するため，実際の実験には急激な熱上昇のない FCM の方が用いられること
が多い．
図 1.3 FCM(Field Cool Magnetization)
1.1.5 超伝導バルク
超伝導バルクとは，バルクという言葉が示している通り超伝導体の塊であり，バルク
体に着磁を行うことで強力な磁力を持たせることで利用されている．これは，超伝導体
のもつ磁気的側面を強く押し出したもので，磁束ピンニングなどの磁気的現象を利用す
る際に用いる．超伝導バルク素材は超伝導コイルと違い，素材の小型化が望める点やそ
の小型な形状と対称的に大きな磁束密度を発生させることができる点，それに伴った冷
凍機の小型化が望むことができ，冷凍機に対しても小型化や低コスト化を実現できる点
などの利点があり，コイル型超電導磁石に代わる存在として期待がかけられている[4]．
また，磁石の近傍では強力な磁束密度が発生するが，距離減衰が高いために磁石の周囲
の影響が小さい点も利点として考えられる．
これまでの研究では，低温超伝導体では熱的不安定性から起こるクエンチのためにバ
ルク体の実用化には至っておらず，REBCO 系の高温超電導体が主体となっていた[5]．
しかし，MgB2 が金属超伝導体においては比較的高温である 39 K で超伝導状態に転移
することが発表され，軽量である点や製造コストが低い点，磁気が均一に発生するとい
4
った利点のために MgB2 超伝導バルクもまた研究が行われるようになった．
現在，上記の利点を用いることによって，超伝導バルク体に関して卓上用
NMR(NMR：Nuclear Magnetic Resonance)，小動物用 MRI(MRI：Magnetic Resonance
Imaging)，磁気誘導薬物伝達システム(MDDS：Magnetic Drug Delivery System)や汚
水浄化用磁気分離装置などの応用が検討されている[5]．
1.2 有限要素法(FEM: Finite Element Method)
有限要素法(FEM：Finite Element Method)は，解析的に解くことが難しい微分方程
式の近似解を数値的に得る方法の１つである．円柱や無限平板のような単純な形状では
なく，複雑な形状の問題だと解析的に解くことは非常に困難である．そこで複雑な形状
の問題の解析を行う場合は，対象物を単純な形状の要素の集合体としてとらえ，各々の
要素間で境界条件を満たすように方程式を作製する．それから，それぞれの要素で作製
された方程式を対象物全体の連立一次方程式として組み立てて計算を行う．またメッシ
ュと呼ばれる分割された要素を細かくすることで，計算精度は増加する．しかし，有限
要素法は単なる数値解析手法であるため，解析対象物のモデリングが適切でないと間違
った解析結果を導く可能性が高い．そのため，解析対象物についてよく理解しておく必
要がある．有限要素法の概念を図 1.4 に示す．
複雑な図形
分割
それぞれ計算
再構成
図 1.4 有限要素法の概念
1.3 JMAG
JMAG は 1983 年に株式会社 JSOL が開発した電気機器設計，開発のためのシミュ
レーションソフトウェアであり，有限要素法を用いて高速に解析することによりバルク
内部の複雑な物理現象を正確に捉えることができる．また，JMAG は「高い分析能力」
，
「高速計算」
，
「高い生産性」
，
「オープンインターフェース」の 4 つのコンセプトから成
り立っている．
1.4 A -ϕ 法
渦電流問題を高速に解く方法として，磁気ポテンシャル A と電気スカラポテンシャ
5
ル ϕ を未知数として解くベクトルポテンシャル法(A－ϕ 法)というものがある．
磁束密度𝑩は，磁気ポテンシャル𝑨を用いると，
𝑩= ∇×𝑨
(1.1)
∇ × 𝑬 + 𝑩̇ = 0
(1.2)
∇ × 𝑬 = −𝑩̇ = −∇ × 𝑨
(1.3)
と表せる．これを Maxwell 方程式
に代入すると，
すなわち，
∇ × (𝑬 + 𝑨̇) = 0
(1.4)
と表せる．ここで𝑬は電場の強度，𝑩̇は𝜕𝑩⁄𝜕𝑡である．任意のスカラ関数 ϕ について，
∇ × ∇𝜙 = 0であるから，𝑬は
𝑬 = −𝑨̇ − ∇𝜙
(1.5)
と表せる．
透磁率𝜇，電気伝導率𝜎の導体中の磁場強度を𝑯，電流密度を𝑱とする．
∇ × 𝑯に関する Maxwell 方程式は
∇ × 𝑯 = 𝑫̇ + 𝑱 = 0
(1.6)
であるが，周波数が極めて低い場合を考えるので電束密度𝑫の時間微分は無視できると
考えると
∇×𝑯 =𝑱
(1.7)
∇・𝑱 = 0
1
𝑯= 𝑩
𝜇
(1.8)
となる．式(1.7)に，式(1.1)および関係式
𝑱 = 𝜎𝑬
(1.9)
(1.10)
を代入すると
1
∇ × 𝑯 = ∇ × ( ∇ × 𝑨)
𝜇
∇・𝑱 = ∇・𝜎𝑬 = −𝜎∇・(∇𝜙 + 𝑨̇) = 0
(1.11)
(1.12)
となる．任意のベクトル𝑨において
∇ × ∇ × 𝑨 = ∇(∇・𝑨) − ∇2 𝑨
(1.13)
が成立する．これにクーロンゲージ条件(∇・𝑨 = 0) を代入すると，
∇ × ∇ × 𝑨 = −∇2 𝑨
(1.14)
となる．式(1.11)，式(1.12) に代入すると，
1 2
∇ 𝑨 = 𝜎(𝑨̇ + ∇𝜙)
𝜇
となる．ここで𝜙 = 𝚽̇と定義して，式(1.12)，式(1.15) に代入すると，それぞれ
6
(1.15)
1 2
∇ 𝑨 = 𝜎(𝑨̇ + ∇𝚽̇)
𝜇
∇・𝜎(𝑨̇ + ∇𝚽̇) = 0
(1.16)
(1.17)
となる．これらが導体中の支配方程式である．
次に，空気領域では，𝑱𝑒𝑥 を外部電流密度とすると，Maxwell 方程式より
∇ × 𝑯 = 𝑱𝑒𝑥
1
(1.18)
1
𝑯 = 𝜇 𝑩 = 𝜇 ∇ × 𝑨(𝜇0 は空気中の透磁率)と Maxwell 方程式から，
0
0
1
∇ × ∇ × 𝑨 = 𝑱𝑒𝑥
𝜇0
(1.19)
1 2
∇ 𝑨 = −𝑱𝑒𝑥
𝜇0
(1.20)
よって空気中の支配方程式は，
となる．
支配方程式を空間で離散化すると誤差が生じる．たとえば，導体中の支配方程式では，
1 2
∇ 𝑨 − 𝜎(𝑨̇ + ∇𝚽̇) = 𝛿𝑥
𝜇0
(1.21)
となり，𝛿𝑥 が誤差である．有限要素法では，左辺の微分方程式と右辺の誤差に重み𝛿𝑤
をかけて体積積分したものをゼロと考えることにより，誤差𝛿𝑥 を考慮しなくてもよい
ようにしている．
∫ 𝛿𝑤・ {
𝑉
1 2
∇ 𝑨 − 𝜎(𝑨̇ + ∇𝚽̇)} d𝑉 = ∫ 𝛿𝑤・𝛿𝑥 d𝑉 = 0
𝜇0
𝑉
(1.22)
A－ϕ 法の有限要素法では，重み𝛿𝑤 を A の各成分の微小変化
𝛿𝑤 = (𝛿𝐴𝑥 ，𝛿𝐴𝑦 ，𝛿𝐴𝑧 )
(1.23)
とする．
他の支配方程式についても同様の操作を行う．
1.5 臨界状態モデル
第 2 種超伝導体では，混合状態下に磁束線が超伝導体内部に入り込むことから，超伝
導電流の影響により磁束線は Lorentz 力を受ける．Lorentz 力𝐹L は超伝導体に流れる電
流密度𝐽と超伝導体に侵入する磁束密度𝐵から表すことができ，𝑭L = 𝑱 × 𝑩である．磁束
線は Lorentz 力による駆動力を受け動こうとするが，この磁束線の動きを止めるよう
にこの力に等しい制動力が働く．その一つがピンニング力𝑭P であり，もう一つが粘性力
𝑭V である．これらの力が釣り合っているモデルのことを，臨界状態モデルという．臨界
状態モデルは，
𝑭L + 𝑭P + 𝑭V = 0
7
(1.24)
で表せる[6]．
ここで，無限円柱を想定した超伝導体について考える．このとき，FCM のように準
静的に外部磁場が変化するような過程においては，磁束線の速度𝒗が小さいため，粘性
力𝑭V は無視できる．そのため，
𝑭L + 𝑭P = 0
(1.25)
で表せる．対称性より，半径方向の磁束密度𝐵𝑟 ，動径方向の磁束密度𝐵𝜑 はそれぞれ 0 と
なる．ここで，𝛿は磁束線の半径方向の移動を示すものとし，1，または－1 を示すもの
とする．また，𝐵𝑧 は z 方向の磁束密度，𝐽c は臨界電流密度，𝑟はバルク中心からの動径方
向の距離，𝜇0 は真空の透磁率とすると，
𝐵𝑧 d𝐵𝑧
𝜇0 d𝑟
(1.26)
𝐹P = 𝛿𝐽c 𝐵𝑧
(1.27)
𝐹L =
より，
−
𝐵𝑧 d𝐵𝑧
= 𝛿𝐽c 𝐵𝑧
𝜇0 d𝑟
となる．
1.6 FEM による着磁特性の計算
近年，FEM によって様々な超伝導体における着磁特性の計算が行われてきた．現在
では，MgB2 においても FEM による着磁特性の計算が行われており，岩手大学工学部
マテリアル工学科に在籍している藤代博之教授によって，MgB2 バルクの FEM 解析に
FCM を再現することで正確に実験結果を再現することができるということが報告され
ている[7]．この研究では，直径 26 mm，厚さ 6.5 mm と直径 30 mm，厚さ 10 mm の
2 種類の円盤状バルクについて定義し，内径 120 mm，外径 150 mm，高さ 100 mm の
円筒状ソレノイドコイルを使用して 5 T の外部磁界を印加する状況を再現することで
着磁状況を再現している．図 1.5 では，実際に解析された FEM 計算の解析モデルを紹
介している．
8
図 1.5 FEM 計算の解析モデル[7]
図 1.6 では，左側の縦軸を温度，右側の縦軸を捕捉磁界の大きさ，横軸を時間として，
外部磁界の印加に伴う温度の変化と捕捉磁界の変化を示している．捕捉磁界はバルク表
面に発生する磁界を計算している．ここでは，外部磁界の減少速度を－0.22 T/min とし
て，FCM による着磁を行った場合，温度上昇が 0.5 K 程度であることが確認できる．
このことから，FCM による着磁では温度上昇がほとんど存在しないことがわかる．
図 1.7 では，左側の縦軸を温度変化の最高値，右側の縦軸を捕捉磁界の大きさ，横軸
を時間として，外部磁界の印加に伴う温度の変化と捕捉磁界の変化を示している．ここ
では，外部磁界減少速度が－0.52 T/min 以下になると，捕捉磁界が 2 T 付近において
0.01 T 以下の範囲でほとんど変化していないことが確認できる．そのため，外部磁界減
少速度が－0.52 T/min 以下となったところで，捕捉磁界の結果への影響は飽和したと
考えられる．以上のことから，FCM による温度上昇が小さいこと，さらにその温度上
昇による捕捉磁界の影響が小さいということが確認できる．
9
図 1.6 外部磁界の印加と温度の関係[7]
図 1.7 外部磁界の減少速度と温度上昇及び捕捉磁界の関係[7]
1.7 本研究の目的
ここまでで，MgB2 が研究されている経緯や MgB2 を利用することの利点を示してき
た．これまでは，FCM(FCM：Field Cool Magnetization)によって着磁を行うことで着
磁の際に発生する温度を抑え，冷凍機を用いることで 39 K 以下の低温にすることで
MgB2 の実験が行われている．その結果，MgB2 超伝導バルク円盤磁石では磁界が対称
10
になっていることや磁束密度の時間減衰が小さいことなどの結果が得られてきた[8]．
さらに，現在では FEM を利用することで実験結果を推測する試みが見られており，
MgB2 の FEM 計算も多くみられようになってきた．これまで FEM を利用した研究で
は，岩手大学の藤代博之教授によって FCM を再現することで MgB2 超伝導バルク磁石
についての捕捉磁界の評価を行うことができ，FEM による計算結果と実験結果との比
較が一致していることが報告されている[7]．このことから，FCM を再現することによ
って MgB2 超伝導バルク磁石は評価が可能であることが分かっている．同時に，捕捉磁
界の温度依存性や FCM を行う際の温度上昇の計算，その温度上昇に伴う最大捕捉磁界
の減衰率などもまた FEM によって計算している．この研究の中で，MgB2 が FCM に
よる着磁の際に温度上昇が 0.5 K と小さいこと，その温度上昇による捕捉磁界の変化が
0.01 T に満たないほど小さいことなどが報告されている．通常，FCM を再現するため
には電磁気方程式を計算するほかに，FCM の過程における熱方程式の計算や熱伝導率
の考慮をはじめとしたより多くの計算や条件定義を行う必要がある．そこで，FCM に
関する様々な計算を省略することで，より簡便に FEM 計算を行うことができると考え
られる．本研究では，FCM を使用しないことでより簡便にした着磁特性の FEM 計算
を行い，実験結果や臨界状態モデルから計算した着磁特性と比較することで，その評価
を行うことを目的としている．また，この FEM 計算によって求めた着磁特性の考察を
行っている．
11
第2章 FEM 解析
2.1 解析方法
本解析で行ったモデルは，MgB2 バルク超伝導体の周囲にコイルを置いた簡単なモデ
ルを基本として作成されている．解析状況として，図 2.1 に示すような MgB2 超伝導バ
ルク磁石の周囲にソレノイドコイルを配置している状況をイメージしている．通常，
FEM 計算では，スペーサや冷却器といった周辺機器についても考慮し，今回はそうい
った部分を省略することでより簡単なモデルとして解析を行っている[7]．さらに，今回
はモデルが角度方向に対して対称性があることから計算時間の短縮のために，モデルを
全体の 1/72 の 5°モデルを作成し計算を行っている．より細かい要素に分解する FEM
計算では，モデルの分割数，および大きさが計算時間に影響するため，このように解析
区間を省略することで大きく時間の短縮が図れる．
今回の FEM 計算に用いたソフトウェアは，1 章の 1.3 で紹介した，JSOL 社製の
JMAG-Studio ver. 10.0 である．JMAG 内で作成した解析モデルを図 2.2 に示す．この
モデルは，3 種類の物質で構成されており，図 2.1 のイメージモデルから確認できる
MgB2 超伝導バルク体，ソレノイドコイル，および空気という基本的なモデルとなって
いる．図 2.2 は，2 次元モデルを作成し，角度方向に 5°に引き伸ばした 3 次元モデル
である．この 3 次元モデルからも超伝導バルク，ソレノイドコイル，空気という構成要
素であることが確認できる．今回の研究では超伝導バルクに z 方向の外部磁界を印加し
ているため，ソレノイドコイルは z 方向に十分に大きくし超伝導バルクに均一に磁界が
かかるようにしている．そのため，超電導バルクに対して，ソレノイドコイルは十分に
大きくなっている．
12
図 2.1 解析状況のイメージモデル
超伝導バルク
ソレノイド
コイル
空気
図 2.2 解析モデル
13
FEM では，図 2.2 の解析モデルをさらに細かく要素分けすることで，より細かく解
析を行うことができる．この要素分割をしたモデルをメッシュモデルといい，図 2.3 に
図 2.2 におけるメッシュモデルを示している．メッシュモデル内では，特に重要な部分
に関しては細かく要素分けし，解析を行うことでより正確な結果を得ることができる．
今回の研究においては，特に必要な結果がバルク部分およびその周辺であることから，
バルク周辺の要素は細かくなっており，対してコイル部分およびバルクから離れた部分
に関しては一つ一つの要素が大きくなっている．実際には，コイル部分が 5 mm に設定
しているのに対し，バルク付近は 0.5 mm に設定しており，1/10 程度のメッシュカット
を行っている．残りの空気部分に関しては自動設定によって最適化しているため，バル
ク付近の空気は 0.5 mm 近くのメッシュに，離れている部分は 10 mm 近くの大きなメ
ッシュになっている．このように，より詳細に計算結果を必要とする場合には，必要な
部分に対して要素を細かくすることによって詳細な結果を得ることができる．
着磁のためにかける外部磁界が最大 9 T になるように，コイルの巻き数および印加電
流を設定する．これは，FCM で利用された最大外部磁界が 4.5 T であること[7]を踏ま
えて，中心到達磁界の 2 倍以上の外部磁界をかけることで FCM と同等の着磁を行うた
めである．通常，着磁では 1.3 で紹介した FCM(Field Cool Magnetization)を利用して
着磁を行う．しかし，今回はより簡潔な着磁を目的とした，温度変化のない着磁方法を
用いている．FCM をはじめとした通常の着磁方法では温度変化が起こることが前提と
なっている．そこで，一定温度を維持したまま，外部磁界を印加する．印加した外部磁
界が最大になったところでゼロ磁界まで落とすことで着磁を行っている．今回の着磁の
様子を図 2.4 に示す．
14
図 2.3 メッシュモデル
図 2.4 本研究で使用した着磁方法
15
着磁を行う際には，ソレノイドコイルに強力な電流を流すことでそれに対応した強力
な磁界が発生し，MgB2 バルクに着磁を行っている．今回コイルに流している電流は，
図 2.5 のような 0.25 Hz の 400 A 交流電流である．これにより，外部磁界を 1 sec で最
大磁界まで上昇し，さらに 1 sec でゼロ磁界まで減少させており，図 2.4 で示したよう
な外部磁界の印加を行っている．また，コイルの外部磁界を変化させる際には，コイル
に流す電流のほかにも，コイルの巻き数の設定を変更することでも行うことができる．
今回は巻き数を厚さ 1 mm に対して 30 回になるように設定している．
今回は温度変化を考慮しないことを前提としているため，FEM 計算においては温度
上昇が起こらないようになっている．
current [A]
400
200
0
0
1
t [s]
2
図 2.5 正弦波電流
2.2 解析内容
2.2.1 円盤状バルクの 2 枚重ねモデルの解析
解析モデルの MgB2 バルク超伝導体を，半径を 15 mm，厚さを 10 mm とし 2 枚重ね
にした状態で，温度を 5 ~ 37.5 K まで変化させた場合の最大捕捉磁界を FEM で計算
した．モデルの概要図を図 2.6 に示す．それに対して，FCM の過程で 4.5 T の外部磁
界下において 10 K まで冷却させた場合の実験結果と比較した[8]．また，それぞれの温
度におけるバルク表面，またバルク中心の磁束密度分布を FEM によって計算し，その
結果に対して考察を行った．実験結果は，10~38 K までのデータになっている．温度依
存性は，それぞれバルク表面とバルク中心の最大捕捉磁界をそれぞれ計算している．
JMAG による FEM 計算を行う際には，𝐽c − 𝐵特性のデータを用いる必要がある．
16
図 2.7 に本解析にて用いられた，各温度の𝐽c − 𝐵特性の実験結果を示す[9]．
図 2.6 2 枚重ね円盤モデル
10
Measured
(group of Univ. of Tokyo)
2
Critical current density Jc [A/m ]
10
10
8
10
6
10
4
10
2
37.5 K
35.0 K
32.5 K
0
2
4
Magnetic flux density B [T]
図 2.7 𝑱𝐜 − 𝑩特性
17
30.0 K
5.0 K
7.5 K
10.0 K
12.5 K
15.0 K
17.5 K
20.0 K
22.5 K
25.0 K
27.5 K
6
2.2.2 厚さを変化させた場合の円盤状モデルの解析
解析モデルの MgB2 バルク超伝導体を，半径を 30 mm，温度を 20 K とした状態で，
厚さを 10~1000 mm まで変化させた場合のバルク中心の磁束密度分布及び電流密度分
布を FEM で計算し，1.5 に示した臨界状態モデルから算出した無限円柱を想定した場
合の計算結果と比較した．モデルの概要を図 2.8 に示す．
図 2.8 厚さ変化の円盤状モデル
2.2.3 円盤状モデルの解析
解析モデルの MgB2 バルク超伝導体を，半径を 15 mm，厚さを 10 mm，温度を 20 K
とした場合のバルク表面上 3.0 mm の磁束密度分布及びバルク表面上 0.5 ~ 9.0 mm の
磁束密度分布を FEM で計算し，実験結果[8][10]と比較した．モデルの概要を図 2.9 に
示す．
図 2.9 円盤状モデル
2.2.4 リング状モデルの解析
外径を 30 mm，厚さを 10 mm，測定温度を 20 K とした場合の解析モデルについ
て，内半径を指定し 0 ~ 25 mm と変化させてリング状バルクを定義した．このモデル
について，バルク表面の磁束密度分布およびバルク中心における電流密度分布を FEM
によって計算し，考察を行った．モデルの概要を図 2.10 に示す．
図 2.10 リング状モデル
18
第3章結果及び考察
3.1 円盤状バルクの 2 枚重ねモデルの解析
図 3.1 はバルク中心およびバルク表面における各温度の最大捕捉磁界の FEM 計算結
果および実験結果である．3.1 で定義した MgB2 バルクは，厚さを 10 mm，
直径を 30 mm
とした円盤状モデルを 2 つ重ねた円盤対モデルとしている．円盤対の間，また円盤対の
上にはホールセンサーを定義している．また，測定温度は FEM 計算で 5 ~ 37.5 K，実
験結果では 11 ~ 38 K となっている．図 3.1 では，円盤対間のホールセンサーで測定し
た場合の結果を Bulk center，円盤対上のホールセンサーで測定した場合の結果を Bulk
surface としている．図 3.1 のグラフでは，縦軸は最大捕捉磁界，横軸は温度を示して
おり，実線および点線が FEM による計算結果，プロットが実験結果を表している．
温度が上昇するにしたがって，最大捕捉磁界の減少が確認できる．これは 1 章で示し
た図 1.1 の形状に一致しており，超伝導体の性質を示しているといえる．MgB2 バルク
の FEM 計算結果では，5 K ではバルク中心で 4.4 T，バルク表面で 3.2 T を記録して
いる．また，10 K ではバルク中心で 4.04 T，バルク表面で 2.9 T を記録している．対
して，実験結果では 11 K 時にバルク中心で 4.0 T，バルク表面で 2.9 T が記録されてお
り，FEM の計算結果に対してほとんど一致していることが分かった．また，10 K 以降
においても温度上昇に対して，実験結果とほとんど同様の値を記録している．実験結果
と FEM 計算による結果の差は最大 0.1 T 未満でまとまっており，誤差がほとんどない
ことから FEM 計算による最大捕捉磁界の温度依存性の再現度の高さが確認できる．
図 3.1 で示した捕捉磁界の FEM 結果の詳細を表 3.1 に示す．バルク中心の最大捕捉
磁界を𝐵Center ，バルク表面の最大捕捉磁界を𝐵Surface としている．また，バルク中心とバ
ルク表面における比率𝐵Center / 𝐵Surface を表示している．
表 3.1 から捕捉磁界の大きさを確認していくと，5.00 K では最大値を記録し，37.5 T
では最小値を記録している．この様子は図 3.1 からも見て取れる．表 3.1 には，図 3.1
から見て取れないデータとして𝐵Center / 𝐵Surface が示されている．実験結果における
𝐵Center / 𝐵Surface は，1.35 以下であることが確認されている[7]．今回の FEM 計算にお
いては，5.00 ~ 35.0 K において，𝐵Center / 𝐵Surface が 1.41 以下であることが確認でき
る．37.5 K における𝐵Center / 𝐵Surface は 2.06 を記録しているが，このときの𝐵Center お
よび𝐵Surfaceはほとんど 0 に近い値であり，ノイズの影響を大きく受けている可能性が
あり正確な値と捉えることはできない．以上のことから，詳細な値からも FEM 計算に
おける最大捕捉磁界の誤差の低さを確認でき，FEM 計算の正確性を証明できる．
19
MgB 2
Bulk surface
Maximum trapped field [T]
MgB 2 bulk
4
Bulk center
MgB 2 bulk
t = 10 mm
d = 30 mm
t

Bulk center
2
Bulk surface
FEM
experimentental data [8]
0
0
10
20
30
40
T [K]
図 3.1 最大捕捉磁界の温度依存性
表 3.1 各温度におけるバルク中心および表面における捕捉磁界
𝑇 [K]
𝐵Center [T]
𝐵Surface [T]
𝐵Center / 𝐵Surface
5.00
4.43
3.15
1.41
7.50
4.25
3.02
1.41
10.0
4.04
2.88
1.40
12.5
3.78
2.70
1.40
15.0
3.49
2.50
1.40
17.5
3.18
2.28
1.39
20.0
2.83
2.04
1.39
22.5
2.50
1.78
1.40
25.0
2.08
1.51
1.38
27.5
1.68
1.22
1.38
30.0
1.27
0.922
1.37
32.5
0.846
0.617
1.37
35.0
0.439
0.318
1.38
37.5
3.79×10－14
1.83×10－14
2.06
20
図 3.2 では，バルク中心における磁束密度分布を表している．5 ~ 37.5 K まで 2.5 K
ごとの磁束密度分布の FEM 計算結果を示しており，それぞれ線種を変えて示すことで
区別している．
それぞれの温度の磁束密度は，バルク中央(𝑟 = 0)の状態が最大となり，端部に近付くに
従いゼロ磁界に近付いている．さらに端部を超えると，負の値を示し最大値を超えた辺
りから再びゼロ磁界に収束している．また，温度の上昇に伴い，磁束密度が全体的に低
下している．これは，図 2.6 に示している𝐽c − 𝐵特性からもわかるように，温度の上昇
につれて臨界電流密度が減少するため捕捉磁界として着磁できる磁界が小さくなるた
めである．この結果，臨界温度である 39 K に最も近い 37.5 K では，全体の捕捉磁界が
ほとんどゼロ磁界となっている．磁束密度が負へと落ちているのは形状効果のためであ
るが，全体的な磁束密度の低下に従って，温度上昇によってこの形状効果の影響も低下
している．
図 3.3 では，バルク表面における磁束密度分布を表している．5 ~ 37.5 K まで 2.5 K
ごとの磁束密度分布の FEM 計算結果を示しており，それぞれ線種を変えて示すことで
区別している．
それぞれの温度における磁束密度は，𝑟 = 0における中心磁界が最大となり，𝑟 = 20の
付近で最少となっている．また，バルク端部付近ではゼロ磁界となっている．磁束密度
の変化の傾向は，バルク中心とほとんど変化はないが，全体的な捕捉磁界の値がバルク
中心に比べて低くなっている．電流の流れている部分からより離れていることに起因し
ている．そのため，バルク中心から離れるにしたがって，捕捉磁界が低くなることが推
測される．
図 3.2 と図 3.3 を比較すると，
図 3.1 で示されている最大捕捉磁界の違いのほかにも，
変化率の違いがみられる．図 3.2 に関しては 0 mm から 15 mm にかけての変化の勾配
が緩やかであることに対して，図 3.3 に関しては同部分の勾配が急である．これは，バ
ルク中心に比較してバルク表面の方が，最大電流が流れている部分から離れているため，
電流による磁束密度の変化率がより大きくなっていることが考えられる．
21
5 K 7.5 K 10 K 12.5 K 15 K 17.5 K 20 K
Trapped field [T]
4
22.5 K
25 K
27.5 K
30 K
32.5 K
35 K
37.5 K
2
0
t
t = 10 mm

d = 30 mm
0
10
20
30
r [mm]
図 3.2 バルク中心における磁束密度分布
5 K 7.5 K 10 K 12.5 K 15 K 17.5 K 20 K
3
Trapped field [T]
22.5 K
25 K
27.5 K
30 K
32.5 K
35 K
37.5 K
2
1
0
t
t = 10 mm d = 30 mm
0

10
20
r [mm]
図 3.3 バルク表面における磁束密度
22
30
3.2 厚さを変化させた場合の円盤状モデルの解析
図 3.4 は，各厚さにおけるバルク中心における磁束密度分布である． FEM 計算にお
いては，測定温度を 20 K とし，定義した MgB2 バルクは直径を 60 mm とし，厚さを
10 ~ 1000 mm まで変化させた円盤状モデルを定義している．この円盤状モデルの
FEM 計算の結果は実線で示している．また，1.5 で示した臨界状態モデルを使用して
無限円柱を定義した場合の解析解を点線で示している．図 3.4 については，縦軸は捕捉
磁界の大きさ，横軸はバルク中心からの動径方向の距離を表している．バルク中央部か
らバルク端部にかけて捕捉磁界が減少していることが確認できる．これは 1 章内の
1.1.4 に示している着磁の項目において，図 1.3 が表しているように，中心に捕捉磁界
が残ることが説明できる．厚さに関して，10 ~ 1000 mm と厚みが増すにしたがって，
捕捉磁界が大きくなっている．これは体積上昇に従い，MgB2 バルクに流れる臨界電流
が上昇していることに起因している．そのため，厚さの上昇に従って，無限円柱を定義
した場合の解析解に漸近している．また，バルク端部までの磁束密度分布について，
100 mm の結果が 1000 mm の結果とほとんど一致している．これは，超伝導体の厚さ
上昇における限界値があるためだと考えられる．
また，バルクの厚さが上昇するにしたがって見られる傾向として，バルク端部におけ
る磁束密度の高さ方向への影響の低下が挙げられる．薄いバルクに関しては，最高で
1.5 T 程度の磁界が負の方向に働くが，100 mm で 0.25 T，1000 mm ではほとんど 0 T
になり，減少している．これは厚さが大きくなることで，この負の方向に働く磁界の位
置が高くなり，中心に与える磁界の影響が小さくなっているためである．
図 3.5 は，各厚さにおけるバルク中心における電流密度分布である．図 3.5 について
は，縦軸は臨界電流密度の大きさ，横軸はバルク中心からの動径方向の距離を表してい
る．バルク中央部からバルク端部にかけて，臨界電流密度の上昇が確認できる．端部の
特に高い電流が流れている部分が捕捉磁界の発生に大きな影響を与えている．この部分
の臨界電流密度に関しては，バルクの厚さが大きくなるにしたがって，より端部に近付
いていることがわかる．
23
4
MgB 2, 20 K, 60 mm

Trapped field [T]
t
10 mm
t
20 mm
t
30 mm
t
100mm
t
1000 mm
2
theo. (Thickness = ∞)
0
−2
0
20
40
60
r [mm]
図 3.4 バルク中心の磁束密度分布
10
10
MgB 2, 20 K, 60 mm

2
Jc[A/m ]
t
10 mm
t
20 mm
t
30 mm
t
100mm
t
1000 mm
10
8
theo. (thickness = ∞)
10
6
0
10
20
r [mm]
図 3.5 バルク中心の電流密度分布
24
30
3.3 円盤状モデルの解析
図 3.6 は，バルク表面 3.0mm 上の磁束密度分布を表している． FEM 計算において
は，測定温度を 20 K とした場合の半径を 15 mm，厚さを 10 mm とした場合の MgB2
バルクを定義している．FEM による計算結果は実線で示しており，実験結果に関して
はプロットによって示している．図 3.6 では，縦軸は捕捉磁界の大きさ，バルク表面
3.0mm 上におけるバルク中央からの距離を表している．
この二つの結果の類似点として挙げられることとしては，どちらもバルク最上部付近
で捕捉磁界がピークを計測し，バルク端部に向けてプロット，実線ともにカーブを描い
て低下しているという点である．プロット，実線は 12.5 mm 付近で一致し，反転した
後に 25 mm 付近で接近している．このように性質においては低下している様子が見ら
れることや低下の様子がカーブを描いているということといった共通点が存在してい
るが，最大捕捉磁界の差異が 0.25 T 程度見られること，および途中から値の逆転が起
こっているという変化割合の違いなどの異なる点も多くみられ，正確性は薄いと考えら
れる．そのため，より正確性をあげるためにモデルの見直しや測定位置といった根本か
ら見直す必要がある．
図 3.7 は，バルク表面 0.5 ~ 9.0mm の磁束密度分布を表している．FEM による計算
結果は実線で示しており，実験結果に関してはプロットによって示している[10]．図 3.7
では，縦軸は捕捉磁界の大きさ，バルク表面から 0 ~ 9.0 mm 上におけるバルク中央(𝑟 =
0)からの距離を表している．図 3.7 において，FEM による磁束密度の計算結果は実験
結果と同様に，中心から緩やかなカーブを描いてゼロ磁界に近付いている．これは磁界
発生源となる電流の流れている場所からより離れているためである．
25
1.5
FEM
experimental data [8]
Bz [T]
1
0.5
0
0
10
20
Distance from the circle center r [mm]
図 3.6 バルク表面 3.0mm 上の磁束密度分布
Bz [T]
2
1
FEM
experimental data [10]
0
0
4
8
Distance from the bulk surface z [mm]
図 3.7 バルク表面上における磁束密度分布の𝒛軸依存性
26
3.4 リング状モデルの解析
図 3.8 にはリング状バルク磁石のバルク中心における臨界電流密度分布を示してい
る．𝑅I は内半径を表しており，各内半径における磁束密度分布が確認できる．内半径
が大きくなることによって，臨界電流密度分布が端部側に移動している．また，その
移動に伴い最大臨界電流密度を記録している部分が端部側に移動している．この現象
は，3.2 における円盤状バルクの厚さ上昇の際にもみられており，バルクの体積変化に
よって起こる現象であると考えられる．
図 3.9 には内径 0 mm のときの臨界電流密度分布，図 3.10 には内径 15 mm のとき
の臨界電流密度分布，図 3.11 には内径 25 mm のときの臨界電流密度分布をそれぞれ
示す．これらの図では，左側がバルク中心部分，右側がバルク端部になっている．赤
くなっている部分や黄色に染まっている部分が臨界電流密度の高い部分である．対し
て，中心付近の紫色に染まっている部分の臨界電流密度は低くなっている．このこと
は，図 3.8 からも確認できる．また，内径が大きくなるにしたがって，中心に近い部
分の臨界電流密度が高くなっていることも確認できる．また，高さ方向の臨界電流密
度は内径が大きくなることで均一になっていくことが確認できる．
10
10
FEM
9
10
8

2
Jc[A/m ]
10
20 K, MgB 2, diameter 60 mm
RI = 0 mm
20 mm
25 mm
15 mm
5 mm
10
10 mm
Inside Radius: RI
7
0
10
20
r [mm]
30
.
図 3.8 リング状バルクのバルク中心における臨界電流密度
27
図 3.9 内径 0 mm のときの臨界電流密度分布
図 3.10 内径 15 mm のときの臨界電流密度分布
図 3.11 内径 25 mm のときの臨界電流密度分布
28
図 3.12 にはリング状バルク磁石の磁束密度分布を示している．高さに関しては，バ
ルク中心の値を計算している．縦軸は捕捉磁界の大きさ，横軸はバルク中央からの距
離を表している．内径が 0 mm のときには，捕捉磁界はバルクの中央付近で最大値を
記録している．内径が大きくなるに従い，捕捉磁界分布が変化しており，最大捕捉磁
界を記録している位置がバルク中央からより離れていることが確認できる．これは，
内径が大きくなることで，最大捕捉磁界を記録する部分がバルクの最も中央に近い部
分になるためである．そのため，内径が 5 mm に設定されている場合にはバルク中央
から 5 mm の付近で，内径が 25 mm に設定されている場合にはバルク中央から
25 mm の付近で最大捕捉磁界を記録されており，それぞれの内径付近で最大捕捉磁界
を記録している．また，バルク内部の磁束密度は比較的に均一な磁束密度が確認でき
る．しかし，バルク中心の磁束密度において，リング中央における磁束密度と内径付
近における磁束密度には差があり，内径 25 mm では，最大 1.2 T の差が存在する．そ
のため，均一磁界の利用を望む場合，バルク中心においてはリング中央付近の均一磁
界を利用することが優先される．
図 3.13 にはリング状バルク磁石のバルク表面における磁束密度分布を示している．
縦軸は捕捉磁界の大きさ，横軸はバルク中央からの距離を表している．内径 0 mm で
は，最大捕捉磁界が 2.41 T を記録しており，バルク端部で捕捉磁界は最低値を記録し
ている．内径の上昇に従い，リング中心から内径付近に最大捕捉磁界が移動してい
る．また，内径付近の最大捕捉磁界はリング中心に近い値を記録しており，ほとんど
均一である．
図 3.10 と比較すると，最大捕捉磁界が低下しているが形状効果による最低捕捉磁界
は上昇している．また，内径の上昇に伴ってリング中心の捕捉磁界がバルク中心の結
果とバルク表面の結果で近づいている事がわかる．このことから，内径を大きくする
ことでバルク中央では表面から中心までの捕捉磁界がほとんど一定となることがわか
る．さらに，内径 25 mm においてバルク中心ではリング中心から内径までの捕捉磁
界の差が最大 1.2 T であったが，バルク表面ではこの捕捉磁界差が最大 0.2 T 程度ま
で落ちており，バルク中心に比べてより均一な磁界を得ることができる．これは，内
径内の磁界についてのみ言えることであり，内径を超えた辺りから形状効果による急
速な磁界低下が起こる．
図 3.14 には内径 0 mm のときの磁束密度分布，図 3.15 には内径 15 mm のときの
磁束密度分布，図 3.16 には内径 25 mm のときの磁束密度分布をそれぞれ示す．それ
ぞれの磁束密度分布において，大きな磁束密度を記録している部分はリング中心に最
も近い部分になっている．また，特に内径 25 mm において，図 3.12 や図 3.13 からも
見ることができた，比較的均一な磁界が確認できる．
29
4
Trapped field [T]
Inside Radius RI
RI = 0 mm
MgB 2, 20 K, d = 60 mm

2
5 mm
10 mm
15 mm
0
20 mm
25 mm
−2
0
FEM
20
40
r [mm]
図 3.12 リング状バルクのバルク中心における磁束密度分布
4
inside radius RI
MgB 2, 20 K, d = 60 mm

Trapped field [T]
0 mm
2
0
5 mm
10 mm
15 mm
20 mm
25 mm
−2
0
FEM
20
40
r [mm]
図 3.13 リング状バルクのバルク表面における磁束密度分布
30
図 3.14 内径 0 mm のときの磁束密度分布
図 3.15 内径 15 mm のときの磁束密度分布
図 3.16 内径 25 mm のときの磁束密度分布
31
本研究の結果から均一な磁界を得るためには 2 種類の最適な方法があると考えられ
る．1 つには，より内径の大きなリング状バルクを用意し，表面から磁界を得る方法で
ある．しかし，内径の上昇に伴い捕捉磁界も減少するため，均一性と捕捉磁界の兼ね合
いを考えてリング状バルクの作製が必要となる．もう 1 つには，より強力な磁力を均等
に得るために，リング中心の厚さ方向から磁界を得る方法が存在する．これには，内径
付近のバルク中心での磁界がリング中心に比べて大きく均一ではないという欠点が存
在するが，表面からの磁界に比べて強力な磁界が得られやすい．実際には，着磁用のソ
レノイドコイルとして使用されている場合にもこの方法で着磁を行っている[11]．
32
第4章まとめ
本実験では，MgB2 の FEM による解析方法をより簡略化し，その解析方法を用いて
様々なモデルを作製した上で，実験結果との比較や考察を行ってきた．今回の FEM 計
算では，これまで行われてきた計算で考慮されてきた温度上昇を省略化することで簡略
化を図った．
これは，
岩手大学の藤代博之教授によって FCM(Field Cool Magnetization)
を着磁方法に使用することで MgB2 超伝導バルク磁石の捕捉磁界特性の評価を FEM に
よって行うことができることを示したが，その論文の中で示されていた FCM による着
磁過程における超伝導体の温度上昇が 0.5 K 程度であることとその影響による捕捉磁
界変化率がわずかなことを参照している．また今回は，FCM より簡潔な着磁方法を前
提として着磁を行っている．FCM では，外部磁界を一定磁界まで上昇させた後に温度
を低下させ，外部磁界をゼロ磁界まで落とすことによって着磁を行っている．対して，
今回の研究では，測定温度を維持したまま外部磁界を最大磁界まで上昇させ，最大磁界
に到達後ゼロ磁界に落とすことで温度変化を考慮せずに着磁を行っている．着磁の際に
は，中心到達磁界の 2 倍以上の強力な磁界を印加することで FCM と同等に着磁を行っ
ている．
本実験において，解析を行ったモデルは 4 種類である．1 種類目のモデルは，半径を
15 mm，厚さを 10 mm とした円盤状バルクを 2 枚積み重ねたモデルである．この積み
重ねモデルでは，各温度における最大捕捉磁界を，FEM を使用して計算を行い実験結
果[7]との比較を行った．FEM 計算では，温度上昇による最大捕捉磁界の低下という超
伝導体の特性が再現できており，また実験結果との一致が見られた．このことから，熱
方程式を考慮せずに最大捕捉磁界を再現することができるということがわかった．2 種
類目のモデルは，半径を 30 mm，厚さを 10 ~ 1000 mm とした円盤状モデルである．
この円盤状モデルでは，臨界電流密度分布と磁束密度分布について FEM を使用して計
算を行い，臨界状態モデルを使用した無限円柱を想定した MgB2 バルクの解析解との比
較を行った．円盤状モデルの厚さが上がるにしたがって，FEM 計算の結果が無限円柱
を想定した解析解に漸近している．また，バルク端部の磁束密度が形状効果のために負
の方向に発生するが，円盤状モデルの厚さの上昇によって，この形状効果による負の方
向への影響が小さくなっている．そのため，厚さの上昇の影響で形状効果を持たない無
限円柱に近付いていることが分かる．3 種類目のモデルは，半径を 15 mm，厚さを
10 mm とした円盤状モデルである．この円盤状モデルでは，円盤表面 3.0 mm 上の磁
束密度，円盤表面からの磁束密度の FEM 計算を行った．実験結果との比較では，動径
方向における磁束密度の下降傾向に関しては同様であるが，下降割合や値の不一致など
の違いもまた多く見られた．正確性を高めるために，モデルの見直しや測定位置などを
見直すことが必要である．4 種類目のモデルは，外半径を 30 mm，厚さを 10 mm，内
半径を 0 ~ 25 mm としたリング状モデルである．このリング状モデルでは，リング中
33
心の磁束密度，
リング中心の臨界電流密度の FEM 計算を行った．リング状モデルでは，
内半径が上昇するにしたがって，最大臨界電流密度を記録している部分がリング端部に
近付いていること，臨界電流密度分布の変化に伴い磁束密度分布が大きく変化している
ことが分かった．また，リングの内側の磁束密度はほとんど均一であることがわかった．
このことから，MgB2 の磁束密度の対称性を踏まえると，リング内には均一な磁界をか
けることができ，MRI 等への応用に期待できる．
これらのモデルの研究結果から，FEM の有用性とその正確性が確認できた．今後は，
自由な形状を作成できる FEM によって，よりよい形状のバルクの模索が考えられる．
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参考文献
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“Relaxation of a trapped magnetic field in a 100 m long class MgB2 solenoid coil in
persistent current mode operation”, Superconductor Science and Technology 18
(2005) S37
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謝辞
まず，九州工業大学大学院情報工学研究院電子情報工学研究系エレクトロニクス分野
木内勝准教授にお礼を申し上げます．私の研究，および学生生活に多くの助言や励まし
の言葉，数々のサポートをしていただきました．研究の際にかけていただいた数々の言
葉には救われたこともあります．木内勝准教授の数々のサポートに深い感謝を致します．
そして，多大なご指導を頂いた九州工業大学大学院情報工学研究院電子情報工学研究
系エレクトロニクス分野小田部荘司教授にも深く感謝致します．本研究では，多くの
電磁界解析を行っておりますが，その多くに詳しい助言や厚いサポートを行っていただ
きました．その全てに深く感謝申し上げます．
岩手大学工学部マテリアル工学科藤代博之教授には，その論文から FEM 解析につ
いて多くのことを学ばせていただきましたことを深く感謝申し上げます．
東京大学大学院工学系研究科応用化学専攻山本明保助教には，本研究で使用したデ
ータの提供や研究に関して多くの助言をいただきました．その全てに深く感謝申し上げ
ます．
九州工業大学大学院情報工学府情報システム専攻水上総司氏には，JMAG の利用方
法をはじめとして本研究における基礎を教えていただきました．その全てに深く感謝申
し上げます．
その他にも，木内研究室・小田部研究室にてお世話になりました九州工業大学大学院
情報工学府情報システム専攻の秀島匡彦氏，吉富邦和氏，大橋愛一郎氏，江藤航介氏，
同大学大学院情報工学府先端情報工学専攻の大隈翔悟氏，増田嘉道氏，同研究室にて苦
楽を共にしました，同大学情報工学部電子情報工学科 4 年生の沖村莞氏，木戸竜馬氏，
兵藤綾馬氏，富岡大貴氏，熊谷昴将氏，田中大智氏，濱田洋介氏，矢野空氏，秘書の
小野香女史，研究職員の Vladimir Vyatkin 氏，技術職員の新山誠司氏に感謝申し上げ
ます．
最後に，私をこれまで育ててくださり，ここまでの学生生活にたくさんの助言や支援
をしてくださった両親に多大な感謝を申し上げます．
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