2015 年電子情報通信学会基礎・境界ソサイエティ大会 A-4-2 白色ガウス雑音に起因する位相差の変動を持つ実信号の位相限定相関関数の統計的解析 Statistical Analysis of Phase-Only Correlation Functions of Real Signals with Phase Fluctuations due to White Gaussian Noise 福井一弘 1 Kazuhiro Fukui 八巻俊輔 2 Shunsuke Yamaki 阿部正英 1 Masahide Abe 東北大学大学院工学研究科 1 Graduate School of Engineering, Tohoku University まえがき位相限定相関 (Phase-Only Correlation: POC) 関数は 2 つの信号の類似性を評価する指標として幅広く用いられているが，その統計的性質がほとんど知られおらず，定量的指標としての妥当性が示されてこなかった．本稿では，2 つの実信号の差を白色ガウス雑音と仮定し，この白色ガウス雑音の分散 (あるいは標準偏差) の増加を類似性の低下と位置付け，類似性の低下に伴う POC 関数の期待値と分散の変化を解析する． 1 位相限定相関関数信号長 N の実信号 x(n) および y(n) の位相スペクトルをそれぞれ θk および φk とし，位相差を αk = φk − θk とすると，x(n) と y(n) の POC 関数 r(m) は 2 £ ¤ r(m) = IDFT ejαk (m = 0, 1, ..., N − 1) 東北大学サイバーサイエンスセンター 2 Cyberscience Center, Tohoku University 位相限定相関関数の期待値と分散 £ ¤ jαk 位相因子の期待値 E ejαk と 2 次モーメント £ j2α ¤ e E e k をそれぞれ 4 Z Ak = Ãk = (n = 0, 1, ..., N − 1) (1) 2 PN/2−1 |X(k)| cos (2πkn/N + θk ) N k=1 2 PN/2−1 + |V (k)| cos (2πkn/N + ξk ) N k=1 (2) p(αk )ej2αk dαk (6) ³ Ãk + 2Ak Ak ∗ ´ (7) ¢ 1 ¡ − 2 A0 2 + AN/2 2 N (m = 0, 1, ..., N − 1) (8) 計算例信号 x(n) の振幅スペクトルを |X(k)| = 1, (k = 0, 1, ..., N − 1) とした場合について，信号 x(n) に加わる白色ガウス雑音 v(n) の標準偏差 σv を変化させたときの x(n) と y(n) の POC 関数 r(m) の期待値 E [r(m)] と分散 Var [r(m)] を式 (4)∼(8) より求めた．結果として， σv が増加するに伴い，POC 関数 r(m) のピークが減少し，サイドローブが増加することが明らかとなった．これより，2 つの信号の類似性を定量的に評価する指標として，POC 関数が妥当であることが示される． 5 (3) 参考文献 [1] W.B. Davenport Jr, W.L. Root，McGraw-Hill Book Company Inc., 1958． ¶ µ |X(k)|2 sin2 αk |X(k)| cos αk √ , exp − σv σv2 2N 2πN − π ≤ αk < π (k = 0, 1, ..., N − 1) (5) ここで，信号長 N は偶数としているが，信号長 N が奇数の場合も同様に解析が可能である．のように離散フーリエ逆変換の形式で表される場合を考える．ここで，v(n) は平均 0 で分散 σv2 の白色ガウス雑音である．また，|X(k)| と |V (k)| はそれぞれ信号 x(n) と白色ガウス雑音 v(n) の振幅スペクトルであり，ξk は v(n) の位相スペクトルである．このとき位相差 αk = φk − θk の確率密度関数 p(αk ) は p(αk ) = −π p(αk )ejαk dαk k6=0,N/2 で表されるとき，すなわち y(n) = −π Z π E [r(m)] =IDFT [Ak ] X 1 1 Var [r(m)] = − 2 N N 位相差の確率密度関数実信号 x(n) と y(n) について，信号 y(n) が， y(n) = x(n) + v(n) π とおくと，POC 関数 r(m) の期待値 E [r(m)] と分散 Var [r(m)] はそれぞれ以下のように導出される (文献 [2] における解析の拡張による)．と定義される．ここで k は周波数インデックスである．また，周波数領域の信号 ejαk を位相因子と呼ぶ． 3 川又政征 1 Masayuki Kawamata [2] 八巻俊輔，阿部正英，川又政征，第 25 回回路とシステムワークショップ，pp.94–99，Jul. 2012． (4) と表される (文献 [1]8 章 6 節の解析の拡張による)． 61 2015/9/8 〜 11　仙台市（基礎・境界講演論文集） Copyright © 2015 IEICE