第5章 LCR回路の共振特性の測定

第5章 LCR回路の共振特性の測定
Measurement of Resonance Characteristic of LCR Circuit
5.1 目的
LCR の直列ならびに並列共振特性を調べ、共振現象ならびに尖鋭度（選択度） Q に
ついて習得する。
5.2 理論
電気回路に加えた交流信号の周波数が回路の固有周波数（共振周波数）と一致した時、
回路のインピーダンスが極小値または極大値をとる。この電気回路を共振回路と呼ぶ。
一般に、コイルL、コンデンサC及び抵抗R を組み合わせたLCR回路が共振回路となる。
ここでは、直列共振と並列共振それぞれについて共振周波数を求めてみる。LCR 回路の
共振状態を得るには、L、C および電源周波数 f のうちいずれを変化させてもよいが、
ここでは L、C を一定にして、f を変化させる方法で行う。
5.2.1 直列共振回路
L
E
C
R
図5.1：直列共振回路
図5.1 のLCR 直列共振回路のインピーダンス Z は
1
1 

Z   R  j  L 


Y
C 

1 

Z  R 2   L 

C 

(5.1)
2
(5.2)
である。したがって Z の値は周波数によって変わるが、リアクタンス分が零、すなわち
1
1
 0 のときにインピーダンスは最小値 Z 0  R になり、逆に電流は最大値
C
I 0  E / R になる。これが直列共振状態であり、そのときの周波数 f 0 を共振周波数
L 
resonance frequency という。すなわち
1
0 L 
0 ，
0C
である。
1
(5.3)
2 LC
アドミッタンス Y (S)
f0 
Y0
Y0
2
f1
f0 f2
f (Hz)
図5.2：直列共振特性
図5.2 は周波数 f に対するアドミッタンス Y (または電流I ) の変化を表わす曲線で共
振曲線という。その尖鋭度を表わす選択度 Q は
L
(5.4)
Q 0
R
1

(5.5)
 0 CR
f0

(5.6)
f 2  f1
である。ここで、 f 1 、 f 2 は共振曲線において、最大値の 1 / 2 に対する周波数である。
この Q を用いれば、共振時の L および C の端子電圧 EL 0 、 EC 0 はそれぞれ
E
E 1
EC 0 
 QE
(5.7)
E L 0  0 L  QE ,
R
R 0C
となる。すなわち共振時においてはL およびC の端子には、加えた電圧E の Q 倍の電
2
圧が現われる。また実際の共振回路では、抵抗 R はコイルとコンデンサとの等価直列抵
抗であるが、近似的にはコイルだけの等価直列抵抗とみなされ、Q の値が大きいほどR
は小さく、コイルの損失が少ないことを意味する。
5.2.2 並列共振回路
R
E
C
L
図5.3：並列共振回路
図5.3 のLCR並列共振回路のインピーダンス Y は
L
1
1
1
R



 2
 j  C  2
Y  
2 2
2 2 

R  j L R   L
R  L 
Z j 1

C
2
L
R

 

  C  2
Y   2
2 2 
2 2 
R  L 
 R  L  
(5.8)
2
(5.9)
である。リアクタンス分が零のときは、アドミッタンスは最小値となり、電流も最小値
となる。これが並列共振状態であり、共振周波数 f 0 は次のようになる。
 L
0C  2 0 2 2  0 ，
R  0 L
もし R 
1
f0 
2
1
R2

LC L2
(5.10)
L
ならば
C
f0 
1
2 LC
となり、直列共振回路の共振周波数と一致する。
3
(5.11)
インピーダンス Z(Ω)
Z0
Z0
2
f1
f (Hz)
f0 f2
図5.4：並列共振特性
図5.4 は周波数 f に対するインピーダンス Z (または電流 I の逆数) の変化を表わす
曲線で、その選択度Q は
L
Q 0
(5.12)
R
f0

(5.13)
f 2  f1
である。厳密には、図5.4 において
われる。しかし R  L
C
Z の値が最大になる点は f 0 より多少大きい方に現
の場合には、近似的に両者は一致する。
5.3 方法
図5.5 と図5.6 のように、共振回路に直列抵抗 r を接続し、周波数 f を変化させ、こ
れに対する電源電圧V、直列抵抗 r の端子電圧 Va 、およびLC直列接続または並列接続
端子電圧 Vb をマルチメータで測定する。
いま共振回路および直列抵抗 r を流れる電流を I とすれば、次のようになる。
Va  ZI ,
Vb  rI
これから
4
(5.14)
1 Va

r
(5.15)
Y Vb
となり、共振回路のインピーダンス Z およびアドミッタンス Y は直列、並列共振回路
ともに式(5.15)から求められる。
Z
5.3.1 素子の測定
実験で使用する高周波無誘導抵抗 r，コンデンサ C，インダクタンス L の各量をLCR
メータとデジタルマルチメータ（DMM）を用いて測定する。
5.3.2 直列共振回路
直列共振回路の結線を図5.5に示す。
r
Vb
B
F
Amp
CH2
V
L
Va
(R )
CH1
C
図5.5：直列共振回路の測定結線図
F: 周波数計
B: 低周波発振器
L: インダクタンス
C: コンデンサ
R: コイルの等価抵抗
r: 高周波無誘導抵抗
Amp: 増幅器
CH1: デジタルオシロスコープ
5
Va：デジタルマルチメータ
Vb：デジタルマルチメータ
V: デジタルマルチメータ
CH2: デジタルオシロスコープ
5.3.3 直列共振回路の共振周波数の測定
直列共振回路の共振周波数 f 0 (図5.2 参照) を次の手順で測定する。
1. 図5.5 の結線をする。
2. 理論上の直列共振回路の共振周波数 f 0 (式(5.3) 参照) を計算する。
3. 発振器の周波数を理論上の直列共振回路の共振周波数である式(5.3) の f 0 に設定する。
4. 図5.5 の電圧 VをAmpのゲインを調整して15(V) から16(V) の範囲で、いずれかの値
に設定する。以後、Amp のゲインつまみは操作しない。
5. デジタルオシロスコープに２つの波形を表示する。
6. 発振器の周波数を少しずつ変化させ、オシロスコープに表示されている２つの波形の
なかで、いずれか１つの波形の振幅を最小にする。
7. デジタルオシロスコープの表示をリサージュ波形表示に切り替える。
8. 楕円形のリサージュ波形が表示される。
9. 発振器の周波数を少しずつ変化させ、リサージュ波形を直線にする。
10. リサージュ波形を直線に設定した状態で周波数計を読み取る。この周波数が実測した
直列共振回路の共振周波数 f 0 である。
5.3.4 直列共振回路のアドミッタンスの測定
図5.5 のように直列共振回路を接続する。周波数 f を変化させて、端子電圧 Va とVb
を測定する。
変化する周波数の範囲は、実測した直列共振回路の共振周波数 f 0 の±1000(Hz) の範囲
である。このとき周波数の刻み幅は、次の値を目安にする。
f 0 -1000(Hz) から f 0 -200(Hz) までは100(Hz)
f 0 -200(Hz) から f 0 +200(Hz)までは20(Hz)
f 0 +200(Hz) から f 0 +1000(Hz) までは100(Hz)
ただし、刻み幅の20(Hz) と100(Hz) の変化分は、おおよその目安である。
6
5.3.5 並列共振回路
並列共振回路の結線を図5.6 に示す。
Vb
B
F
Amp
r
CH2
V
Va
C
L
(R)
CH1
図5.6：並列共振特性の測定結線図
5.3.6 並列共振回路の共振周波数の測定
並列共振回路の共振周波数 f 0 (図5.4 参照) を第5.3.3 項「直列共振回路の共振周波数
の測定」の手順を参考にして測定する。
ただし、第5.3.3 項の番号2. での共振周波数は、理論上の並列共振回路の共振周波数 f 0
を求める式(5.10) を用いて計算する。この時、等価抵抗 R は第5.4.1で測定した値を使
い、その他の値は表示値を使う。
7
5.4 結果
5.4.1 素子の測定
表示値
DMM測定値
LCRメー 120Hz
タ測定値 1kHz
インダクタンス
等価抵抗R
L（mH）
（Ω）
表示なし
測定不可
コンデンサ
C（μF）
高周波無誘
導
抵抗r（Ω）
5.4.2 直列共振回路のアドミッタンス
周波数
f (Hz)
DMM測定
V （V）
Va （V）
Vb
（V）
アドミッタン
ス
Y（S）
周波数 f を横軸にし、アドミッタンス Y を縦軸にしてアドミッタンス Y の変化を曲
線で示す。この曲線に f 1 、共振周波数 f 0 および f 2 (図5.2 参照) を記入する。
式(5.6) から選択度 Q を求める。このとき、代入する数値を明記する。
式(5.4) または式(5.5) からR を求める。前と同様に代入する数値を明記する。
5.4.3 並列共振回路のインピーダンス
周波数
f (Hz)
DMM測定
V （V）
Va （V）
Vb
（V）
インピーダン
ス
Z（Ω）
周波数 f を横軸にし、インピーダンス Z を縦軸にしてインピーダンス Z の変化を曲
線で示す。この曲線に f 1 、共振周波数 f 0 および f 2 (図5.4 参照) を記入する。
式(5.13) から選択度 Q を求める。このとき、代入する数値を明記する。
式(5.12) からR を求める。前と同様に代入する数値を明記する。
8
5.5 注意
1. 浮遊容量の影響がないように配線に注意する。
2. STANDARD CAPACITOR の端子は、C1 とC2 を使用する。
3. デジタルマルチメータは交流で使用する。
5.6 考察のヒント
1. 式（5.3）で求めた理論上の直列共振回路の共振周波数 f 0 と第5.3.3 項で実測し
た直列共振回路の共振周波数 f 0 の違いを検討する。
2. 式（5.9）で求めた理論上の並列共振回路の共振周波数 f 0 と第5.3.6 項で実測し
た並列共振回路の共振周波数 f 0 の違いを検討する。
3. 第5.4.1項で求めたインダクタンスの等価抵抗 R (LCRメータによる測定値２つと
DMMによる測定値の計3つある)と選択度 Q から算出(式5.4と5.12参照)される R
（直列共振測定と並列共振測定の計2つある）を比較し、その差について検討する。
4. なぜ共振周波数のときにリサージュ波形が直線になるのかを検討する。
9

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