ｹｰﾘｰﾊﾐﾙﾄﾝの定理の応用.clk *

ｹｰﾘｰ・ハミルトンの定理の応用
 
A = a b が、A 2 -3 A +2 E = O …①をみたすとき、値の組（a+ d, ad- bc）をすべて求める。
c d
ケーリー・ハミルトンの定理より、
A 2 -( a+ d) A + ( ad- bc) E = O …②
①－②より、( a+ d-3 ) A + ( 2- ad+ bc) E = O
( a+ d-3 ) A ＝( ad- bc-2 ) E …③
(ⅰ） a+ d-3=0のとき、 ad- bc-2=0
∴a+ d=3, ad- bc=2
(ⅱ) a+ d-3≠0のとき、
③より、A= kE …④

k＝

ad- bc-2
a+ d-3
④を①に代入して、 k2 E -3 kE +2 E = O
( k2-3 k+2 ) E = O
これを解いて、
∴k2-3 k+2=0
( k-1 ) ( k-2 ) =0 ∴k=1または2
 
イ、 k=1のとき、 ④よりA = E = 1 0
0 1
∴ a+ d=2, ad- bc=1
 
ロ、 k=2のとき、 ④よりA =2 E = 2 0
0 2
∴ a+ d=4, ad- bc=4
以上(ⅰ）(ⅱ)より、求める２つの値の組(a+ d, ad-bc)は、
(a+d, ad-bc)=(3,2),(2,1),(4,4)である。
１問では物足りない人は、次の問題も！
c dが、A -8A+15E=O…①をみたすとき、値の組（a+d, ad-bc）をすべて求める。
A=
a b
2
ケーリー・ハミルトンの定理より、
A 2 -( a+ d) A + ( ad- bc) E = O …②
①－②より、( a+ d-8 ) A + ( 15- ad+ bc) E = O
( a+ d-8 ) A ＝( ad- bc-15 ) E …③
-1-
( a+ d-8 ) A ＝( ad- bc-15 ) E …③
(ⅰ） a+ d-8=0のとき、 ad- bc-15=0
∴a+ d=8, ad- bc=15
(ⅱ) a+ d-8≠0のとき、
③より、A= kE …④
k＝

ad- bc-15
a+ d-8
④を①に代入して、 k2 E -8 kE +15 E = O
( k2-8 k+15 ) E = O
これを解いて、
∴k2 -8 k+15=0
( k-3 ) ( k-5 ) =0 ∴k=3または5
 
イ、 k=3のとき、 ④よりA = 3E = 3 0
0 3
∴ a+ d=6, ad- bc=9
 
ロ、 k=5のとき、 ④よりA =5 E = 5 0
0 5
a+ d=10, ad- bc=25
以上(ⅰ）(ⅱ)より、求める２つの値の組(a+ d, ad-bc)は、
(a+d, ad-bc)=(8,15),(6,9),(10,25)である。
-2-

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