ケーリー・ハミルトンの定理の応用 A = a b が、A 2 -3 A +2 E = O …①をみたすとき、値の組(a+ d, ad- bc)をすべて求める。 c d ケーリー・ハミルトンの定理より、 A 2 -( a+ d) A + ( ad- bc) E = O …② ①-②より、( a+ d-3 ) A + ( 2- ad+ bc) E = O ( a+ d-3 ) A =( ad- bc-2 ) E …③ (ⅰ) a+ d-3=0のとき、 ad- bc-2=0 ∴a+ d=3, ad- bc=2 (ⅱ) a+ d-3≠0のとき、 ③より、A= kE …④ k= ad- bc-2 a+ d-3 ④を①に代入して、 k2 E -3 kE +2 E = O ( k2-3 k+2 ) E = O これを解いて、 ∴k2-3 k+2=0 ( k-1 ) ( k-2 ) =0 ∴k=1または2 イ、 k=1のとき、 ④よりA = E = 1 0 0 1 ∴ a+ d=2, ad- bc=1 ロ、 k=2のとき、 ④よりA =2 E = 2 0 0 2 ∴ a+ d=4, ad- bc=4 以上(ⅰ)(ⅱ)より、求める2つの値の組(a+ d, ad-bc)は、 (a+d, ad-bc)=(3,2),(2,1),(4,4)である。 1問では物足りない人は、次の問題も! c dが、A -8A+15E=O…①をみたすとき、値の組(a+d, ad-bc)をすべて求める。 A= a b 2 ケーリー・ハミルトンの定理より、 A 2 -( a+ d) A + ( ad- bc) E = O …② ①-②より、( a+ d-8 ) A + ( 15- ad+ bc) E = O ( a+ d-8 ) A =( ad- bc-15 ) E …③ -1- ( a+ d-8 ) A =( ad- bc-15 ) E …③ (ⅰ) a+ d-8=0のとき、 ad- bc-15=0 ∴a+ d=8, ad- bc=15 (ⅱ) a+ d-8≠0のとき、 ③より、A= kE …④ k= ad- bc-15 a+ d-8 ④を①に代入して、 k2 E -8 kE +15 E = O ( k2-8 k+15 ) E = O これを解いて、 ∴k2 -8 k+15=0 ( k-3 ) ( k-5 ) =0 ∴k=3または5 イ、 k=3のとき、 ④よりA = 3E = 3 0 0 3 ∴ a+ d=6, ad- bc=9 ロ、 k=5のとき、 ④よりA =5 E = 5 0 0 5 a+ d=10, ad- bc=25 以上(ⅰ)(ⅱ)より、求める2つの値の組(a+ d, ad-bc)は、 (a+d, ad-bc)=(8,15),(6,9),(10,25)である。 -2-
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