⑭レンズの焦点距離

１４．レンズの焦点距離
実験の概要
透明な目盛板に水銀ランプの光を入射し,レンズを通った光がスクリ
ーン上で焦点があって目盛板がはっきり見えるようにレンズホルダーと
スクリーンの位置を調節する．これらのスクリーンとレンズホルダーの
座標 x を測定し,凸レンズと凹レンズの焦点距離を以下の式より算出す
装置の全景
る．
1 1 1
= +
f a b
式(1)
x1：透明メモリ板の座標
[m]
x2：凸レンズの左側の座標[m]
t
2
t
b = x4 − x2 −
2
a = x3 − x1 −
式(2)
式(3)
x3：凸レンズの右側の座標[m]
x4：スクリーンの座標
[m]
f ：凸レンズの焦点距離
[m]
t ：凸レンズの厚み
[m]
x1'：凹レンズの左側の座標 [m]
1 1 1
= −
f ' a ' b'
式(4)
x2'：凸レンズの像が表示される
スクリーンの座標
t' ⎞
⎛
a ' = x 2 '−⎜ x1 '+ ⎟
2⎠
⎝
t' ⎞
⎛
b' = x3 '−⎜ x1 '+ ⎟
2⎠
⎝
[m]
x3'：凹レンズの像が表示される
式(5)
式(6)
スクリーンの座標
[m]
f ' ：凹レンズの焦点距離
[m]
t ' ：凹レンズの厚み
[m]
実験装置
水銀ランプ
凸レンズ
光学ベンチ
凹レンズ
透明目盛版
マイクロメータ
指示棒
レンズホルダー
スクリーン
実験方法
実験 1 凸レンズの焦点距離
（1）水銀ランプのスイッチを“接”に
してから,ランプの点灯ボタンをしばら
く押し続けている．するとランプのフィ
ラメントが赤熱し始めるので,それを確
認してからボタンから手を離す．ランプ
が完全に点灯するまで 5 分ほどかかる.
(新型では LED になって、コンセント
入れるだけでよい．)
(2) 右図のように光学台のレールの左
端に透明目盛板を置く.なお目盛板は図
のように光学ベンチの一番左側の位置
に寄せて置く事.
(3) レンズホルダーの左側に凸レンズ
を装着する.なおレンズを装着するネジ
は逆ネジになっている.したがって時計
回りにまわすとネジが通常とは逆に緩
み,反時計回りに回すとネジが締まるの
で注意すること．またレンズは斜めにな
らないようセットする.
レンズが斜めにならないように注意
(4) レンズホルダー下部の白線を,光学
指示棒は右端
台の 17.0[cm]の座標に合わせる.なお以
後この位置は固定し,後の操作でレンズ
ホルダーの位置がずれた場合はこの座
標に戻すこと. また指示棒を光学ベン
チの右端にセットする.
(5) マイクロメータを用いて凸レンズ
の中心付近の厚みを 3 回測定する.なお
マイクロメータの測定部分でレンズを
挟み込む際は,測定部分がガラスに軽く
触れた時点で値を測定する.マイクロメ
ータのネジを閉めすぎると,レンズとマ
イクロメータを破損するので注意す
る！マイクロメータの使用方法は,補足
説明を参照のこと.
緩む
レンズホルダーは 17.0[cm]
締まる
(6) スクリーンを左右に移動させて,透
明目盛板の目盛がスクリーンでピント
が合って,はっきりと見える位置にスク
リーンをセットする.
(7) 指示棒を透明目盛板とレンズホル
ダーの間にセットする.なおセットの
際,指示棒がレンズホルダーに触れてレ
ンズホルダーの位置がずれた場合は
16.8cm の座標に再度設定する.
(8) 指示棒をゆっくり透明目盛板に近
付け,指示棒の先端が透明目盛板にギリ
ギリ触れたときの指示棒の座標を x1 と
して 0.1mm の精度で読み取る.なお指
示棒を動かす作業は,透明目盛板に傷を
付けないように慎重に行うこと.
(9) 指示棒をゆっくりレンズホルダー
に近付け,指示棒の先端がレンズホルダ
ーの凸レンズにギリギリ触れたときの
指示棒の座標を x2 として 0.1mm の精度
で読み取る.なお指示棒は,レンズにぎ
りぎり触れる位置にセットして,指示棒
でレンズの固定金具に負荷がかかって
レンズが傾かないように注意する.
(10) 指示棒をレンズホルダーとスクリ
ーンの間に置き，レンズの右側の座標
x3 を 0.1mm の精度で読み取る．なお指
示棒は,(9)と同様にレンズにぎりぎり触
れる位置にセットして,指示棒でレンズ
の固定金具に負荷がかかってレンズが
傾かないように注意する.
(11) 指示棒を移動させスクリーンの左
側の座標 x4 を 0.1mm 読み取る.
スクリーン
(12) 上記結果を表に結果を記入する. また今まで測定した x１, x2, x3, , x４, t から凸レンズの焦点距離を式(1)～(3)
を用いて求める.なお測定は 4 名編成の班は、1 名 2 回以上、3 名編成の班は 1 名 3 回以上測定し、合計 10 回測定
すること．
実験方法
実験２凹レンズの焦点距離
(１) マイクロメータを用いて凹レンズ
の中心付近の厚みを 3 回測定する.なお
マイクロメータの測定部分でレンズを
挟み込む際は,測定部分がガラスに軽く
触れた時点で値を測定する.マイクロメ
ータのネジを閉めすぎると,レンズとマ
イクロメータを破損するので注意す
る！マイクロメータの使用方法は,補足
説明を参照のこと.
(2)
実験１と同様に凸レンズをレンズ
開
ホルダーの左側にセットするのに加え,
レンズホルダーの右側に凹レンズをセ
ットする.なお凸レンズの装着ネジは逆
閉
ネジなので注意すること！
(3)
レンズホルダー下部の白線を,光学
指示棒は右端
台の 17.0[cm]の座標に合わせる.なお以
後この位置は固定し,後の操作でレンズ
ホルダーの位置がずれた場合はこの座
標に戻すこと. また指示棒を光学ベン
レンズホルダーは 17.0cm]
チの右端にセットする.
(4)
スクリーンを左右に移動させて,
透明目盛板の目盛がスクリーンでピン
トが合って,はっきりと見える 101～
125[cm]前後の座標位置にスクリーン
をセットする.
スクリーンは 101～125[cm]
(5) 指示棒をレンズホルダーとスクリ
ーンの間にセットする.この状態で指示
棒をゆっくりとスクリーンに近づけ,指
示棒の右端の先端がスクリーンに触れ
た際の指示棒の座標を x3’として記録す
る.
支持棒は 95～125[cm]
(6)
レンズホルダーの位置を 16.8
[cm]の位置に保ちつつ,留め金具を時計
開
回りに回転させ, 凸レンズを取り外す.
17.0[cm]
(7)指示棒をレンズホルダーの左側にセ
ットし,ゆっくりと右側に動かして指示
棒の先端が凹レンズにぎりぎり触れる
位置の指示棒の座標を x１'として読み取
る. なお指示棒は,レンズにぎりぎり触
れる位置にセットして,指示棒でレンズ
の固定金具に負荷がかかってレンズが
傾かないように注意する.
(8) 上記結果を表に結果を記入する. さ
らに実験 1 で測定した x4 の測定値の平
均値を x2'として,今まで測定した x１', x2',
x3', t'と式(4)～(6)を用いて凹レンズの焦
点距離 f 'を求める.なお測定は、4 名編成
の班は 1 名 2 回以上、3 名編成の班は 1
名 3 回以上測定し、合計 10 回測定する
こと．
データ整理に使用する公式
1 1 1
= +
f a b
t
2
t
b = x4 − x2 −
2
a = x3 − x1 −
x1：透明メモリ板の座標
式(1)
[m]
x2：凸レンズの左側の座標[m]
x3：凸レンズの右側の座標[m]
式(2)
x4：スクリーンの座標
[m]
f ：凸レンズの焦点距離
[m]
t ：凸レンズの厚み
[m]
式(3)
x1'：凹レンズの左側の座標 [m]
x2' ：凸レンズの像が表示されるスクリーンの
1 1 1
= −
f ' a ' b'
t' ⎞
⎛
a ' = x 2 '−⎜ x1 '+ ⎟
2⎠
⎝
t' ⎞
⎛
b' = x3 '−⎜ x1 '+ ⎟
2⎠
⎝
式(4)
座標 (x4 の平均値) [m]
x3'：凹レンズの像が表示される
スクリーンの座標
式(5)
[m]
f ' ：凹レンズの焦点距離
[m]
t ' ：凹レンズの厚み
[m]
式(6)
実験誤差
実験値の文献値からの誤差．通常は数%程度の値を取る．
実験誤差＝
実験値 − 文献値
× 100 [％]
文献値
式(７)
凸レンズの焦点距離の文献値：7.13×10-2 [m]
凸レンズの厚さ t の文献値：7.42×10-3 [m]
凹レンズの焦点距離の文献値：1.497×10-1 [m]
凹レンズの厚さ t'の文献値：1.85×10-3 [m]
凸(凹)レンズの相対誤差
⎡ Δx
Δx3
Δx 2
Δx 4
Δf
Δt ⎤
=⎢ 1 +
+
+
+
⎥ × 100 [%]
f
x2
x3
x4
t ⎦
⎣ x1
式(8)
Δf ' ⎡ Δx1 ' Δx 2 ' Δx 3 ' Δt ' ⎤
=⎢
+
+
+
⎥ × 100
f'
x2 '
x3 '
t' ⎦
⎣ x1 '
式(9)
[%]
Δx1,Δx2,Δx3,Δx4,Δx1',Δx2',Δx3'：光学台の最小読み取り値 0.1[mm]
Δt, Δt’：凸レンズの厚さの最小読み取り値 0.001[mm]
x1 , x2, x3, x4, x1', x2', x3', t ,t'：測定値
補足説明 1
マイクロメータの読み方
マイクロメータは主尺と副尺からなり,
最少目盛りが 0.01mm でさらに目測で
0.001mm の精度まで測定が可能である.し
たがってノギスの 20 倍の測定精度を持つ
ラチェット
測定が可能である.測定方法を以下に示す.
（１）マイクロメータを時計回りにゆっく
図のゼロ点補正は-0.003mm.したがって測定値に
りまわし,回らなくなったらラチェットを
0.003mm を足した値が真の測定値となる
2,3 回カチカチ音を立てて回す.なおマイク
ロメータは,力を入れて無理に回すといく
らでも回転するので,回らなくなったら回
転は止める事.
（２）マイクロメータの主尺の横線が示す
副尺の目盛りの読みを,0.001mm の単位で
通常は,測定物を挟んでいない状態での読みはゼロに
読み取る.物体が入っていない状態でのこ
なるが,使い方が荒いとゼロ点がずれるので,あらかじ
の読みがプラス側であったら,測定値から
めこの値を読み取って記録しておく.
この値を引いたものが測定の真値となるの
で,この値を記録しておく.この作業をゼロ
点補正という.
（３）マイクロメータを反時計回りに回し
て,円柱状の測定面を広げ,測定物を測定部
の中に通す.測定物を通したら,今度はマイ
クロメータを時計回りに回して,測定物を
挟み込み,最後は（１）と同様に操作を行う.
（４）副尺の端が示す主尺の主目盛りの値
主尺主目盛り
主尺 5.5mm＋副尺
が最初の測定値となる.図では 5～6 の間な
1mm 刻み
0.255mm＝5.755mm
ので“5”となる.次に主尺の副目盛りの読
みが 0.5mm の目盛りを超えている場合は,
副尺目盛り
読みに 0.5mm を加えるのでこの場合の主
1 回転 0.5mm.
尺の読みは 5.5mm となる.次に主尺の横線
最少目盛りは
が示す副尺の読みを最少目盛り 0.01mm の
0.01mm.読み取
1/10 の 0.001mm まで目測で読み取る.
りは 0.001mm.
（５）測定値にゼロ点補正の値を加算もし
主尺副目盛り
くは減算して,測定の真値を算出する.
0.5mm 刻み
１４レンズ
実験結果１
ｔ
凸レンズの厚さ
mm
(+ ‐)
(t 平均値[ｍｍ]＋ゼロ点補正
表１
ｔ平均値
mm
mm
[mm])/2 →
mm
×10-3 [m]
t／2：
凸レンズの測定結果
回数
測定者
x1
x2
x3
-2
-2
-1
10
[m] 10
[m] 10
x4
[m]
10
-1
[m]
a
b
f
実験誤差
相対誤差
-1
-1
–2
[%]
[％]
10 [ｍ]
10 [ｍ]
10 [m]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ｔ'
凹レンズの厚さ
mm
(ｔ'平均値[ｍｍ]＋ゼロ点補正
ｔ'平均値
mm
mm
(+ ‐)
[mm])/2 →
mm
ｔ'／2：
×10 –4[m]
表 2 凹レンズの測定結果
回数測定者
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x1 '
x2 '
-2
-1
10
[m]
10
x3 '
[m]
[m]
b'
a'
-1
10 [m]
[m]
f'
-1
10 [m]
実験誤差
相対誤差
[％]
[％]
14 レンズ
実験結果 2
表 3 測定値の最小測定単位と有効数字(表 1 の 2 行目の測定値を例に)
t
x1
x2
x3
x4
t’
x1 '
x2 '
x3 '
0.001mm
0.01cm
0.01cm
0.01cm
0.01cm
0.001mm
0.01cm
0.01cm
0.01cm
測定値（例）
最小測定単位
有効数字
よって実験により算出される有効数字は
桁
相対誤差の計算例
凸レンズ相対誤差
(表１の 2 行目の測定値を例に)
Δx3
Δx 2
Δx 4
Δf ⎡ Δx1
Δt ⎤
=⎢
+
+
+
+
⎥ × 100 [%]
f
x2
x3
x4
t ⎥⎦
⎣⎢ x1
Δx1,Δx2,Δx3,Δx4：光学台の最小読み取り値 0.1[mm]
x1 , x2, x3, x4, t：測定値
Δt：凸レンズの厚さの最小読み取り値 0.001[mm]
Δx1
=
x1
∴
[%]
Δx 2
=
x2
∴
[%]
Δx3
=
x3
∴
[%]
Δx 4
=
x4
∴
[%]
Δt
=
t
∴
[%]
Δf
=
f
∴
[%]
14 レンズ
実験結果３
凹レンズの相対誤差(表 2 の 2 行目の測定値を例に)
Δx1',Δx2',Δx3'：光学台の最小読み取り値
Δf ' ⎡ Δx1 ' Δx2 ' Δx3 ' Δt ' ⎤
=⎢
+
+
+
⎥ × 100
f ' ⎣ x1 '
x2 '
x3 '
t' ⎦
0.1[mm]
x1', x2', x3'：測定値
Δt'：レンズの厚さの最小読み取り値
Δx1'
=
x1'
∴
[%]
Δx 2 '
=
x2'
∴
[%]
Δx3'
=
x3'
∴
[%]
Δt'
=
t'
∴
Δf '
=
f'
∴
0.001[mm]
[%]
[%]
課題
(1) 相対誤差の全体値と各測定項目をそれぞれ求めよ.またどの項の誤差が最も大きく,測定の際に気をつけるべき事
を考察せよ.
(2) 実験誤差を計算して相対誤差を比較し,誤差の原因について考察せよ.
考察
その他分かったこと,さらに調べた事があれば記せ.

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