第9回資料（2）

6. 高エネルギー現象 −原子核反応利用の背景−
■ 特殊相対論的力学
粒子に外力 F が作用すると，粒子の運動量 p と運動エネルギー K は，次式にし
たがって変化する．
dp
dK
= F ， =F ·v
dt
dt
(1)
両式は互いに無関係ではなく，第 1 式と速度ベクトル v との内積をとると，第 2
式が得られることに注意しておく（ここまでは古典力学の復習）．
ところで，粒子の速度がきわめて速くなり，光速度（light velcotity）c ≈ 3 × 108 m/s
と同程度になると，粒子の運動は特殊相対論的力学と呼ばれる力学に従う．この力
学によれば，運動量 p は次のように表されることが知られている．
p= √
mv
(2)
1 − (v/c)2
なお，(2) を (v/c)2 のべき級数に展開すると，
[ ( )2 ]−1/2
[
( )2
( )4
]
v
1 v
3 v
p = mv 1−
= mv 1 +
+
+······
c
2 c
8 c
(3)
と表されるから，v/c ≪ 1 では
p= √
mv
1 − (v/c)2
≈ mv
(4)
と近似でき，(2) は古典的な運動量と一致する．さて，新しい運動量 (2) を時間 t で
微分すると，
m
dv
dp
=
2
3/2
dt
dt
[1 − (v/c) ]
(5)
となるから，(5) と v との内積をとれば，
[
]
dp
mv
dv
d
mc2
√
v·
=
·
=
dt
dt
[1 − (v/c)2 ]3/2 dt
1 − (v/c)2
(6)
を得る．したがって (1) との対応から，特殊相対論的力学における粒子の運動エネ
ルギーは，
[
]
d
mc2
mc2
dK
√
=
より K = √
− mc2
dt
dt
1 − (v/c)2
1 − (v/c)2
(7)
と表されることになる（v = 0 で K = 0 となるように，積分定数を −mc2 に決定
した）．
■ 粒子の内部エネルギー
1 個の自由粒子を考える．ここで言う“ 自由 ”とは，その粒子が重力や電磁気力な
どの外力を受けず，他の粒子とも相互作用せず，まったく自由な状態にあることを
指す．
1
さて，運動している自由粒子のエネルギー E は，
E =K +U
(8)
によって与えられる．K は運動エネルギー，U は粒子が内部構造を持つことに起
因するエネルギーである．自由粒子は相互作用をしていないのだから，粒子間の相
互作用エネルギーや重力によるポテンシャルエネルギーなどを考慮する必要はな
い．ところで，運動エネルギー K の値は自由粒子を観察する座標系によって異な
るが，内部エネルギー U には座標系によらない絶対基準が存在する．相対論的力
学によると，その値は
U = mc2
(9)
によって表されることが知られている．したがって，自由粒子がもつエネルギーの
相対論的表示は，(7) (8) (9) から，
mc2
mc2
E=√
− mc2 + mc2 = √
1 − (v/c)2
1 − (v/c)2
(10)
と決定される．(10) を (v/c)2 のべき級数に展開すれば，
[
( )2 ]−1/2
[
( )2
( )4
]
v
1 v
3 v
2
E = mc 1−
= mc 1 +
+
+······
c
2 c
8 c
2
(11)
と表されるから，v/c ≪ 1 では
mc2
1
E=√
≈ mc2 + mv 2 2
2
1 − (v/c)
(12)
と近似することができる．(12) の第 2 項は古典力学における運動エネルギーで，
v = 0 において 0 となる．一方，第 1 項は粒子の速度とは無関係であるから，た
とえ粒子が静止していても，粒子はその内部にエネルギーを保有していることに
なる．したがってこのエネルギーを，静止エネルギーあるいは質量エネルギーと
呼ぶ．
静止エネルギーの存在は，『質量もエネルギーの一つの形態である』ということを
意味しており，質量変化を伴う現象では，同時にエネルギーの増減も発生すること
を予言している．このことを確かめるためには，2 つ以上の粒子を反応させて，そ
の前後で質量変化を測定すればよい．
例 1 水素原子が基底状態（E1 = −13.6eV）から第一準位（E2 = −3.4eV）に励起
したとき，内部エネルギーの増加 ∆U に伴う質量の増加 ∆m は，
∆m =
E2 − E1
10.2 × 1.602 × 10−19 J
∆U
=
=
= 1.8 × 10−35 kg
c2
c2
(3.0 × 108 m/s)2
例 2 メタン 1 mol の燃焼反応による発熱量は 212.8 kcal であるから，この反応前
後で生じる質量差 ∆m は，
∆m =
∆U
212.8 × 103 × 4.19J
=
= 9.9 × 10−12 kg
2
c
(3.0 × 108 m/s)2
2
例 3 中性子 1 個と陽子 1 個が接近して両者が結合すると，波長 λ = 5.6 × 10−13 m
の光子 1 個を放出して重陽子が 1 個生まれる．結合の際に生じる余分なエネ
ルギーは光子が運び去る．その値は，
hc
1.24 × 10−12 MeVm
=
= 2.2MeV
λ
5.6 × 10−13 m
であり，質量差に換算すると
∆m =
2.2 × 106 × 1.602 × 10−19 J
= 3.9 × 10−30 kg
(3.0 × 108 m/s)2
原子核内の陽子同士の間には，静
化学反応（例 2）とは，分子内の原子を組み換えることであり，静電気力で結びつ
電気力による斥力が働いている．
いた原子同士を切り離したり結合させたりしなければならない．
それにも関わらず原子核が結合し
ていられるのは，核子同士を結び
原子核反応（例 3）とは，原子内の核子を組み換えることであり，核力で結びつい
つけている核力が，静電斥力を上
た核子同士を切り離したり結合させたりしなければならない．
回る引力として作用しているから
上に示した例 1∼例 3 で，原子核反応は化学反応に比べて質量変化が大きく，反応
である．もちろん，核力の強さは
静電気力の 100 倍程度であるか
前後でのエネルギー変化量も化学反応のそれに比べて非常に大きいことを見た．こ
ら，原子核内の陽子数が 100 個近
れは結局のところ，核力と静電気力との強さの違いに起因するものである．静電
くにまで増えて静電斥力が核力を
気力は重力に比べればはるかに強い相互作用力であるが，核力の強さは静電気力
上回ってしまうと，原子核は結合
の 100 倍程度にまで達する．したがって必然的に，原子核反応で解放されるエネ
状態を保つことができなくなる．
原子番号が 100 を大きく上回るよ
うな原子が存在しないのは，その
ルギーは膨大なものとなる．このエネルギーを熱源として利用することで，最終的
に電力を得るシステムが原子力発電である．
ためである．
3

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