Introduction to rational and irrational numbers（有理数と無理数の

Introduction to rational and irrational numbers（有理数と無理数のイントロ）
原文
So let's talk a little bit about rational, rational
numbers,
タイム
日本語音声
0:01
有理数について、軽く触れましょう。有理数です
0:08
有理数というのを簡単に言えば、2 つの整数の比、レシ
rational numbers.
And the simple way to think about it is any
number that can be represented as
the
オ、つまり整数の分数で表せる数のことです
ratio, as the ratio of two integers is a rational
number. is a rational number.
So for example, any integer is a rational
0:20
たとえば、すべての整数は有理数です
0:24
1 を例にとれば、分数で表すと、1 割る 1（1/1）、マイ
number.
1 can be represented as 1/1 or as negative 2
over negative 2 or as 10,000/10,000.
ナス 2 割るマイナス 2（-2/-2）、1 万割る 1 万
（10000/10000）などとできます
In all of these cases, these are all different
0:37
これらは、形は違えども、すべて 1 を意味しています。こ
representations of the number 1, ratio of two
のように 1 を意味する、ある数分のある数は無限にあり
integers. And I obviously can have an infinite
ます。いずれにせよ 1 は有理数です
number of representations of 1 in this way,
the same number over the same number.
The number negative 7 could be represented
0:49
マイナス 7 という数は、マイナス 7 割る 1（-7/1）、7
as negative 7/1, or 7 over negative 1, or
割るマイナス 1 （ 7/-1 ）、マイナス 14 割る 2
negative 14 over positive 2. And I could go
（-14/2）など、いろいろな形にできます
on, and on, and on, and on.
So negative 7 is definitely a rational number.
1:03
よって、マイナス 7 は有理数です。このように整数の比で
表せます
It can be represented as the ratio of two
integers.
But what about things that are not integers?
1:10
では、整数でない場合は？
For example, let us imagine-- oh, I don't
1:13
例として…さてどうしましょうか。3.75 にします
1:22
これは、整数の比、分数で表せるでしょうか
1:26
3.75 なので、375 割る 100（375/100）、750 割
know imagine -- 3.75.
How can we represent that as the ratio of
two integers?
Well, 3.75, you could rewrite that as
375/100, which is the same thing as
る 200（750/200）などと表せます
750/200.
Or you could say, hey, 3.75 is the same thing
1:42
as 3 and 3/4-- as 3 and 3/4, so let me write
あるいは、3.75 は 3 と 4 分の 3（3+3/4）と表せま
す。ここに書いておきましょう。3 と 4 分の 3（3+3/4）
it here-- 3 and 3/4
which is the same thing as-- that's 15/4. 4
1:52
これは 4 分の 15（15/4）と同じです。確かめると 3 掛
times 3 is 12, plus 3 is 15, so you could write
ける 4（3*4）は 12 で、これに足す 3（+3）で 15。
this.
この分数を書き換えます
This is the same thing as 15/4.
2:01
イコール、15 割る 4（15/4）となります
Or we could write this as negative 30 over
2:04
さらに書き換えると、マイナス 30 割るマイナス 8
negative 8. I just multiplied the numerator
（-30/-8）。これは分子分母ともにマイナス 2 を掛け
and the denominator here by negative 2.
たものです
But just to be clear, this is clearly rational.
2:13
このように、3.75 は有理数だと分かります。こうして、整
数の比、分数にできる数の例を見てきました
I'm giving you multiple examples of how this
can be represented as the ratio, as the ratio
of two integers.
1/3
Now, what about repeating decimals?
2:21
では、循環小数はどうでしょうか
Well, let's take maybe the most famous of
2:23
ここで、よく知られた循環小数、0.333…を例にとりま
the repeating decimals. Let's say you have
す。3 が無限に続きます。
0.333, just keeps going on and on forever,
which we can denote by putting that little bar
2:30
on top of the 3. This is 0.3 repeating.
And we've seen-- and later we'll show how
循環小数を表すのに、日本では繰り返す数の上に点を
ふりますが、英語では小さな横棒を付けます
2:36
循環小数を、2 つの整数の比、分数にする方法は、の
you can convert any repeating decimal as
ちに教えますので、ここでは省きますが、これは 1 割る 3
the rational, in as the ratio of two integers--
（1/3）にできます
this is clearly 1/3.
Or maybe you've seen things like 0.6
2:47
そして、0.666…の循環小数は、2 割る 3（2/3）と
repeating, which is 2/3. And there's many,
表せます。循環小数は、ほかにも山ほど例が挙げられま
many, many other examples of this.
す
And we'll see any repeating decimal, not just
2:56
そして、小数点以下が繰り返される循環小数は、その
one digit repeating. Even if it has a million
繰り返すパターンが、たとえ百万桁であろうとも、このよう
digits repeating, as long as the pattern starts
に必ず 2 つの整数の比、分数で表せます
to repeat itself over and over and over again,
you can always represent that as the ratio,
as the ratio of two integers.
So I know what you're probably thinking.
3:13
みなさんはこう思っているでしょう
Hey, Sal, you've just included a lot. You've
3:15
有理数に含まれるものばかりだ。整数と、割り切れる小
included all of the integers. You've included
数が含まれていると言うし
all of finite non-repeating decimals,
Or, and you've also included repeating
3:27
さらに、循環小数まで含むのなら、ほかに何が残っている
の？有理数でない数ってあるの？
decimals. What is left? Are there any
numbers that are not rational?
And you're probably guessing that there are,
3:34
otherwise people wouldn't have taken the
そしてこう思っているかもしれません。有理数ばかりなの
に、わざわざ分けて説明する意味があるの？
trouble of trying to label these as rational.
And it turns out-- as you can imagine-- that
3:40
actually some of the most famous numbers
ではここで、数学でよく知られる、有理数ではない数を
取り上げましょう
in all of mathematics are not rational.
And
we
call
irrational,
these
irrational
numbers
irrational,
numbers.
Irrational
3:47
有理数でない数を無理数と呼びます。無理数です
4:01
ここに、代表的な無理数を挙げておきました
4:04
パイという記号で表される円周率は、無理数です
4:12
小数点以下が循環しないで、無限に続きます
4:18
自然対数の底（てい）イーも、小数点以下が、循環し
numbers.
And I've listed there just a few of the most
noteworthy examples.
Pi-- the ratio of the circumference to the
diameter of a circle-- is an irrational number.
It never terminates. It goes on and on and
on forever, and it never repeats.
e, same thing—never terminates, never
repeats.
It
comes
out
of
ないで無限に続きます。複雑な関数の解析に、よく使わ
continuously
れます
compounding interest. It comes out of
complex analysis. e shows up all over the
place.
Square root of 2, irrational number. Phi, the
4:26
2/3
ルート 2、2 の正の平方根（√2）も、黄金比を表すフ
golden ratio,irrational number.
ァイも無理数です
So these things that really just pop out of
nature,
many
of
these
numbers
4:31
このように、無理数は、身の回りに数多く存在します
4:37
無理数があると、分かりましたね。これらはある意味、特
are
irrational.
Now, you might say, OK, are these irrational?
These are just these special, special kind of
別な数字です。実際には、大抵が有理数で、こちらの
numbers. But maybe most numbers are
選んだ無理数は、特殊なものです
rational, and Sal's just picked out some
special cases here.
But the important thing to realize is they do
4:47
seem exotic, and they are exotic in certain
ここで大事なのは、これら無理数が、魅力的な数字だと
いうことです
ways.
But they aren't uncommon. It actually turns
4:51
なじみがありませんが、数直線で見れば、無理数は、あ
out that there is always an irrational number
る有理数と有理数にはさまれた位置に必ず 1 つはありま
between any two rational numbers. Well, we
す。そしてこの小数が、無限に続きます
could go on and on. There's actually an
infinite number.
But there's at least one, so that gives you an
5:04
1 つはあると言いましたが、有理数よりも無理数が少な
idea that you can't really say that there are
いとは言い切れません。このことは、別のレッスンで示しま
fewer
す
irrational
numbers
than
rational
numbers. And in a future video, we'll prove
that you give me, you give me two rational
5:12
実際に、数直線で表すと、有理数 1 と有理数 2 のあい
numbers-- rational 1, rational 2-- rational 2
だには、少なくとも 1 つ無理数が存在します。それゆえ、
there's going to be at least one irrational
無理数が魅力的だといえるのです
number between those, which is a neat
result, because irrational numbers seem to
be exotic.
Another way to think about it-- I took the
5:26
別の考え方をしましょう。ルート 2（√2）を例にとりまし
square root of 2, but you take the square
たが、ほかにも、完全平方にできない平方根が数多く存
root of any non-perfect square, you're going
在し、それらはどれも無理数です
to end up with an irrational number.
You take the sum of an irrational and a
5:35
無理数と有理数の和をとるとどうでしょう。このことの証明
rational number—and we'll see this later on.
は、いずれまたやりますが、無理数と有理数の和は、無
We'll prove it to ourselves. The sum of an
理数となります
irrational and a rational is going to be
irrational.
The product of an irrational and a rational is
5:44
going to be irrational. So there's a lot, a lot, a
さらに無理数と有理数の積は、無理数となります。この
ように、無理数は、実に数多く存在します
lot of irrational numbers out there.
【Khan Academy 元映像】
https://www.khanacademy.org/math/pre-algebra/order-of-operations/rational-irrational-numbers/v
/introduction-to-rational-and-irrational-numbers
【KhanAcademyJapanese】
http://youtu.be/sHiQ3fZRt-0
3/3

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