.
.
不変周期点代数多様体の ”成分 ”/
再帰方程式の”基本領域” 双対性について
弓林 司
首都大学東京 高エネルギー理論研究室
平成２７年１１月６日
本講演は論文 arXiv:1504.07548 に基づく
弓林 司 (TMU)
MIMS 共同研究集会「可積分系が拓く現象数理モデル」
平成２７年１１月６日
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目次
1.
0. 結論
2.
1. 序論
3.
2. 本論
4.
3. 結論
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0. 結論
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0. 結論
.
結論：
.
.
不変周期点代数多様体の ”成分 ” ∼ 再帰方程式の”基本領域”
.
方法：
.
不変周期点代数多様体（IVPP）の “成分” を定義
不変量を持つ写像から不変量を消去し係数を持つ写像を得る
（不変量/係数双対性）
IVPP と再帰方程式の間の双対性を見いだす
（IVPP/再帰方程式双対性）
.
IVPP の “成分” に対応する再帰方程式の対象を調査
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1. 序論
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はじめに：再帰方程式について
.
再帰方程式：
.
.全ての初期点が n 周期点となる差分方程式
.
再帰方程式の例 [1]：
.
２周期：
x t+1 =
a
,
xt
５周期：
x t+1 =
８周期：
x t+1 =
.
∀
a ∈ C − {0}
1 + xt
x t−1
1 + x t−1 + x t
x t−2
[1] Graham R L, Knuth D E and Patashnik O 1994 Concrete Mathematics (Addison- Wesley)
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５, ８周期再帰方程式の軌道
.
５周期：
.
x 0 = a,
x2 =
.
x 1 = b,
1+b
1+a+b
1+a
→ x3 =
→ x4 =
→ x5 = a
a
ab
b
.
８周期：
.
x 0 = a,
x3 =
.
x 1 = b,
x 2 = c,
1+b+c
1 + a + b + c + ac
(1 + a + b)(1 + b + c)
→ x4 =
→ x5 =
→
a
ab
abc
1+a+b
1 + a + b + c + ac
→ x7 =
→ x8 = a
→ x6 =
bc
c
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再帰方程式の簡単な歴史
.
再帰方程式の簡単な歴史：
.
Graham, Knuth, Patashnik[1](1994)：“漸化式” の一種としていくつか例を問
題として提示
広田, 矢作 [2](2002) : 数値計算を巧妙に駆使して多数発見
.
齋藤, 齋藤 [3](2007)：充分な数の保存量を持つ可積分写像から “IVPP” を用
いて再帰方程式のシリーズを発見
[2] Hirota R and Yahagi H 2002 J. Phys. Soc. Jpn. 71 2867,
[3] Saito S and Saitoh N, J. Phys. A: Math. Theor. 40 (2007) 12775-12787
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齋藤, 齋藤の方法１：不変量 / 径数双対性
.
写像の Level Set への簡約（不変量 / 径数双対性）
：
.
写像が不変量を持つ
⇒ “初期点を定めると” 点は不変量一定面（Level set）上を運動する
⇒ 写像を Level set に制限する事でより低い次元の写像に簡約される
例：２次元 Möbius 写像：
Map :
x t+1 = x t
1 − yt
,
1 − xt
y t+1 = y t
1 − xt
,
1 − yt
Map on level set r = r (x, y ) :
Inv :
x t+1 =
r (x, y ) = xy
−r + x t
1 − xt
一般に、
p 個不変量を持つ d 次元写像
⇔ （Level set 上の）p 個径数を持つ d − p 次元写像
が同値である。これを不変量
/ 径数双対性と呼ぶ事にする。
.
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齋藤, 齋藤の方法２：IVPP, IVPP/再帰方程式双対性
.
不変周期点代数多様体（IVPP=Invariant Variety of Periodic Points）
：
.
写像の周期点集合が写像の不変量（の多項式の零点集合）で書けるとき、周
期点集合を IVPP と呼ぶ。
３周期 IVPP：
γ (3) (r (x, y )) = 3 + xy = 3 + r (x, y ) = 0
.
⇒
y =−
3
x
.
齋藤, 齋藤の方法（IVPP/再帰方程式双対性）
：
.
不変量/係数双対性を用いると IVPP を持つ写像は係数を IVPP の条件式の上に
乗せる事で再帰方程式になる。これを IVPP/再帰方程式双対性と呼ぶ事にする。
３周期再帰方程式：
x t+1 =
.
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3 + xt
1 − xt
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IVPP のイメージ
Figure: IVPPs of the 2 dim Möbis map
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IVPP 定理
IVPP には重要な性質がある：
.
IVPP 定理（齋藤, 齋藤 [4](2007)）
：
.
d 次元有理写像は p ≥ d/2 個の不変量を持つとき以下を満たす。
ある n ≥ 2 について n-周期点集合が IVPP である（ない）
⇒ 全ての m ≥ 2 について m-周期点集合は IVPP である（ない）
.
[4] S.Saito and N.Saitoh, ” Invariant varieties of periodic points ” in Mathematical Physics
Research Developments, (2008 Nova Science Publishers, Inc.) Capt.3 pp 85-139, ISBN
978-1-60456-963-6.
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IVPP 定理と可積分性
.
IVPP 定理と可積分性：
.
可積分性：一般に非可積分写像には Julia 集合が存在し可積分写像には存在
しないと考えられている。IVPP の存在と Julia 集合の存在は相容れない様
に見える ∗ 。
⇒ IVPP の存在は可積分写像を特徴付ける？
∗
.
可積分系を非可積分変形すると Julia 集合が生じる。当然、この Julia 集合は可積分極限で消
滅する。（齋藤, 齋藤 [5](2010), 齋藤, 齋藤, 原田, 弓林, 脇本 [6](2013)）によればその消滅先
（の一つ）は IVPP 達の交差という “IVPP 定理の仮定を壊す特異な” 点である。
[5] S. Saito and N. Saitoh J. Math. Phys. 51 063501 (2010),
[6] S. Saito, N. Saitoh, H. Harada, T. Yumibayashi, Y. Wakimoto, AIP Advances 3, 062103
(2013)
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IVPP の生成１
IVPP は系統的に求める事が出来る：
.
IVPP の生成（齋藤, 齋藤 [7](2010), 弓林, 齋藤, 脇本 [8](2014)）
：
.
IVPP を持つ d 次元有理写像は p ≥ d/2 個の不変量を持つとき特異点閉じ込めの
方法
[9][10] を用いて無限個の IVPP 与える事が出来る
.
この事実及び齋藤, 齋藤の方法により我々は無限個の再帰方程式を得る事が出
来る。
[7] S. Saito and N. Saitoh J. Math. Phys. 51 063501 (2010),
[8] T. Yumibayashi, S. Saito, Y. Wakimoto, Phys. Lett. A 378 (2014),
[9] B. Grammaticos, A. Ramani, and V. Papageorgiou, Phys. Rev. Lett. 67 1991) 1825,
[10] B. Grammaticos, A. Ramani, K. M. Tamizhmani, T. Tamizhmani, and A. S. Carstea,
Advances in Difference Equations, Volume 2008, Article ID 317520
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IVPP の生成２
.
IVPP の生成
.
写像：
(
(x, y ) →
x
1−y 1−x
,y
1−x 1−y
)
→
(
)
1 − 2y + xy 1 − 2x + xy
,y
x
→ ...
1 − 2x + xy 1 − 2y + xy
特異点を不変量で径数付ける：
DX := 1 − x = 0 ∧ r = xy ⇒ (x, y ) = (1, r )
列に代入（発散した点が “有限点に帰ってくる” ⇒ 特異点閉じ込め）
：
(1, r ) → (∞, 0)
→ (−1, −r ) →
(
)
(
)
1+r
2r
1 + 3r
r (3 + r )
→
−
,−
→ −
,−
→ ...
2
1+r
3+r
1 + 3r
n + 1 回写像が発散する様に DX (n+1) = 0 と取るとそれが IVPP：
γ (3) (r ) = 3 + r = 0
.
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2. 本論
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IVPP の “成分”
.
n 周期 IVPP の “成分” の定義：
.
写像 F の n 周期 IVPPV (n) の部分集合族 U := {Uλ }λ∈Λ で以下を満たすものを n
周期 IVPP の分解と呼び、U の元を n 周期 IVPP の成分と呼ぶ：
∀
α, β ∈ Λ に対し Uα ∩ Uβ = ∅
U の部分集合 Vρ := {(Uλ1 )ρ , . . . , (Uλn )ρ }, ρ ∈ R で、
∀
δ, ϵ ∈ R に対し Vδ ∩ Vϵ = ∅
V (n) =
.
⊕
ρ∈R
Vρ
(Uλm+1 )ρ = F ((Uλm )ρ ), (Uλ1 )ρ = F ((Uλn )ρ ),
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∀
ρ ∈ R,
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∀
m ∈ 1, . . . , n
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対象
.
2 次元 Möbius 写像：
.
(
)
1−y 1−x
Map : F : (x, y ) 7→ x
,y
1−x 1−y
Inv :
.
r = xy
.
IVPP：
.
γ (2) (r ) = none
γ (3) (r ) = 3 + r
γ (4) (r ) = 1 + r
γ (5) (r ) = 5 + 10r + r 2 ,
.
etc...
∗ 論文中では３次元 Lotka-Volterra 写像についても触れているが “現在分かっている構造” に大きな
差異はない。
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２次元 Möbius 写像, ３周期 IVPP の場合１：
.
２次元 Möbius 写像, ３周期 IVPP の場合：
.
γ (3) (r ) = 3 + r = 0, r = xy より、初期点を (x, −3/x) と選ぶとこの点は “シ
ンボリックに” ３周期点となる：
(
)
(
)
(
)
(
)
3
3+x 1−x
x −3 1+x
3
x, −
→
,3
→
,3
→ x, −
x
1−x 3+x
1+x x −3
x
変数は x のみであるので IVPP の “x 方向の成分” を考える事が出来る。３
周期 IVPP なので少なくとも３つの成分を持つ。これは典型的に以下の形で
与えられる：
(U1 )x = (−∞, a), (U2 )x = [a, b), (U3 )x = [b, ∞)
.
特に a = F2d (−∞), b = F2d (a) で与えられる。
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２次元 Möbius 写像, ３周期 IVPP の場合２：
Figure: Components of IVPP of period 3, U1 : Red, U2 : Blue, U3 : Green.
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２次元 Möbius 写像, ４周期 IVPP の場合１：
.
２次元 Möbius 写像, ４周期 IVPP の場合：
.
３周期の場合と同様に、
シンボリックな４周期運動：
(
)
(
)
(
)
1
1−x
1
1+x
x, −
→
,−
→ − ,x
x
1−x
1+x
x
(
)
(
)
1−x 1+x
1
→
−
,
→ x, −
1+x 1−x
x
成分：
.
(U1 )x = (−∞, −1), (U2 )x = [−1, 0), (U3 )x = [0, 1), (U4 )x = [1, ∞)
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２次元 Möbius 写像, ４周期 IVPP の場合２：
Figure: Components of IVPP of period 4, U1 : Red, U2 : Blue, U3 : Green, U4 : Pink.
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２次元 Möbius 写像, ５周期 IVPP の場合１：
.
２次元 Möbius 写像, ５周期 IVPP の場合：
.
シンボリックな５周期運動：
(
)
√
)
−a± + x a± (1 − x)
b± (x ± 5) a± (b± − x)
√
,
→
,
1−x
−a± + x
b± − x
b± (x ± 5)
(
)
√
(
)
a± + x a± (1 + x)
b± (x ∓ 5)
a± (b± + x)
√
→
→
,−
,
b± + x
1+x
a± + x
b± (x ∓ 5)
( a )
±
,
→
x,
x
√
√
ここで a± := −5 ± 2 5, b± := −2 ± 5 である。
成分（符号に応じて２つある！）
：
次のページに書く
(
.
a± )
x,
→
x
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(
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２次元 Möbius 写像, ５周期 IVPP の場合２：
.
((U1 )+ )x := (−∞, −1), ((U2 )+ )x := [−1, −b+ ),
((U3 )+ )x := [−b+ , b+ ), ((U4 )+ )x := [b+ , 1),
((U5 )+ )x := [1, ∞)
.
Figure: A part of a+ of components of IVPP of period 5, (U1 )+ : Red, (U2 )+ : Blue,
(U3 )+ : Green, (U4 )+ : Pink, (U5 )+ : Gold.
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２次元 Möbius 写像, ５周期 IVPP の場合３：
.
((U1 )− )x := (−∞, b− ), ((U2 )− )x := [b− , −1),
((U3 )− )x := [−1, 1), ((U4 )− )x := [1, −b− ),
((U5 )− )x := [−b− , ∞)
.
Figure: A part of a+ of components of IVPP of period 5, (U1 )− : Red, (U2 )− : Blue,
(U3 )− : Green, (U4 )− : Pink, (U5 )− : Gold.
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分解の構造の解析
.
成分の “境界”：
.
各 IVPP の成分の “境界” は何に依って与えられるのだろうか？この問いの答え
は２次元の場合とても簡単である（多次元の場合は未解決）
：
.
n 周期 IVPP の成分の “境界” は n 周期 IVPP と n 回写像の “（ある成分の）
分母の零点集合” との交点である：
Figure: Zero points set of denominators of iterations of the map, F : Red, F (2) : Green,
F (3) : Yellow, F (4) : Blue, F (5) : Purple, F (6) : Light blue.
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IVPP/再帰方程式双対性による分解の構造の解析
.
２次元 Möbius 写像に対する IVPP/再帰方程式双対性：
.
２次元 Möbius 写像は不変量/係数双対性で以下の Möbius 写像になる：
Fr : x 7→
x −r
1−x
この写像 Fr は CP 上の線型変換で記述され “対角化” する事が出来る：
√
1+ r
√
F̃s : z 7→ sz, s =
1− r
この写像 F̃s は s n − 1 = 0（より正確には n 次の円分多項式）を満たす s に
対し n 周期再帰方程式になる事は容易に分かる。即ち、２次元 Möbius 写像
に対し IVPP は円分多項式の表現の１つだった事が分かる。
.
⇒ 即ち n 周期再帰方程式 F̃s は CP を “n 分割” する。その成分は “CP/nZ
の基本領域” で与えられる。
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IVPP/再帰方程式双対性に依る分解の構造の解析
Figure: IVPP of period 3 on real space
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Figure: C/Z3
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3. 結論
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結論
.
結論：
.
.
不変周期点代数多様体の ”成分 ” ∼ 再帰方程式の”基本領域”
.
考察：
.
これまで調べられてこなかった IVPP の “内部構造” を初めて調べた。
IVPP の内部構造は再帰方程式の立場から眺める事でより詳しく理解された
（逆もまた然り）。
２次元 Möbius 写像の場合、これは円分多項式で表現される条件の下で再帰
方程式となる事、即ち（周期点に注目すれば）
、写像が作用する空間が
⊕
CP/nZ
と分解されている事が分かった。
n
写像が IVPP を持つ事と不変量/係数双対性で各径数ごとに再帰方程式に帰
着可能である事は 1 対 1 に対応している。この事実等から IVPP を持つ写像
（∼あるクラスの可積分写像？）のより詳しい性質を探って行きたい。
.
高次元、高周期？
複素（射影空間）として？
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ご静聴有り難うございました
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