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連立方程式
1. 連立方程式の基本事項
（a）変数…方程式の中に使われている x，y などの文字。
（b）変域…変数がどのような数になりうるか定めた範囲。
（例１）0 ≦ x ≦ 3…0 から 3 までのすべての数を含む。数直線上に表すと次のようになる。
（例２）1 < x < 4…1 と 4 の間にあるすべての数を含む。ただし，1 と 4 は含まない。数直線上に表
すと次のようになる。
（c）二元一次方程式…2 種類の変数を含む一次方程式。
（例）2x + y = 5，x − y = 3 など
（注）3 種類の変数を含む一次方程式は三元一次方程式と呼ばれる。
2. 連立二元一次方程式
二元一次方程式を 2 つ組み合わせたものを「連立二元一次方程式」という。また，連立二元一次方程式の
2 つの方程式を同時に成り立たせる変数の組を，「連立二元一次方程式の解」という。
（a）連立二元一次方程式の解き方
i.「加減法」を用いて解く
POINT：加減法
２つの方程式を足したり，引いたりして，２種類の変数のうち，ど
ちらか１つを消去して解く方法。
（注）２種類の変数の係数が，２つの方程式で異なる場合，係数を
そろえてから計算する。
（例１）
1
x + y = 4 …
2
2x − y = 5…
x+y = 4
1 ＋
2 より，＋) 2x−y = 5 ← y を消去 ∴ x = 3…
3 ← x の値が求まった
3x
=9
3 を
1 へ代入して 3 + y = 4 ←求めた x の値を
1 または
2 へ代入して y の値を求める
∴ y = 1 よって，
（答）x = 3，y = 1
（例２）
1
3x + 4y = 5…
2
x + 2y = 1 …
2 を２倍する。
POINT：２種類の変数（x，y ）の係数が，２つの方程式で異なるので，まず
2 × 2 より 2x + 4y = 2 …
2 ← y の係数が
1 と同じになった
3x+4y = 5
1 −
2 より −) 2x+4y = 2 ← y を消去 ∴ x = 3…
3 ← x の値が求まった
x
=3
1
3 を
2 へ代入して 3 + 2y = 1 ←求めた x の値を
1 または
2 へ代入して y の値を求める
（答）x = 3，y = 1
∴ y = 1 よって，
2 を 3 倍して x を消去して解いてもよい。
（注）最初に
ii.「代入法」を用いて解く
POINT：代入法
２つの方程式のうち，どちらか一つの方程式を１つの変数について
解き（x = ay + b または y = ax + b の形にする）これをもう一つ
の方程式に代入して解く方法。
（例１）
1
y = 2x − 1…
2
x + y = 2 …
1 を
2 へ代入して x + (2x − 1) = 2 ←変数は x だけになった
3 ← x の値が求まった
これを計算すると 3x = 3 ∴ x = 1…
3 を
1 へ代入して y = 2 ・ 1 − 1 = 1 ←求めた x の値を
1 または
2 へ代入して y の値を求
める
よって，（答）x = 1，y = 1
1
x − 2y = 4 …
2
3x − 4y = 10 …
1 の方程式を x について解く。
（x =… の形にする。
）
POINT：まず，
（例２）
1 より x = 2y + 4 …
1
1 を
2 へ代入して，
3(2y + 4) − 4y = 10 ←変数は y だけになった
3 ← y の値が求まった
これを計算すると 2y = −2 ∴ y = −1 …
3 を
1 へ代入して x − 2 ・ (−1) = 4 ←求めた y の値を
1 または
2 へ代入して x の値を求
める
x + 2 = 4 ∴ x = 2 よって，（答）x = 2，y = −1
※連立二元一次方程式の解き方のまとめ
1 「加減法」や「代入法」を用いて，変数を１種類にして，その変数の値を求める。
2 1 で求めた変数の値を，問題で与えられている２つの方程式のどちらかに代入し，も
う１つの変数の値も求める。
3 最後に
1 ，
2 で求めた２つの変数の値を，問題で与えられている２つの方程式の両方
に代入し，２つの方程式が両方とも成り立つことを確認する。
→連立二元一次方程式を解いたことになる
（b）連立二元一次方程式の解の表し方
解の表し方には以下の２通りがある。
1 x = a，y = b
2 (x，y) = (a，b)
（例）x が 3，y が −1 と求まった場合
1 x = 3，y = −1
2
2 (x，y) = (3，− 1)
1 ，
2 のどちらの表し方でもよい。
（注）
（c）A ＝ B ＝ C 型の連立方程式
POINT：A ＝ B ＝ C 型の連立方程式
A ＝ B ＝ C 型の連立方程式は以下の３つの組み合わせのいずれか
に変形して解く。
A=B
B=C
B=C
C=A
C=A
A=B
（注）どの組み合わせに変形して解いてもよい。
（例）2x + 14 = 7y+ 11 = 4x + 10y
まず，変形すると
2x + 14 = 4x + 10y
7y + 11= 4x + 10y
1
2x + 10y = 14 …
これを計算して整理すると
2
4x + 3y = 11 …
1 × 2 より 4x + 20y = 28 …
1
4x + 20y= 28
1 −
2 より −) 4x + 3y= 11 ∴ y = 1 …
3
3 を
1 に代入して
17y= 17
2x + 10 × 1 = 14 2x = 4 ∴ x = 2
よって，（答）x = 2，y = 1
3. 連立三元一次方程式
三元一次方程式を３つ組み合わせたものを，
「連立三元一次方程式」という。
※連立三元一次方程式の解き方
POINT：連立二元一次方程式の場合と同様に，「加減法」や「代入法」を用いて，変数の種類を減ら
していくと解ける。
1 まず，
「加減法」や「代入法」を用いて，３種類の変数のうち，どれか１つを消去して，変数を２
種類にする。
2 1 で変数を２種類にすると，連立二元一次方程式になるので，それを解き，２つの変数の値を求
める。
3 2 で求めた２つの変数の値を，問題で与えられている３つの方程式のどれかに代入し，残りの１
つの変数の値も求める。
4 最後に，
2 ，
3 で求めた３つの変数の値を問題で与えられている３つの方程式すべてに代入し，
３つの方程式がすべて成り立つことを確認する。
→ 連立三元一次方程式を解いたことになる。


x+y +z = 6 … 1
2
（例） x + 2y − 3z = 5 …


3
2x − y + 2z = 3 …
POINT：まず，y を消去していく
1 ＋
3 より
3
x+y+ z = 6
＋)2x−y+2z= 3
3x
1 と
3 に加減法を用いて y を消去
←
+3z= 9
4
∴ x + z = 3 …
1 × 2 より 2x + 2y + 2z = 12 …
1
1 −
2 より
2x+2y+2z= 12
1 と
2 に加減法を用いて y を消去
←
−)x+2y−3z= 5
x
+5z= 7
5
∴ x + 5z = 7 …
4 ，
5 に注目すると，
4 ，
5 は連立二元一次方程式である。
ここで，
4
x + z = 3 …
5
x + 5z = 7…
x+5z= 7
5 −
4 より −) x+ z = 3 ← x を消去
4z= 4
6 ← z が求まった
∴ z = 1 …
6 を
4 に代入して x + 1 = 3 ←求めた z の値を
4 または
5 へ代入
7 ← x が求まった
∴ x = 2 …
6 ，
7 を
1 に代入して 2 + y + 1 = 6 ←求めた x，z の値を
1 または
2 または
3 へ代入して y の値も
求める
よって，（答）x = 2，y = 3，z = 1
（注）最初に y 以外の変数を消去して解いてもよい。
4

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