赤阪正純 (httL“ nupri.web.fc2.com) 離散的関数 の最大最小 (1) なんうヽ ヽ‐ ムズIう ・ 離散 的関数 の最大最小 (大 夭夫ド よ ヽ ) 関数 /(″ )(″ は実数)の 最大最小を調べるには「微分してグラフを書く」というのが定番の手法でした が,関 数 /(π )(π は整数)の 場合は,ち ょっと無理です 整数が トビトビに存在しているからです (整 数 の離散性)こ のような関数 (離 散的関数といいます)の 最大最小は理想的な状態をイメージして考えます 例えば,/(1)∼ /(7)の 中で /(3)が 最大だとしましょう。/(3)が 最大である理想的な状態は /(1)</(2)</(3)>/(4)>/(5)>/(6)>/(7)… )∼ ん _ (※ ) さ に,2鴨 6, ま です このとき,2項 間の比と差を計算してみると た■ドに 穴t(り ,? , 台 ただ ん ′ 卜 k τ3__ 比 の値 と 1と の 大小比較 エ ヽ 0 ヽ 1 リ 0 > > 氏 負が 入Йから73 名只 0 0 0 6 ヽ︱ l t fl l フ 0 5 < < < < 4 ^ │ヽ 3 ′ ︱ ︱ aム ス 最大値 /(3)の 前後で差が正から負に入れ代わって います 以上のことか ら,比 や差の入れ代わ りの様子 がわ ︱ ノ <1 二 ゝ 7女 フ 1よ り′ A 鮮:D b ︱ <1 1継 ′ l ヽ ︱ <1 / / / ノ > ︱ プ >1 ` 1ざ りり / / / / 一 一 二 /(2)一 /(1) /(3)一 /(2) ヽ 1 ⊇郷 一 0亜侶 郷 一粥 両 >1 かれば,大 小関係が分か ります つ ま り,今 は上の 大小関係 (※ )を 見なが ら比や差 を調 べ ましたが , 最大値 ノ(3)の 前後で比の値が 1よ り大から小に入 逆 に,比 や差の様子 か ら,も との大小関係を復元 し れ代わっています てい くのです Pointく (離 散型関数 の最大最小 の求め方 が1よ り大か小かの境詢 ,ま た 数 罐 数であ錮 数 ズの 時 規 小を求め劉ヨま眈 り は,「 差/(た +1)一 /(力 )が 正か負かの境目」に注目する この境日で何かが起こっているので,そ の 様子 か ら元の大小関係 を復元 してい く ″ 注 言 うまでもな く,「 比が 1よ り大か小か」 と 「差が正か負か」は全 く同 じことです >1 器 ⇔ /(た +1)>/(力 ) ⇔ ノ(た +1)一 . そツ ゃ そうゃ /(た )>0 だからです なお,こ のことが言えるためには /(た )>0で なければな りませんが,ほ ぼ間違いな く /(た )>0な ので気にする必要はありません の 注 「境目を調べれば良いのは分かるが,境 目が 2箇 所以上あった場合はどうするのか」という心配が あると思いますが,安 心してください 私の経験上,こ のタイプの問題は大抵境目が 1箇 所 しかありませ ん 予 Iち 『ξ ∫ Fプ :3]貪 なければどち らでや ってもかまいません て 111は 負 保 合 `〔 Qた た ∼らり 猜 → 衡ば υカキ (の を調 べ るかは問題文 で指定 されています 指定 が どち らでやっても同 じなので,好 きな方 ,計 算 しやすい方でやっ '111年 1曾 [ii[Tfi:IIiE象 ぁ 1:│:11:量 λ 脅 11麓 lilま す `17 1111iヽ / 赤阪 正純 (htt断 nupri web fc2 com) 離散的関数 の最大最小 “ 例題 1 (2π +υ )10の 展開式における″10々 υたの係数を/(た )で 表す ただし,た =0,1,2,… ,10と する./(た )の 最大値はいくらか 考え方 二項定理で展開すると(2″ +υ )10=Σ 々=0 ,」 10Cた (2″ )10た υたとなるので,メ 0々 υたの係数 /(々 ) l『 ]奏 fiIF曇 ;Ell:)二 )れ ]彙 0 (差 に注 目す る方法 ) .1・ _10Cた 10Cた 210(た +1) 。210 /(々 々 ”” !: 10! (た 、 C卜 =詰 +1)!(9-力 )! 10! 1 +1)!(9-力 )! 10-た 1 f・ (力 ぞ し ず =褥 "ゥ したがって 10-た ノ 緋 , 2 よって,0≦ た≦2の とき,∠ この こ とか ら +1)_10cた 。 210 10! (た +1)!(9-た )! サ υ井 需はに したがって .:>1ょ り,た <: , =10Cた +1・ 210(ん 棚子 〆 α` ん ・々 i;か ? /(た ) ・29 々 ― た 10! た!(10-た )! 2Ю ) =靡 )>1と なるとき, 3ヒ 逆に,3≦ た≦9の とき +1)― =n2"々 (占 _雨≒ 々!(10-λ )! l 々!(10-た )! ´に さ じた vん I 堡 ↑ 瞥 . C)(比 に注目する方法) tワ 鮮 1つ 鵠 ζ ザ を {:11哲 lilな il,i憚 考 炉 に注 目 して考 えます (2) 主 >1・ γじず ( ) ,f(た +1)一 /(力 )>0と なるとき (10-た )-2(た +1)>0よ り, 々<: , よって,0≦ 力≦2の とき,/(力 +1)一 /(た )>0 逆に,3≦ λ≦9の とき,ノ (々 +1)一 /(λ )<0. このことから , た=0の とき,/(1)一 ノ(0)>0-/(0)</(1) <・ 響 た=1の とき,ノ (2)― /(1)>0-ノ (1)</(2) , た=0の とき,/(1)>1← ⇒ /(0)</(1) 々=2の とき,/(3)一 /(2)>0-/(2)<ノ (3) た=3の とき,/(4)一 ノ(3) <0←⇒ /(3)>/(4) た=1の とき,手 ′︱ 、 ミミで ヽ 、 颯かい〕 :3>1← た=2の とき,3>1⇔ た=3の とき,ぉ く (1 ⇒ /(1)<F(2) /(2)く /(3) /8)>ノ (4) 力=4の とき,ノ (5)一 /(4) <0←⇒ /(4)>/(5) 猟 々=9の とき,メ (10)一 /(9)<0-/(9)>/(10) したがって , た=4の とき,/(5)<1⇔ /(4)>/(5) ノ(1)<ノ (2)</(3)>/(4)>ノ (5)> >/(10) となるので,/(3)が 最大となる 々=9の とき,/(10)<1⇔ ノ(9)>/(10) ■ 珍注 以上,2つ の C)を 比較してどうでしょ )う か 最初 に述べ たように,僕 は比 に注 目す るほ う が好 きです (皆 さんもそ う思 いませんか)。 なお,も い し たト ホ ま ー ともとの問題 では,差 に注 目す るように指示 されて ″ち 雛イ々瑚α 「 り″… 7ぜ
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