赤阪正純 (httL“ nupri.web.fc2.com)
離散的関数 の最大最小
(1)
なんうヽ
ヽ‐
ムズIう ・
離散 的関数 の最大最小
(大 夭夫ド よ ヽ
)
関数 /(″ )(″ は実数)の 最大最小を調べるには「微分してグラフを書く」というのが定番の手法でした
が,関 数 /(π )(π は整数)の 場合は,ち ょっと無理です 整数が トビトビに存在しているからです (整 数
の離散性)こ のような関数 (離 散的関数といいます)の 最大最小は理想的な状態をイメージして考えます
例えば,/(1)∼ /(7)の 中で /(3)が 最大だとしましょう。/(3)が 最大である理想的な状態は
/(1)</(2)</(3)>/(4)>/(5)>/(6)>/(7)…
)∼ ん _
(※ )
さ
に,2鴨 6,
ま
です このとき,2項 間の比と差を計算してみると
た■ドに
穴t(り ,?
,
台 ただ ん
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卜
k τ3__
比 の値 と 1と の 大小比較
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ヽ
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０
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４
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￨ヽ
３
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︱
︱
aム ス
最大値 /(3)の 前後で差が正から負に入れ代わって
います
以上のことか ら,比 や差の入れ代わ りの様子 がわ
︱
ノ
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1よ り′
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ヽ ︱
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1ざ りり
／ ／ ／ ／
一
一
二
/(2)一 /(1)
/(3)一 /(2)
ヽ １
⊇郷 一
０亜侶 郷 一粥 両
>1
かれば,大 小関係が分か ります
つ ま り,今 は上の
大小関係 (※ )を 見なが ら比や差 を調 べ ましたが
,
最大値 ノ(3)の 前後で比の値が 1よ り大から小に入
逆 に,比 や差の様子 か ら,も との大小関係を復元 し
れ代わっています
てい くのです
Pointく (離 散型関数 の最大最小 の求め方
が1よ り大か小かの境詢 ,ま た
数 罐 数であ錮 数 ズの 時 規 小を求め劉ヨま眈
り
は,「 差/(た +1)一 /(力 )が 正か負かの境目」に注目する この境日で何かが起こっているので,そ の
様子 か ら元の大小関係 を復元 してい く
″ 注 言 うまでもな く,「 比が 1よ り大か小か」 と 「差が正か負か」は全 く同 じことです
>1
器
⇔
/(た
+1)>/(力 )
⇔
ノ(た
+1)一
.
そツ
ゃ
そうゃ
/(た )>0
だからです なお,こ のことが言えるためには /(た )>0で なければな りませんが,ほ ぼ間違いな く
/(た )>0な ので気にする必要はありません
の 注 「境目を調べれば良いのは分かるが,境 目が 2箇 所以上あった場合はどうするのか」という心配が
あると思いますが,安 心してください 私の経験上,こ のタイプの問題は大抵境目が 1箇 所 しかありませ
ん
予 Iち
『ξ
∫
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なければどち らでや ってもかまいません
て
111は
負
保
合
`〔
Qた た
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猜
→
衡ば
υカキ
(の を調 べ るかは問題文 で指定 されています
指定 が
どち らでやっても同 じなので,好 きな方 ,計 算 しやすい方でやっ
'111年
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11麓 lilま す
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赤阪 正純 (htt断
nupri web fc2 com)
離散的関数 の最大最小
“
例題 1 (2π +υ )10の 展開式における″10々 υたの係数を/(た )で 表す
ただし,た =0,1,2,… ,10と する./(た )の 最大値はいくらか
考え方 二項定理で展開すると(2″ +υ )10=Σ
々=0
,」
10Cた (2″ )10た
υたとなるので,メ 0々 υたの係数 /(々 )
l『 ]奏 fiIF曇 ;Ell:)二 )れ ]彙
0 (差 に注 目す る方法 )
.1・
_10Cた
10Cた
210(た +1)
。210
/(々
々
””
!:
10!
(た
、
C卜 =詰
+1)!(9-力 )!
10!
1
+1)!(9-力 )!
10-た 1
f・
(力
ぞ
し
ず =褥
"ゥ
したがって
10-た
ノ
緋
,
2
よって,0≦ た≦2の とき,∠
この こ とか ら
+1)_10cた 。
210
10!
(た
+1)!(9-た )!
サ υ井
需はに したがって
.:>1ょ り,た <:
,
=10Cた +1・ 210(ん
棚子
〆
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・々
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/(た )
・29
々
―
た
10!
た!(10-た )!
2Ю
)
=靡
)>1と なるとき, 3ヒ
逆に,3≦ た≦9の とき
+1)―
=n2"々 (占 _雨≒
々!(10-λ )!
l
々!(10-た )!
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↑
瞥
.
C)(比 に注目する方法)
tワ
鮮 1つ 鵠
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を
{:11哲 lilな il,i憚 考
炉
に注 目 して考 えます
(2)
主 >1・
γじず
(
)
,f(た +1)一 /(力 )>0と なるとき
(10-た )-2(た +1)>0よ り, 々<:
,
よって,0≦ 力≦2の とき,/(力 +1)一 /(た )>0
逆に,3≦ λ≦9の とき,ノ (々 +1)一 /(λ )<0.
このことから
,
た=0の とき,/(1)一 ノ(0)>0-/(0)</(1)
<・
響
た=1の とき,ノ (2)― /(1)>0-ノ (1)</(2)
,
た=0の とき,/(1)>1← ⇒
/(0)</(1)
々=2の とき,/(3)一 /(2)>0-/(2)<ノ (3)
た=3の とき,/(4)一 ノ(3) <0←⇒ /(3)>/(4)
た=1の とき,手
′︱ 、
ミミで
ヽ
、
颯かい〕
:3>1←
た=2の とき,3>1⇔
た=3の とき,ぉ
く
(1
⇒ /(1)<F(2)
/(2)く /(3)
/8)>ノ
(4)
力=4の とき,ノ (5)一 /(4) <0←⇒ /(4)>/(5)
猟
々=9の とき,メ (10)一 /(9)<0-/(9)>/(10)
したがって
,
た=4の とき,/(5)<1⇔ /(4)>/(5)
ノ(1)<ノ (2)</(3)>/(4)>ノ (5)>
>/(10)
となるので,/(3)が 最大となる
々=9の とき,/(10)<1⇔ ノ(9)>/(10)
■
珍注 以上,2つ の C)を 比較してどうでしょ
)う か 最初 に述べ たように,僕 は比 に注 目す るほ う
が好 きです (皆 さんもそ う思 いませんか)。 なお,も
い
し
たト
ホ
ま
ー
ともとの問題 では,差 に注 目す るように指示 されて
″ち
雛イ々瑚α
「
り″…
7ぜ
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