Black-Scholes の偏微分方程式

2015 年度「ファイナンス保険数理特論」
補足７
— Black-Scholes の偏微分方程式 —
2015 年 7 月 20 日，高岡浩一郎（一橋大）∗
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】
目次
1
はじめに
1
2
定係数の熱伝導方程式への変換
2
3
熱伝導方程式の基本解
4
4
Black-Scholes 偏微分方程式の解
4
はじめに
1
本稿では，7/3（金）講義で導出した Black-Scholes の偏微分方程式

∂c
1
∂2c
∂c


(s, t) + σ 2 s2 2 (s, t) + ( r − q ) s (s, t) − r c(s, t) = 0

∂t
2
∂s
∂s



c(s, T ) = (s − K)+
【満期条件】
(1)
を，定係数の熱伝導方程式に変換し，基本解を用いて解く方法を解説します．ご興味があ
ればご覧下さい．
なお 2 つの変数が表している量は
• t ∈ [0, T ] は時刻
• s > 0 は原資産価格
そして諸定数が表しているのは
• T (> 0) はオプション満期
∗
一橋大学大学院商学研究科．E-mail: [email protected]
1
• K (> 0) はオプションの権利行使価格
• σ (> 0) は原資産価格変動のボラティリティ
• r は【自国通貨の】安全利子率
• q は原資産の連続配当率．なお，もし s が為替レートを表している時は q は外貨金
利を表します．
2
定係数の熱伝導方程式への変換
以下のように順次，変数を変換していきます．新しい変数が表している量は
• s̃ > 0 は，配当を連続的に原資産に再投資したものの割引価値
• x ∈ R は，モデルを駆動する Brown 運動の値
• τ ∈ [0, T ] は満期までの時間
です．
Step 1：利子率 r および配当率 q の消去
s̃ := s e(q−r)t と定義し，逆算した s = s̃ e(r−q)t を c(s, t) の s に代入して全体を
e−rt 倍した式を
f (s̃, t) := e−rt c(s̃e(r−q)t , t)
と記します．このとき
∂f
(s̃, t) = −r e−rt c(s̃e(r−q)t , t)
∂t
∂c
∂c
+ e−rt (s̃e(r−q)t , t) + e−rt (r − q) s̃e(r−q)t (s̃e(r−q)t , t)
∂t
∂s
}
{
∂c
∂c
−rt
= e
− r c(s, t) +
(s, t) + (r − q) s (s, t)
∂t
∂s
および
s̃2
2
2
∂2f
−rt 2 2(r−q)t ∂ c
(r−q)t
−rt 2 ∂ c
(s̃,
t)
=
e
s̃
e
(s̃e
,
t)
=
e
s
(s, t)
∂s̃2
∂s2
∂s2
に注意すると
∂f
1
∂2f
(s̃, t) + σ 2 s̃2 2 (s̃, t)
∂t
2
∂s̃
= e−rt
= 0
{ ∂c
∂t
(s, t) +
}
1 2 2 ∂2c
∂c
σ s
(s,
t)
+
(
r
−
q
)
s
(s,
t)
−
r
c(s,
t)
2
∂s2
∂s
【式 (1) より】
2
Step 2：ボラティリティ σ の消去および定係数方程式への変換
(
s̃ = exp σx −
式を
σ2 t
2
)
2
となるように x :=
(log s̃)+ σ2 t
σ
g(x, t) := f (eσx−
σ2 t
2
と定義し，f (s̃, t) の s̃ に代入した
, t)
と記します．このとき
∂f σx− σ2 t
σ 2 σx− σ2 t ∂f σx− σ2 t
2 , t) −
2
2 , t)
(e
e
(e
∂t
2
∂s̃
∂g
(x, t) =
∂t
∂f
σ 2 ∂f
(s̃, t) −
s̃
(s̃, t)
∂t
2 ∂s̃
=
や
σ 2 t ∂f
σ2 t
∂g
(x, t) = σ eσx− 2
(eσx− 2 , t)
∂x
∂s̃
および
2
∂2g
∂f
2 2 ∂ f
(s̃, t)
(x,
t)
=
σ
s̃
(s̃, t) + σ 2 s̃
∂x2
∂s̃2
∂s̃
に注意すると
∂g
1 ∂2g
(x, t) +
(x, t) =
∂t
2 ∂x2
1
∂2f
∂f
(s̃, t) + σ 2 s̃2 2 (s̃, t)
∂t
2
∂s̃
= 0
【Step 1 より】
Step 3：定係数の熱伝導方程式への変換
時間を反転させて τ := T − t と定義し，逆算した t = T − τ を g(x, t) の t に代入し
た式を
u(x, τ ) := g(x, T − τ )
と記します．このとき，Step 2 より，u は定係数の熱伝導方程式
1 ∂2u
∂u
(x, τ ) =
(x, τ )
∂τ
2 ∂x2
(2)
を満たし，その「初期条件」は
【つまり g, f, c に対しては満期条件が対応する】
u(x, 0) = g(x, T )
= f (e
2
σx− σ 2T
(
, T)
2
σx+(r−q− σ2 )T
= e−rT c e
{
σ2
= e−rT eσx+(r−q− 2 )T
【Step 2 より】
)
,T
【Step 1 より】
}+
−K
【式 (1) より】
3
(3)
熱伝導方程式の基本解
3
1 ∂2K
∂K
(x, τ ) =
(x, τ )
かつ
K(x, 0) = δ(x) 【デルタ関数】
∂τ
2 ∂x2
を満たす関数 K を，この熱伝導方程式の基本解 (fundamental solution) といいます．一般
の初期条件を満たす熱伝導方程式の解 u は，基本解と初期条件の畳み込み (convolution)
∫ ∞
u(x, τ ) =
K(x − y, τ ) u(y, 0) dy
(4)
−∞
と書き表されます† ．実際，この右辺を x や τ で偏微分すると積分記号のなかで K を偏
微分することになるため，この u(x, τ ) が偏微分方程式 (2) を満たしますし，初期条件も
K(x, 0) = δ(x) より満たされることが分かります．
また，基本解 K の具体形は
( x2 )
1
K(x, τ ) = √
exp −
2τ
2πτ
(5)
です‡ ．この導出方法としては，x についての Fourier 変換および逆変換を用いる方法など
があります．偏微分方程式の入門書を参照してください．ネット上でも「熱方程式フー
リエ変換」などの検索ワードで検索すると，良い解説資料が見つかります．
そして式 (4) (5) より
∫ ∞
K(x − y, τ ) u(y, 0) dy
u(x, τ ) =
−∞
∫ ∞
√
√
√
√ と変数変換】
=
K( τ z, τ ) u(x − τ z, 0) τ dz
【z := x−y
τ
−∞
∞
∫
( z2 )
√
1
√
u(x − τ z, 0) dz
exp −
2
2π
=
−∞
(6)
Black-Scholes 偏微分方程式の解
4
本稿冒頭の Black-Scholes 偏微分方程式 (1) の解 c(s, t) は
【§2 の Step 1 より】
c(s, t) = ert f (s e(q−r)t , t)
rt
= e g
rt
( (log s) − (r − q −
= e u
σ2
2 )t
σ
( (log s) − (r − q −
σ2
2 )t
σ
†
)
,t
, T −t
【§2 の Step 2 より】
)
【§2 の Step 3 より】
厳密に言えばこの形以外の解も存在しますが，偏微分方程式論において通常は “病的” な解 (pathological
solution) として扱われます．オプションの「倍賭け」的な複製戦略に対応した解です．
‡
原点から出発する Brown 運動の密度関数の形をしています．
4
∫
= ert
∞
−∞
= e
−r(T −t)
( z 2 ) ( (log s) − (r − q − σ2 )t √
)
1
2
√
exp −
u
− T − t z, 0 dz
2
σ
2π
【式 (6) より】
∫
∞
−∞
( z2 ) {
√
}+
σ2
1
√
exp −
s e−σ T −t z+(r−q− 2 )(T −t) − K
dz
2
2π
【式 (3) より】
ここで
d± :=
と定義し，
s e−σ
√
log
(s)
K
(7)
+ (r − q ± 12 σ 2 )(T − t)
√
σ T −t
2
T −t z+(r−q− σ2 )(T −t)
≥ K ⇐⇒ z ≤ d−
に注意すると，式 (7) において積分範囲を −∞ < z ≤ d− に限定することにより式中のポ
ジティブパートの記号 {· · · }+ が外せて，以下のように変形できます：
c(s, t) = e−r(T −t)
∫
d−
−∞
( z2 ) {
√
}
σ2
1
√
s e−σ T −t z+(r−q− 2 )(T −t) − K dz
exp −
2
2π
∫
d−
∫
d+
( z2 )
√
σ2
1
√
exp −
e−σ T −t z− 2 (T −t) dz
2
2π
−∞
∫ d−
(
1
z2 )
√
− K e−r(T −t)
exp −
dz
2
2π
−∞
∫ d−
{ (z + σ √T − t)2 }
1
−q(T −t)
√
exp −
= se
dz
2
2π
−∞
∫ d−
( z2 )
1
−r(T −t)
√
exp −
−K e
dz
2
2π
−∞
= s e−q(T −t)
( z2 )
√
1
√
exp −
dz
【 ∵ d+ = d− + σ T − t 】
2
2π
−∞
∫ d−
(
1
z2 )
√
− K e−r(T −t)
exp −
dz
2
2π
−∞
= se
−q(T −t)
= s e−q(T −t) Φ(d+ ) − K e−r(T −t) Φ(d− )
ただし，Φ は標準正規分布関数．この最終式が，Black-Scholes 式です．
以上
5

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