n ≦ an+1 ≦ 3a n

1
はじめに A = 1，B = ¡1 とする．100 円硬貨と 500 円硬貨をそれぞれ投げ，以下のように値を変えてい
くものとする．
100 円硬貨が表であれば A に 1 を加え，裏であれば A から 1 を引く．
500 円硬貨が表であれば B に 1 を加え，裏であれば B から 1 を引く．
なお，100 円硬貨と 500 円硬貨のおのおのについて，表の出る確率と裏の出る確率は等しいものとする．
(1) はじめの状態から 100 円硬貨と 500 円硬貨をそれぞれ 5 回投げたとき A = B = 0 となる確率を求めよ．
(2) はじめの状態から 100 円硬貨と 500 円硬貨をそれぞれ 5 回投げたとき A = B となる確率を求めよ．
（お茶の水女子大学 2010 ）
2
次の問いに答えよ．
(1) 曲線 y = 2x ¡ 2x の概形を描け．
(2) 曲線 y = 2x ¡ 2x と x 軸で囲まれた部分を x 軸のまわりに 1 回転させてできる回転体の体積を求めよ．
（お茶の水女子大学 2010 ）
3
自然数の数列 fan g が a1 = 1; 2an 5 an+1 5 3an (n = 1; 2; 3; Ý) を満たすとき，以下の問いに答えよ．
(1) 第 5 項 a5 の取り得る値の範囲を答えよ．
(2) 第 k 項 ak が ak = 9 を満たす k の値と，そのときの初項から第 k 項までの候補をすべてあげよ．
(3) 第 n 項 an が an = 100 を満たすとき，n の取り得る値の範囲を答えよ．
（お茶の水女子大学 2010 ）
4
xy 平面上に 2 つの円
C1 : x2 + y2 = 16
C2 : (x ¡ 6)2 + y2 = 1
がある．このとき以下の問いに答えよ．
(1) C1 上の点 (a; b) を接点とする接線の方程式を求めよ．
(2) C1 と C2 の両方に接する接線の方程式をすべて求めよ．
(3) 点 P を通る任意の直線が C1 または C2 の少なくとも一方と共有点を持つとする．このような点 P の存在
する領域を図示せよ．
（お茶の水女子大学 2010 ）
5
次の問いに答えよ．
(1) 連立不等式
jx ¡ yj 5 1;
jxj 5 3
の表す xy 平面上の領域 D を図示せよ．
(2) 実数 a に対して，放物線 y = (x ¡ a)2 が (1) の領域 D と共通点をもつような a の範囲を求めよ．
(3) 実数 a に対して，連立不等式
jx ¡ yj 5 1;
jxj 5 3;
y = (x ¡ a)2
の表す xy 平面上の領域 E の面積を a を用いて表せ．ただし，a 5 1 とする．
（お茶の水女子大学 2010 ）
6
実数上の関数 f(x); g(x) を次のように定義する．
f(x) =
ax ¡ a¡x
;
2
g(x) =
ax + a¡x
2
ここで，a は a > 1 をみたす実数である．
(1) 関数 y = f(x) のグラフと関数 y = g(x) のグラフの概形を描け．
(2) この 2 つのグラフと 2 つの直線 x = 0; x = 3 とで囲まれる領域の面積を求めよ．
(3) (2) で求めた面積を S(a) とするとき，2 5 a 5 5 での S(a) の最大値と最小値とを求めよ．
（お茶の水女子大学 2010 ）
7
次の問いに答えよ．
(1) 実数全体で定義された関数 f(x) = x ¡ [ x ] について，¡3 5 x 5 3 での関数のグラフを図示せよ．ただ
し，[ x ] は x を超えない最大の整数を表す．
(2) 実数全体で定義された関数 g(x) = (x ¡
[ x ])e¡x
について， lim
n!1
Z
n
1
g(x) dx を求めよ．
（お茶の水女子大学 2010 ）
8
放物線 y = x2 に対して，点 P(a; a2 ) における接線 `a と点 Q(b; b2 ) における接線 `b の交点を R とし，
`a と `b がなす角 ÎPRQ を µ とする．ただし，a > b とする．
(1) tan µ を a; b で表せ．
(2) µ が 45± になるときの R の軌跡を描け．
(3) a と b が有理数のとき，µ は 60± とならないことを示せ．
（お茶の水女子大学 2009 ）
9
2
関数 f(x) = xe¡x について，以下の問いに答えよ．
(1) y = f(x) のグラフの概形を極値および変曲点を調べて描け．
(2) 曲線 y = f(x) 上の点 (1; f(1)) における接線の方程式を求めよ．
(3) 曲線 y = f(x) と (2) で求めた接線および y 軸で囲まれた領域の面積を求めよ．
（お茶の水女子大学 2009 ）
10 関数 f(x) = log(x2 + 1) について以下の問いに答えよ．ただし，log x は x の自然対数を表す．
(1) 方程式 y = f(x) (x = 0) で表される曲線を C とする．曲線 C の概形を描け．ただし，同じ座標平面上
に直線 y = x も描くこと．
Z®
(2) ® > 0 のとき S(®) =
0
1
dx とおく．曲線 C と x 軸と直線 x = ® とで囲まれる図形の面積を
x2 + 1
S(®) を用いて表せ．
(3) 曲線 C を直線 y = x に関して対称に移動した曲線を D とする．曲線 D の概形を描け．D をグラフとす
る関数を求めよ．
(4) 上の 2 つの曲線 C; D と直線 x = 1 とで囲まれる図形の面積を (2) で定めた S(®) を用いて表せ．
（お茶の水女子大学 2009 ）

Download Report