式による説明 No.2 ★ 2 けたの自然数と、その自然数の一の位の数と十の位の数を入れ替えた数との和が 11 の倍数となることを説明しなさい。 ★連続する 3 つの整数の和は 3 の倍数となることを説明しなさい。 ◎2 けたの自然数の、十の位の数を ｘ 、一の位の数を ｙ とすると、この自然数は ◎連続する 3 つの整数のうち、小さい数をｎとする。 すると連続する 3 つの整数は、 ｎ 、 ｎ+1 、 ｎ+2 10ｘ+ｙ と表せる。 また、この自然数の十の位の数と一の位の数を入れ替えた数は、 となる。 これらの和は ｎ+(ｎ+1)+(ｎ+2) = 3ｎ+3 = 10ｙ+ｘ と表せる。 これらの和は、 3(ｎ+1) （10ｘ+ｙ）+（10ｙ+ｘ） ＝ 11ｘ+11ｙ ＝ 11（ｘ+ｙ） ｎは整数なので（ｎ+1）も整数となり、 3(ｎ+1) は 3 の倍数となる。 ここで、 ｘ 、 ｙ は整数だから、 ｘ+ｙ も整数となる。 よって、 11（ｘ+ｙ） は 11 の倍数となる。 したがって、連続する 3 つの整数の和は 3 の倍数となる。 したがって、2 けたの自然数と、その自然数の一の位の数と十の位の数を入れ替えた数との和が 11 の倍数となる。 2. 式による説明 1. 式による説明 （1） 2 けたの自然数と、その自然数の一の位の数と十の位の数を入れ替えた数との和が 11 の倍数となることを説明しなさい。 (1) 連続する 3 つの整数の和は 3 の倍数となることを説明しなさい。 (2)連続する 5 つの整数の和は 5 の倍数となることを説明しなさい。 (2) 2 けたの自然数と、その自然数の一の位の数と十の位の数を入れ替えた数との差が 9 の倍数となることを説明しなさい。 (3) 2 けたの自然数から、その数の各位の数の和を引くと 9 の倍数となることを説明しなさい。 (3)連続する 3 つの偶数の和は 6 の倍数となることを説明しなさい。 (4)連続する 2 つの奇数の和は 4 の倍数となることを説明しなさい。 ★ 2 けたの自然数と、その自然数の一の位の数と十の位の数を入れ替えた数との和が 11 の倍数となることを説明しなさい。 式による説明 No.2―解答― ◎2 けたの自然数の、十の位の数を ｘ 、一の位の数を ｙ とすると、この自然数は ★連続する 3 つの整数の和は 3 の倍数となることを説明しなさい。 10ｘ+ｙ ◎連続する 3 つの整数のうち、小さい数をｎとする。 また、この自然数の十の位の数と一の位の数を入れ替えた数は、 すると連続する 3 つの整数は、 ｎ 、 ｎ+1 、 ｎ+2 と表せる。 10ｙ+ｘ となる。 と表せる。 これらの和は、 これらの和は （10ｘ+ｙ） + （10ｙ+ｘ） ＝ 11ｘ+11ｙ ＝ 11（ｘ+ｙ） ｎ+(ｎ+1)+(ｎ+2) = 3ｎ+3 = 3(ｎ+1) ここで、 ｘ 、 ｙ は整数だから、 （ｘ+ｙ） も整数となる。 よって、 11（ｘ+ｙ） は 11 の倍数となる。 ｎは整数なので（ｎ+1）も整数となり、 3(ｎ+1) は 3 の倍数となる。 したがって、2 けたの自然数と、その自然数の一の位の数と十の位の数を入れ替えた数との和が 11 の倍数となる。 したがって、連続する 3 つの整数の和は 3 の倍数となる。 2. 式による説明 （1） 2 けたの自然数と、その自然数の一の位の数と十の位の数を入れ替えた数との和が 11 の倍数となることを説明しなさい。 2 けたの自然数の、十の位の数を ｘ 、一の位の数を ｙ とすると、この自然数は 1. 式による説明 10ｘ+ｙ (1) 連続する 3 つの整数の和は 3 の倍数となることを説明しなさい。 連続する 3 つの整数のうち、小さい数をｎとする。 と表せる。 また、この自然数の十の位の数と一の位の数を入れ替えた数は、 すると連続する 3 つの整数は、 ｎ 、 ｎ+1 、 ｎ+2 これらの和は ｎ+(ｎ+1)+(ｎ+2) = となる。 3ｎ+3 = 10ｙ+ｘ 3(ｎ+1) と表せる。 これらの和は、 ｎは整数なので（ｎ+1）も整数となり、 3(ｎ+1) は 3 の倍数となる。 （10ｘ+ｙ） + （10ｙ+ｘ） したがって、連続する 3 つの整数の和は 3 の倍数となる。 ＝ 11ｘ+11ｙ ＝ 11（ｘ+ｙ） ここで、 ｘ 、 ｙ は整数だから、 （ｘ+ｙ） も整数となる。 よって、 11（ｘ+ｙ） は 11 の倍数となる。 したがって、2 けたの自然数と、その自然数の一の位の数と十の位の数を入れ替えた数との和が 11 の倍数となる。 (2)連続する 5 つの整数の和は 5 の倍数となることを説明しなさい。 (2) 連続する 5 つの整数のうち、小さい数をｎとする。 2 けたの自然数と、その自然数の一の位の数と十の位の数を入れ替えた数との差が 9 の倍数となることを説明しなさい。 2 けたの自然数の、十の位の数を ｘ 、一の位の数を ｙ とすると、この自然数は すると連続する 5 つの整数は、 ｎ 、 ｎ+1 、 ｎ+2 、 ｎ+3 、 ｎ+4 これらの和は ｎ+(ｎ+1)+(ｎ+2)+（ｎ+3）+（ｎ+4） = 5ｎ+10 となる。 10ｘ+ｙ = 5(ｎ+2) と表せる。 また、この自然数の十の位の数と一の位の数を入れ替えた数は、 ｎは整数なので（ｎ+2）も整数となり、 5(ｎ+2) は 5 の倍数となる。 10ｙ+ｘ したがって、連続する 5 つの整数の和は 5 の倍数となる。 と表せる。 これらの差は、 （10ｘ+ｙ） - （10ｙ+ｘ） (3)連続する 3 つの偶数の和は 6 の倍数となることを説明しなさい。 ＝ 9ｘ-9ｙ ＝ 9（ｘ-ｙ） ここで、 ｘ 、 ｙ は整数だから、 （ｘ-ｙ） も整数となる。 よって、 9（ｘ-ｙ） は 9 の倍数となる。 連続する 3 つの偶数のうち、小さい数を 2ｎとする。 したがって、2 けたの自然数と、その自然数の一の位の数と十の位の数を入れ替えた数との差が 9 の倍数となる。 すると連続する 3 つの偶数は、 2ｎ 、 2ｎ+2 、 2ｎ+4 これらの和は 2ｎ+(2ｎ+2)+(2ｎ+4) となる。 = 6ｎ+6 = 6(ｎ+1) ｎは整数なので（ｎ+1）も整数となり、 6(ｎ+1) は 6 の倍数となる。 したがって、連続する 3 つの偶数の和は 6 の倍数となる。 (3) 2 けたの自然数から、その数の各位の数の和を引くと 9 の倍数となることを説明しなさい。 2 けたの自然数の、十の位の数を ｘ 、一の位の数を ｙ とすると、この自然数は 10ｘ+ｙ と表せる。 この数から各位の数の和を引くと、 (4)連続する 2 つの奇数の和は 4 の倍数となることを説明しなさい。 連続する 2 つの奇数のうち、小さい数を 2ｎ+1 とする。 10ｘ+ｙ － （ｘ+ｙ） ＝ 9ｘ ここで、 ｘ は整数だから、 ｘ も整数となる。 よって、 9ｘ は 9 の倍数となる。 すると連続する 2 つの奇数は、 2ｎ+1 、 2ｎ+3 となる。 これらの和は （2ｎ+1）+(2ｎ+3) = 4ｎ+4 = 4(ｎ+1) ｎは整数なので（ｎ+1）も整数となり、 4(ｎ+1) は 4 の倍数となる。 したがって、連続する 2 つの奇数の和は 4 の倍数となる。 したがって、2 けたの自然数から、その数の各位の数の和を引くと 9 の倍数となる。
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