2015東京大学理系4番

2015 東大理系
問題 4
数列 {pn } を次のように定める。
p1 = 1, p2 = 2, pn+2 =
(1)
p2n+1 + 1
(n = 1, 2, 3, · · · )
pn
p2n+1 + p2n + 1
が n によらないことを示せ。
pn+1 pn
(2) すべての n = 2, 3, 4, · · · に対し、pn+1 + pn−1 を pn のみを使って表せ。
(3) 数列 {qn } を次のように定める。
q1 = 1, q2 = 1, qn+2 = qn+1 + qn (n = 1, 2, 3, · · ·)
すべての n = 1, 2, 3, · · · に対し、pn = q2n−1 を示せ。
解答
(1)
(
p2n+2
+
p2n+1
+1
pn+2 pn+1
=
p2n+1 +1
pn
)2
+ p2n+1 + 1
p2n+1 +1
pn+1
pn
)
(
)2
p2n+1 + 1 + p2n p2n+1 + 1
( 2
)
=
pn+1 + 1 pn pn+1
(
=
p2n+1 + 1 + p2n
pn pn+1
だから、
p2n+1 + 1 + p2n
p2 + 1 + p21
6
= 2
= =3
pn pn+1
p2 p1
2
(2)
p2n+1 + 1 + p2n = 3pn pn+1 (n = 1)
より、
p2n + 1 + p2n−1 = 3pn−1 pn (n = 2)
これら辺々を引いて、
p2n+1 − p2n−1 = 3pn (pn+1 − pn−1 ) (n = 2)
いま
c
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-1-
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( i ) p2 = 2, p1 = 1 が成り立つ。このとき、
p3 =
p22 + 1
=5
p1
だから、p3 > p2 > p1 が成り立つ。
( ii ) pk+2 > pk+1 > pk > 0 が成り立つとすると、
p2k+2 + 1
− pk+2
pk+1
pk+2 (pk+2 − pk+1 ) + 1
>0
=
pk+1
pk+3 − pk+2 =
よって、pk+3 > pk+2 > pk+1 > 0 が成立する。
こうして、{pn } は正の単調増加数列である。したがって、
pn+1 + pn−1 = 3pn
が成り立つ。
(3)
q1 = 1, q2 = 1, qn+2 = qn+1 + qn
のとき、
rn = q2n−1
とおく。
rn+2 = q2(n+2)−1 = q2n+2 + q2n+1
= q2n+1 + q2n + q2n−1
= q2n+1 + (q2n+1 − q2n−1 ) + q2n−1
= 3rn+1 − rn
また、
r1 = q1 = 1
r2 = q3 = q2 + q1 = 2
数列 {pn } と数列 {rn } はそれらの３項間漸化式が一致し、初期条件が等しいか
ら、この２つの数列は一致する。
c
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