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数学
類題にチャレンジ
〔問題編〕
【類題 1 】
下の図のように，1 辺の長さが 8cm の正方形 ABCD を，頂点 A, B がそれぞれ頂点 D，C に重なるように
折り，EF を折り目とします。さらに，頂点 A が線分 EF 上に重なるように PB を折り目として折り曲げ，頂点 A
と線分 EF が重なった点を Q とします。
このとき，次の各問に答えなさい。
(1) AP の長さを求めなさい。
A
P
E
D
Q
(2) △QPB の面積を求めなさい。
B
F
C
【類題 2 】
縦と横の辺の長さの比が 2 ：1 である長方形 ABCD を，頂点 A が辺 CD 上にくるように，点 B を通る折り
目で折ります。このとき，折り目の直線と辺 AD との交点を E とし，点 A が移った点を F とします。
このとき，次の各問に答えなさい。
(1) △BCF と△FDE が相似であることを証明しなさい。
A
E
D
F
(2) BC＝6cm のとき，線分 AE の長さを求めなさい。
B
C
【類題 3】
下の図のように，AD＝10cm で，縦と横の辺の長さの比が 1： 2 の長方形 ABCD があります。辺 CD の中
点 E をとり，線分 AE を折り目として長方形 ABCD を折ったとき，点 D が移った点を F とし，AF の延長と辺
BC との交点を G とします。折った紙を元に戻し折り目の線分 AE と線分 AG，EG を書きます。
このとき，次の各問に答えなさい。
(1) △ECG≡△EFG であることを証明しなさい。
D
E
C
G
F
A
(2) △AEG の面積を求めなさい。
B
【類題 4 】
下の図１のような，AB＝20cm で，縦と横の長さの比が 1： 2 の長方形 ABCD の紙があります。辺 AD を
3 等分する点を A に近い方から P，Q とし，辺 BC を 3 等分する点を B に近い方から R，S とします。図２のよ
うに，線分 PR，QS を折り目として，線分 AB，DC がぴったり重なるように折って，立体をつくります。
このとき，次の各問に答えなさい。
図２
図１
A
D
A
B
B
Q
P
S
R
D
C
C
(1) 図２でつくられた立体の体積を求めなさい。
(2) 図２において，重なった線分 AB，DC を離し，右の図３
のように改めて対角線 AC を折り目として折り重ねたとき
の点 B の移った点を B’，線分 AD，B’C の交点を E とし，
図３
A
B’
P
Q E
D
線分 AC，QS の交点を F とします。
このとき，四角形 CEQF の面積を求めなさい。
F
B
R
S
C
数学
類題にチャレンジ
〔解法・解答編〕
【類題 1 】
ポイント 1 図形を折り返すと，等しい長さの線分や等しい大きさの角が移る。
ポイント 2 直角三角形の 3 辺の長さを数や文字で表し，三平方の定理を用いて方程式をつくる。
ポイント 3 3 辺の比が，1：2：
である直角三角形の 3 つの内角は，30°，60°，90°である。
ポイント 4 相似な三角形の 3 辺の比は等しい。
A
P
E
〔解法〕
（1 ）ポイント 1 より，線分 AP，AB が移った線分が QP，
D
Q
QB なので，AP＝QP，AB＝QB＝8cm になる。
ポイント 2 より，△QBF で三平方の定理を用いて，
QF2＋BF2＝QB2
QF2＋ 42 ＝ 82
QF＝ 4 3
よって，△QBF の 3 辺の比は 1:2: 3 となり，ポイント 3
より，30°，60°，90°の直角三角形になる。
B
△PQE と△QBF において
A
P
F
C
E
D
∠QEP＝∠BFQ＝90°…①
Q
∠PQE＝180°－90°－∠BQF＝90°－30°＝60°
また，∠QBF＝60°より
∠PQE＝∠QBF＝60°…②
①，②より，2 組の角がそれぞれ等しいので
△PQE∽△QBF(はさみ込み型)
ポイント 4 より，△PQE の 3 辺の比は 1：2： 3 となる。
B
C
F
△PQE で，QE＝8－QF＝(8－ 4 3 ) cm
QP：QE＝2：1 より
QP＝2(8－ 4 3 )＝(16－ 8 3 ) cm
答え (16－ 8 3 ) cm
A
P
E
D
Q
1
（2 ） △QPB の面積は， ×QP×QB で求められるので，
2
1
×(16－ 8 3 )×8＝(64－ 32 3 ) cm2
2
答え (64－ 32 3 ) cm2
B
F
C
【類題 2】
ポイント 1 図形を折り返すと，等しい長さの線分や等しい大きさの角が移る。
ポイント 2 直角三角形に着目し，三平方の定理を用いて辺の長さを求める。
ポイント 3 直角二等辺三角形の 3 辺の比は 1：1： 2 である。
〔解法〕
（1 ）ポイント 1 より∠BAE が移った角が∠BFE なので，
大きさはいずれも 90゜。また，∠BCF，∠FDE も 90゜な
ので，∠EFD（図中の● ）を用いて，角の大きさを図の
180゜－90゜－●
E
A
D
ように表すことができる。
●
〔解答例〕
F
△BCF と△FDE において，
仮定より，∠BCF＝∠FDE＝90゜
･･･①
長方形を折っているので，∠BFE＝90゜
180゜－90゜－●
ここで，点 F に集まる角の和より
∠BFC＝180゜－90゜－∠EFD
･･･②
また，△FDE の内角の和より，
∠FED＝180゜－90゜－∠EFD
②，③より，∠BFC＝∠FED
･･･③
･･･④
①，④より，2 組の角がそれぞれ等しいので
△BCF∽△FDE
B
C
〔終〕
（2 ）長方形の辺の長さの比は 2 ：1 なので，辺 AB の
E
A
D
長さは 6× 2 ＝6 2 cm。ポイント 1 より辺 AB が移っ
6 2 －6（cm）
たのが辺 FB なので，FB＝6 2 cm。また，辺 AE が移
ったのが辺 FE なので，辺 FE の長さを求めればよい。
F
ここで，ポイント 2 より△BCF に注目する。辺 CF の
長さを x（cm）とおくと，三平方の定理を用いて
x2＋62＝（6 2 ）2
6 2 cm
これを解いて，x＝6cm。よって BC＝CF＝6cm なので，
x＝6cm
△BCF は直角二等辺三角形。また，△BCF∽△FDE
6 2 cm
なので，△FDE も直角二等辺三角形。
次に，ポイント 3 より△FDE の 3 辺の比を利用する。
CD＝6 2 cm，CF＝6cm なので，FD＝6 2 －6（cm）。
FD：FE＝1： 2 なので，
FE＝（6 2 －6）× 2 ＝12－6 2 （cm）
答え
12－6 2 （cm）
B
6cm
C
【類題 3】
ポイント 1 図形を折り返すと，等しい長さの線分や等しい大きさの角が移る。
ポイント 2 合同の証明の後の問題では，対応する辺の長さや角の大きさが等しいことを利用する。
ポイント 3 直角三角形に着目し，三平方の定理を用いて辺の長さを求める。
〔解法〕
(1 ) △ECG ≡△EFG を証明するためにはポイント 1 より折り返した図形の辺や角は等しい
ことと，さらに長方形の角の大きさがすべて 90°であることを利用する。
証明例
△ECG と△EFG において，折っているので DE＝FE・・・① 点 E は辺 CD の中点なので，DE＝CE・・・②
①，②より CE＝FE・・・③ 長方形の角はすべて 90°なので∠ADE＝∠ECG＝90°・・・④
折っているので∠ADE＝∠AFE＝90°・・・⑤
⑤より，∠EFG＝180°－∠AFE＝180°－90°＝90°・・・⑥
④，⑥より，∠ECG＝∠EFG＝90°・・・⑦ 共通なので EG＝EG・・・⑧
③，⑦，⑧より，直角三角形の斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しいので，△ECG≡△EFG
(2) 縦と横の長さの比が 1： 2 で縦の長さが 10cm であるから，
横の長さは 10 2 cm である。また，辺 CD の中点が E なので
DE＝CE＝ 10 2 ×
1
＝ 5 2 cm である。
2
D
5 2 cm E
C
ポイント 1 より，AF＝AD＝10cm，EF＝ED＝ 5 2 cm，
∠AFE＝∠ADE＝90°である。
xcm
10cm
また，FG＝xcm とおくと，ポイント 2 より，
10cm
FG＝CG だから，CG＝xcm。
よって，GB＝(10－x)cm と表すことができる。
ここで，ポイント 3 より，直角三角形 ABG に
三平方の定理を用いて，
( 10 2 )2＋(10－x)2＝(10＋x)2
これを解いて，x＝5。よって，AG＝10＋5＝15cm。
△AEG の面積は，AG×EF×
15× 5 2 ×
5 2 cm
1
で求められるので，
2
75 2
1
＝
cm2 である。
2
2
答え
75 2
cm2
2
xcm
F
A
G
(10－x)cm
B
10 2 cm
【類題 4 】
ポイント 1 90゜，60゜，30゜の直角三角形の 3 辺の比は，1：2：
である。
ポイント 2 直角三角形の 3 辺の長さを，数や文字で表し，三平方の定理を用いて方程式をつくる。
ポイント 3 相似な三角形（砂時計型）を発見し，その相似比から辺の長さを求める。
〔解法〕
（1 ）できた立体は三角柱で，底面は BR＝RS＝SC より正三角形。
B(C)
AB＝20cm で，AB：BC＝1： 2 より，BC＝ 20 2 cm。また，BC を
20 2
cm。
3
ここで，正三角形 BRS の頂点 B から辺 RS に垂線 BH を引くと，
30°
3 等分しているので，正三角形 BRS の 1 辺の長さは
△BRH は 90゜，60゜，30゜の直角三角形。ポイント 1 より，その 3 辺
の比は，1：2： 3。したがって，
60°
1 10 2
20 2
10 6
10 2
RH＝
× ＝
cm ，BH＝
× 3＝
cm，
3
3
3
3
2
△BRS＝
R
S
H
1
20 2
10 6
200 3
×
× ＝
cm2。
3
3
9
2
よって，求める立体の体積は，
200 3
4000 3
×20＝
cm3。
9
9
4000 3
cm3
9
答え
（2）折り返しにより，∠ACB＝∠ACB’。また，平行線の錯角より，
B’
∠ACB＝∠CAD。よって，∠ACB’＝∠CAD だから，△EAC は
EA＝EC の二等辺三角形である。ここで，EA＝EC＝xcm とおくと，
A
P
Q E
D
DE＝(20 2 －x)cm と表せる。
※△ECD≡△EAB’(はみ出し型)より EC＝EA＝xcm
F
よって，DE＝(20 2 －x)cm としてもよい。
また，DC＝20cm であることから，ポイント 2 より，△CDE で三平
B
R
S
方の定理を用いて，
(20 2 －x)2＋202＝x2
1
＝ 150 2 cm2 と分かる。
2
次に，ポイント 3 より，△AQF∽△CSF で，その相似比は，AQ：CS＝2：1 だから，QF：SF＝2：1。
これを解いて，x＝15 2 cm。よって，△AEC の面積は 15 2 ×20×
よって，QF＝20×
2
2
40 2
40
＝
cm。また，AQ＝ 20 2 × ＝
cm。
3
3
3
3
ゆえに， △AQF＝
150 2 －
40 2
800 2
40 1
×
× ＝
cm2。したがって，求める四角形 CEQF の面積は，
3
9
3
2
800 2
550 2
＝
cm2。
9
9
答え
550 2
cm2
9
C

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