Supplemental material

くりこみ群による横磁場 Ising 模型の臨界指数の推定
-Supplemental material-
2015 年 7 月 30 日
概要
ポスター発表では紹介できなかった計算を載せておきます。
1 横磁場 Ising 模型に対する Symmetry-respecting Real-Space
Renormalization Group の計算
1.1 Fernandez-Pacheco の手法
まず始めに、文献 [1–3] で議論されている実空間くりこみ群のレビューをする。考える模型は 1 次元横
磁場 Ising 模型であり、そのハミルトニアンは
H = −J
N
∑
z
−Γ
σiz σi+1
N
∑
σix
(1)
i=1
i=1
α
α
である。σiz , σix は Pauli 行列であり、J > 0, Γ > 0 で周期境界条件 σN
+1 = σ1 (α = x, y, z) をとるも
のとする。議論を簡単にするために z 方向の磁場は考えない*1 。
この模型についての実空間くりこみ群を考えよう。格子全体を隣り合う 2 つのスピンからなるブロッ
クに分割する。さらに、ハミルトニアン H も次のように 2 つの部分に分割する。
∑
H=
I
Hin
+
I∈blocks
∑
(I,I+1)
Hrest
(2)
I∈blocks
(I,I+1)
I
Hin
はブロック I 内のスピンのみに作用する項からなる演算子であり、Hrest
I
に取り入れな
は Hin
I
かった I と I + 1 番目のブロック間の相互作用を含む部分である。このとき、内部ハミルトニアン Hin
の固有値、固有ベクトルをそれぞれ ϵn , |ϵIn ⟩ (n = 0, 1, 2, 3) として、ϵ0 ≤ ϵ1 ≤ ϵ2 ≤ ϵ3 の順になっている
とする。すると、くりこまれたハミルトニアン H ′ は
H ′ = P HP =
∑ (
)
ϵ0 |ϵI0 ⟩ ⟨ϵI0 | + ϵ0 |ϵI1 ⟩ ⟨ϵI1 | +
I∈blocks
∑
(I,I+1)
P Hrest
P
(3)
I∈blocks
(1)
となる。ここで、P = ⊗I PI であり、PI は 2 つの状態 |ϵI0 ⟩ , |ϵI1 ⟩ で張られる部分 Hilbert 空間 HI
への
射影演算子である。エネルギーの低い 2 つの固有状態 |ϵI0 ⟩ , |ϵI1 ⟩ がくりこんだ模型の新しいスピン状態
|↑(1) ⟩ , |↓(1) ⟩ に対応している。このとき、他の固有状態 |ϵI2 ⟩ , |ϵI3 ⟩ は落としてしまう。以上が量子スピン
系における実空間くりこみ群の方法である。
*1
[2] では縦磁場 hz がある場合も含めて議論をしている。
1
第 60 回物性若手夏の学校ポスターセッション
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従来の実空間くりこみ群では内部ハミルトニアンとして
I
z
x
Hin
= −Jσiz σi+1
− Γσix − Γσi+1
(4)
を考えていた。しかし、この方法では臨界指数の正確な値を得ることはできなかった。Miyazaki と
Nisihimori は Hin として (4) 式ではなく、
I
z
Hin
= −Jσiz σi+1
− Γσix
(5)
を用いた。この場合、計算に必要な固有値・固有ベクトルは
ϵ0 = ϵ1 = −
√
J 2 + Γ2
(6)
|ϵ0 ⟩ = a1 |↑↑⟩ + a−1 |↓↑⟩
(7)
|ϵ1 ⟩ = a1 |↓↓⟩ + a−1 |↑↓⟩
√ (
)
1
J
ab =
1 + b√
2
J 2 + Γ2
(8)
(b = ±1)
(9)
となる。くりこみにより基底状態 |ϵ0 ⟩ , |ϵ1 ⟩ で張られる Hilbert 空間を考えることになるから、内部ハミ
ルトニアンは定数
√
I
PI Hin
PI = − J 2 + Γ2 1I
(10)
I,I+1
となる。つぎに残りの P Hrest P を求める。
J
PI (σiz ⊗ 1i+1 )PI = √
σIz
J 2 + Γ2
z
PI (1i ⊗ σi+1
)PI = σIz
√
J2
x
PI (σi ⊗ 1i+1 )PI = 1 − 2
1I
J + Γ2
Γ
x
PI (1i ⊗ σi+1
)PI = √
σIx
2
2
J +Γ
(11)
(12)
(13)
(14)
であるから、
J2
Γ2
I,I+1
z
P Hrest
P = −√
σIz σI+1
−√
σIx
2
2
2
2
J +Γ
J +Γ
(15)
となる。よって、くりこまれたハミルトニアン H ′ は
H=−
∑
∑
N√ 2
z
σIz σI+1
− Γ′
σIx
J + Γ2 − J ′
2
I
(16)
I
となり、元のハミルトニアンには無かった新しい相互作用項は現れない。結合定数 J, Γ は次のように変
換されている。
J2
J′ = √
,
J 2 + Γ2
Γ2
Γ′ = √
J 2 + Γ2
(17)
ここで、kx ≡ Γ/J とすれば、(17) 式は
kx′ = kx2
2
(18)
第 60 回物性若手夏の学校ポスターセッション
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となる。この式がくりこみ群変換による結合定数の変換を表している。非自明な固定点が存在し、kx = 1
である。スケーリング次元 yx は
yx = 1
(19)
ν = 1/yx = 1
(20)
である。相関長の臨界指数 ν は
となる。これは１次元横磁場 Ising 模型（２次元古典 Ising 模型）の臨界指数の値と厳密に一致している。
1.2 Kubica と Yoshida の議論
Kubica と Yoshida は以上の実空間くりこみ群を拡張して、Hin の基底状態が縮退し、Z2 対称性を反
映していれば、くりこみ群によって求められる臨界指数 ν が厳密な値になることを予想した [3]。実際に
(5) 式で定義される Hin の場合には基底状態は縮退し
I
I
[Hin
, σxI ] = [Hin
, σzI ] = 0
(21)
が成立しているが、従来の (4) 式の Hin の場合には基底状態に縮退がなく、新しいスピン演算子と非可換
I
[Hin
, σzI ] ̸= 0
(22)
である。一般に Hin の基底状態が縮退している場合には、新しい Pauli 演算子 σIz , σIx が定義でき、Hin
の基底状態 |0⟩ , |1⟩ に対し
σIz |0⟩ = + |0⟩,
σIx
|0⟩ = |1⟩,
σIz |1⟩ = − |1⟩
(23)
|1⟩ = |0⟩
(24)
σIx
が成り立つ。さらに、くりこんだハミルトニアン H ′ は常に強磁性相互作用項 σzI σzI+1 と横磁場項 σxI と
定数項だけで表すことができる。
H = −J
∑
z
σiz σi+1
−Γ
i
∑
σix −→ H ′ = −J ′
∑
i
I
z
σIz σI+1
− Γ′
∑
σIx + const.
(25)
I
すなわち、くりこみによって新しい相互作用項が現れず、ハミルトニアンは結合定数の値が変化するだ
けである。新しい相互作用項が現れないことが、臨界指数 ν が厳密に求まることに対応しているはずで
ある。このような場合に臨界指数 ν が厳密になることを解析的に示してはいないが、Kubica と Yoshida
は実際に以上の条件を満たす様々な Hin について臨界指数 ν を数値計算して、10−7 の精度で厳密解に
一致することを確認している。
参考文献
[1] A. Fernandez-Pacheco, Phys. Rev. D 19, 3173 (1979).
[2] R. Miyazaki, H. Nishimori, and G. Ortiz, Phys. Rev. E 83, 051103 (2011).
[3] A. Kubica, and B. Yoshida, e-print arXiv:1402.0619.
3

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