Dirac-Orbitale - Florian Wodlei

Einleitung
nichtrel. Wasserstoatom (spinlos)
rel. Wasserstoatom (für spin 21 -Teilchen)
Orbitale des (rel.) Wasserstoatoms
Ausblick und oene Fragen
Dirac-Orbitale
Florian Wodlei
Seminar aus höherer QM
Institut für theoretische Physik
Dirac-Orbitale
Einleitung
nichtrel. Wasserstoatom (spinlos)
rel. Wasserstoatom (für spin 21 -Teilchen)
Orbitale des (rel.) Wasserstoatoms
Ausblick und oene Fragen
Überblick
1
Einleitung
Motivation
Was ist ein Orbital?
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Dirac-Orbitale
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Orbitale des (rel.) Wasserstoatoms
Ausblick und oene Fragen
Überblick
1
2
Einleitung
Motivation
Was ist ein Orbital?
nichtrel. Wasserstoatom (spinlos)
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Orbitale des (rel.) Wasserstoatoms
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Überblick
1
2
3
Einleitung
Motivation
Was ist ein Orbital?
nichtrel. Wasserstoatom (spinlos)
rel. Wasserstoatom (für spin 12 -Teilchen)
Dirac-Gleichung in bekannter Form
Dirac-Coulomb-Problem
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Dirac-Orbitale
Einleitung
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rel. Wasserstoatom (für spin 21 -Teilchen)
Orbitale des (rel.) Wasserstoatoms
Ausblick und oene Fragen
Überblick
1
2
3
4
Einleitung
Motivation
Was ist ein Orbital?
nichtrel. Wasserstoatom (spinlos)
rel. Wasserstoatom (für spin 12 -Teilchen)
Dirac-Gleichung in bekannter Form
Dirac-Coulomb-Problem
Orbitale des (rel.) Wasserstoatoms
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Orbitale des (rel.) Wasserstoatoms
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2
3
4
5
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Motivation
Was ist ein Orbital?
nichtrel. Wasserstoatom (spinlos)
rel. Wasserstoatom (für spin 12 -Teilchen)
Dirac-Gleichung in bekannter Form
Dirac-Coulomb-Problem
Orbitale des (rel.) Wasserstoatoms
Ausblick und oene Fragen
Auswirkungen auf die "Chemie"
Hybridorbitale
Mehrelektronen- und Molekülorbitale
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Motivation
Was ist ein Orbital?
Motivation
Die "Ignoranz" der Chemiker
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Was ist ein Orbital?
Was ist ein Orbital?
Die statistische Deutung der Wellenfunktion:
ρ(~x ) := |ψ(~x )|2 = ψ(~x )∗ ψ(~x )
(1)
Als Orbital bezeichnet man denjenigen Ort, an dem sich ein
Teilchen (bei uns Elektron) mit einer gewissen
Wahrscheinlichkeit ρo aufhält:
!
ρ(~x ) = ρo
(2)
(Wenn ψ(~x ) die Wellenfunktion ist, die den Zustand des
Teilchens beschreibt.)
Dies kann man leicht am "Teilchen im Kasten" demonstrieren.
(⇒ siehe Tafel)
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nichtrel. Wasserstoatom
Die Schrödingergleichung für das nichtrel. Wasserstoatom
hat die Form:
wobei
Ĥ ψ(~x ) = E ψ(~x )
(3)
~2 2 α
Ĥ = −
∇ −
m } |{z}
r
| 2{z
(4)
Hˆo
V̂ (r )
der nichtrel. Hamiltonoperator ist.
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Orbitale des (rel.) Wasserstoatoms
Ausblick und oene Fragen
Löst man die Gleichung erhält man die bekannten Funktion
bzw. Energie:
ψ(~x )n,l ,m = Nn,l ,m e −an r r l
(2l +1)
L(n−l −1)(x )
| {z }
Y (θ, ϕ)
| lm {z }
(5)
Laguerre −Polynome Kugelachenfunktionen
En = − nβ2
(6)
wobei n,l,m so deniert sind:
n∈N
l = 0, 1, ........, n − 1
m = −l , ...., 0, ....., l
(es zeigt sich also eine n2 fache Entartung)
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(7)
(8)
(9)
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Orbitale des (rel.) Wasserstoatoms
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Orbitale des nichtrel. Wasserstoatom
Wie sehen hier die Orbitale aus?
Die möglichen Wellenfunktionen ψ(r , θ, ϕ)n,l ,m die sich durch
die Bedingungen der Quantisierung ergeben sind:
ψ(r , θ, ϕ)1,0,0 , ψ(r , θ, ϕ)2,0,0 , ψ(r , θ, ϕ)2,1,0 , ψ(r , θ, ϕ)2,1,1 (10)
ψ(r , θ, ϕ)2,1,−1 , .... (11)
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Orbitale des (rel.) Wasserstoatoms
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Bennenung der Orbitale
Orbitale, die sich aus Wellenfunktionen mit l=0 ergeben nennt
man s-Orbitale (=sharp), mit l=1 nennt man sie p-Orbitale
(=principle) usw.
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s-Orbital
Abbildung: s-Orbital
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pz -Orbital
Abbildung: pz -Orbital
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p±-Orbital
Abbildung: p± -Orbital
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Dirac-Gleichung in bekannter Form
Dirac-Coulomb-Problem
Dirac-Gleichung
Die Schrödingergleichung für das rel. Wasserstoatom wird
Diracgleichung genannt und hat die Form:
wobei
Ĥ ψ(~x ) = E ψ(~x )
(12)
2
~ + β mc 2 − e · 14
Ĥ = −i ~c α
~ ·∇
r
(13)
der rel. Hamiltonoperator ist.
(⇒ Details siehe Tafel)
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Dirac-Gleichung in bekannter Form
Dirac-Coulomb-Problem
Dirac-Gleichung
Man kann die Diracgleichung auf die folgende Form bringen:
r( ∂ − 2 ~
(m − γrc )12
− 2iS
S · ~L)
~ ∂r
~r
r( ∂ − 2 ~
− 2iS
S · ~L)
−(m + γrc )12
~ ∂r
~r
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Dirac-Orbitale
!
ψ1
ψ2
=ε
(14)
ψ1
ψ2
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Dirac-Gleichung in bekannter Form
Dirac-Coulomb-Problem
Symmetrie des Problems
Aufgrund seiner Symmetrie lässt sich das Problems in Radialund Winkelanteil separieren (analog dem nichtrel. Fall):
ψi (~x ) =
ψ1 (~x )
ψ2 (~x )
Ansatz +
Rn (r ) · Yκ,mj (θ, ϕ)
↓
=
Rn− (r ) · Y−κ,mj (θ, ϕ)
(Vorsicht: Yκ,mj (θ, ϕ) sind nicht die bekannten
Kugelächenfunktionen, sondern...)
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(15)
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Dirac-Gleichung in bekannter Form
Dirac-Coulomb-Problem
Spinor Kugelächenfunktionen
Yκ,mj (θ, ϕ) ist wie folgt deniert:
m −1/2
Yκ,mj (θ, ϕ) =
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Nκ,mj Yκ−j 1
m +1/2
Ñκ,mj Yκ−j 1
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!
(16)
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Dirac-Gleichung in bekannter Form
Dirac-Coulomb-Problem
Bedeutung der Quantenzahlen (1/2)
nichtrel. Fall rel. Fall
~L2 , Lz
~J 2 , Jz
~ = 2~L · ~S + 1
B.Thaller: ~J 2 ersetzen
→ K
~
~ 2 − 1)
(es zeigt sich, dass J 2 = K
4
nichtrel. Fall
~L2 , Lz
~L2 Yl ,m (θ, ϕ) = l (l + 1)Yl ,m (θ, ϕ)
Lz Yl ,m (θ, ϕ) = mYl ,m (θ, ϕ)
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rel. Fall
~ , Jz
K
~ Yκ,m (θ, ϕ) = κYκ,m (θ, ϕ)
K
j
j
~Jz Yκ,m (θ, ϕ) = mj Yκ,m (θ, ϕ)
j
j
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Ausblick und oene Fragen
Dirac-Gleichung in bekannter Form
Dirac-Coulomb-Problem
Bedeutung der Quantenzahlen (2/2)
B.Thaller: (n, j , mj ) −→ (n, κ, mj )
Dass hat natürlich Auswirkungen:
n = 0, 1, 2, 3, ... −→ n = 0, 1, 2, 3, ...
j =l+
1
2
= 12 , 32 , 52 , ...., n −
1
2
−→ κ = j +
1
2
= 1, 2, 3, 4, ....., n
mj = −j , ..., 0, ..., j −→ mj = −(κ + 12 ), ..., 0, ..., κ +
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1
2
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Dirac-Gleichung in bekannter Form
Dirac-Coulomb-Problem
Lösung des Dirac-Coulomb-Problems
Lösst man Gleichung (14) mit dem Ansatz (15) erhält man die
vollständige Lösung:
ψn,κ,mj (~x ) =
Nn,κ,mj (F (a, b, cr ) + F (d , e , fr ))Yκ,mj (θ, ϕ)
Ñn,κ,mj (−F (a, b, cr ) − F (d , e , fr ))Y−κ,mj (θ, ϕ)
(17)
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Ausblick und oene Fragen
Dirac-Orbitale
Was bedeutet aber in der "relativistischen Welt" Orbital?
Zur Erinnerung: Als Orbital bezeichnet man denjenigen Ort,
an dem sich ein Teilchen (bei uns Elektron) mit einer gewissen
Wahrscheinlichkeit ρo aufhält:
!
ρ(~x ) = ρo
wobei ρ(~x ) := |ψ(~x )|2 = ψ(~x )∗ ψ(~x )
D.h. für uns.....
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(18)
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Dirac-Orbitale
Für unsere Wellenfunktion aus Glg. (17):
2
ρ(~x ) := |ψ(~x )| = |
ψ1 (~x )
ψ2 (~x )
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|2 =
|ψ1 (~x )|2
| {z }
Spin−Up Orbital
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+
|ψ2 (~x )|2
| {z }
Spin−Down Orbital
(19)
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Dirac-Orbital (entspricht einem g-Orbital)
Abbildung: Dirac-Orbitale zur Quantenzahl n=4, κ=4
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Auswirkungen auf die "Chemie"
Hybridorbitale
Mehrelektronen- und Molekülorbitale
Was heiÿt das für die Chemie?
Elektronen mit Up-Spin bzw. Down-Spin haben
unterschiedliche Orbitale, und benden sich nicht im
selben Orbital!
Was das konkret für Auswirkungen hat muss noch gezeigt
werden.
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Auswirkungen auf die "Chemie"
Hybridorbitale
Mehrelektronen- und Molekülorbitale
Theorie der Hybridisierung
Abbildung: Hybridorbital der sp 3 -Hybridisierung
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Auswirkungen auf die "Chemie"
Hybridorbitale
Mehrelektronen- und Molekülorbitale
Mehrelektronen- und Molekülorbitale
Abbildung: Antibindendes σ -Wasserstomolekülorbital
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Auswirkungen auf die "Chemie"
Hybridorbitale
Mehrelektronen- und Molekülorbitale
Literatur
B.Thaller Advanced Visual Quantum Mechanics. Springer
Science+Business Media, New York, 2005 (516), pp
113-146, 377-426
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