第５学年Ｃ組 算数科学習指導案 授 業 者 研究協力者 １ 単元名 かけ算を広げよう 平塚 定 杜 威，佐藤 学，山名 裕子 ～小数のかけ算～ ２ 子どもと単元 (1) 子どもについて 九九は全ての子どもが唱えることができる。２年生で導入されるかけ算では累加で意味付 けを行っているため，例えば３×４の場合，子どもたちは「３を４回足す」などととらえて いる。「倍」については，２年生からそれぞれの学年で，繰り返し学習の中でふれてきてい るものの，整数倍は累加によって解決できるため，かけ算の意味の拡張としては不十分さが 残る。 かけ算となる場面を２本の数直線に表す活動は，３年生と４年生で繰り返し経験している。 しかし，数量の関係を理解し，正しく数直線に表すことに難しさを感じている子どもも多い。 また，数直線に表すことのよさとして「答えが大体どれくらいか分かる」と答えられる子ど もは多いが，演算決定の根拠として活用できるととらえている子どもはほとんどいない。 算数の授業では，主にペアやグループでの「対話」を通して，それぞれの考えを交流する 場を設け，比較検討することを行っている。子どもたちは，「対話」を重ねることで，曖昧 なところがより明確になり，よりよい考えや新しい発見につながると感じるようになってい る。 (2) 単元について 第２学年「九九」の単元で，同数累加を基に九九を構成した。９の段まで構成した後に「倍」 について学習し，「４ｃｍの１倍，２倍，３倍の長さはかけ算の式で表すことができます」 とまとめている。 比例関係については，本単元の前に「数直線と比例」で学習している。 本単元では，こうした既習の内容を基に，乗数が小数となるかけ算の立式の根拠を考える ことで，かけ算の意味の拡張を図っていく。さらに小数の乗法計算の仕方を考えたり，交換 法則，結合法則，分配法則が小数の場合でも成り立つことを，根拠を明確に示しながら明ら かにしていく。 筆算の仕方については，特に小数点を打つ位置について，小数の加法や減法，小数×整数 との違いを示しながら，さまざまなパターンを基に定着を図っていく。 (3) 指導について 本単元の導入では，かけ算の意味を同数累加から「基準量×割合(倍)」へと拡張していく。 かけ算になる根拠となるものとして，言葉の式や数直線，比例の表，関係図などがある。既 習の内容を踏まえ，子ども自身が実感・納得できる方法でかけ算の意味を説明できることが 重要と考える。 数直線は，３年生以降のかけ算の学習で繰り返し用いてきており，かき方については慣れ ている。しかし，数直線の目盛りのとり方によっては同数累加のイメージが残ってしまい， 意味の拡張を困難にしてしまうことも予想される。そこで，比例関係に着目した子どもには， 数の関係を簡潔な方法で表してみるよう助言する。２量が「２.３倍」の関係にあることを 最も簡潔に表すのは，「１ｍ」と「２.３ｍ」を「→」で結ぶ図である。この図は，子どもの 数感覚に最も訴えるものである。倍の関係を表す図を基に「２.３倍」となっていることを 強く意識させることができれば，「基準量×割合(倍)」へと意味が拡張されていくものと考 える。 かけ算の意味として累加のイメージが強いため，乗数が小数の場合，かけ算になることの 理由を説明することは容易ではない。一人一人の説明は不十分であっても， 「仲間との対話」 を通してそれぞれの考えを補完し洗練していけば，本時がねらう新たな価値の創造＝かけ算 の意味の拡張を図ることができると考える。 小数×整数の計算の仕方は，ほとんどの子どもが「まず小数を整数にするために１０倍し， 積を１／10にすることで求められる」と説明することができる。そのため，乗数が小数の場 合の計算の仕方を考える場面では，既習の計算の仕方を活用し，整数のかけ算を基にした説 明が期待できる。 小数の場合でも計算法則が成り立つかどうかを調べる学習では，長方形を２つに分割した 図から面積を求める活動を設定する。それぞれの図と式を比較しながら，面積の求め方を説 明し合う活動を通して，分配・交換・結合の３つの法則が小数でも成り立っていることを視 覚的に理解できるようにしたい。 ３ 単元の目標〈記号は本校の資質・能力表による〉 (1) 小数の乗法の意味や計算の仕方を，整数の計算と関連付けて考えようとする。〈ｱ-1･3〉 (2) 小数の乗法の意味や計算の仕方を，既習の計算を基に図や式などを用いて考え，説明する ことができる。 〈ｱ-1･3,ｲ-4･6･7,ｳ-10,11,12,13,14〉 (3) 1/100の位までの小数の乗法計算が確実にできる。 〈ｳ-10,11,12,13,14〉 (4) 乗数が小数である場合の乗法の意味や，小数の乗法も整数の場合と同じ関係や法則が成り 立つことを理解することができる。 〈ｱ-3,ｳ-10,13,14〉 ４ 単元の構想（総時数１０時間） 時間 学習活動 教師の主な支援 評価 〈本校の資質・能力との関連〉 １ (1) 整数×小数の意味 ・ 小数をかけることの意味をとらえ ・ 乗数が小数になるか 本時 を考える。 させるために，問題場面を数直線や け 算 の 意 味 は ，「 基 に 関係図などに表すよう促す。また， する量×○倍」として 子どもの気付きを価値付け，倍関係 とらえればよいことを， を捉え説明できるようするために， 図や数直線などを活用 数に着目させ，「２.３倍」「比例」 し，「２.３倍」「比例」 「→」などを用いて，２つの数量が などといった言葉を用 倍関係にあることを強調した板書を いて説明している。 する。 〈ｱ-1･3,ｲ-4･6,ｳ-13〉 ２ (2) 整数×小数の計算 ・ 既習の計算の仕方を基に考えるこ ・ 乗数を１０倍したり， の仕方を考える。 とができるように，小数×整数の計 ０.１のいくつ分と考え 算の仕方を想起するよう助言する。 て計算するなど，既習 また，それぞれの計算の仕方は比例 の計算の仕方を基に， 関係が基になっていることに気付か 整数×小数の計算の仕 せるために，数直線上に１０倍した 方を考えている。 数を位置づける活動を設定する。 〈ｱ-1･3,ｲ-7,ｳ-11･13〉 ３ (3) 小数×小数の乗法 ・ 積の小数点の位置を考えられるよ ・ 小数×小数の乗法計 計算を基に，筆算の うに， 「仲間との対話」の場面では， 算の仕方を考えている。 仕方を考える。 積の小数点から下のけた数と乗数， 〈ｱ-1･3,ｲ-7,ｳ-11･13〉 被乗数の関係に着目して話し合うよ う，「対話」の視点を示す。 ４ ５ (4) 被乗数が1/100の ・ 筆算の仕方でポイントとなるとこ ・ 既習の筆算の仕方を 位までの小数の乗法 ろが確実に定着できるようにするた 基に，乗数や被乗数が 計算，乗数が1/100 めに，計算の仕方をペアで説明し合 1/100の位までの小数の の位までの小数の乗 う活動を繰り返し設定する。 乗法計算の仕方を考え 法計算の仕方を考え ている。 る。 〈ｱ-1･3,ｲ-7,ｳ-11･13〉 ６ (5) 小数の乗法の筆算 ・ 乗数が小数である場合の筆算の仕 ・ 乗数が小数である場 の仕方を理解する。 方を理解できるようにするために， 合の筆算の仕方を理解 様々なタイプの問題を準備する。 している。 〈ｱ-3,ｳ-12,13〉 ７ (6) 乗数と積の大きさ ・ 「積は被乗数より大きくなる」と ・ 乗数が１より小さい の関係を理解する。 いう既習に基づく乗法の概念が， 「乗 場合，積は被乗数より 数が１より小さい場合，積は被乗数 小さくなることを理解 より小さくなる」と変容していくよ している。 うに，乗数や被乗数，積を数直線上 〈ｱ-3,ｲ-6,ｳ-12〉 に表す活動を設定する。 ８ (7) 辺の長さが小数で ・ 辺の長さが小数の場合の面積や体 ・ 辺の長さが小数であ も，面積や体積の公 積の求め方を説明できるように，１ っても，公式を用いて 式が適用できること ｍｍ方眼の用紙や電卓を用意し，効 面積や体積を求められ を理解する。 率的に学習を進められるよう配慮す ることを理解している。 る。 〈ｱ-3,ｲ-6,ｳ-10,11,13〉 ９ (8) 小数の場合でも， ・ 交換法則，結合法則，分配法則が ・ 小数の場合でも交換 交換法則，結合法則， 成り立つことを理解させるために， 法則，結合法則，分配 分配法則が成り立つ 面積の図を用いて，式と図を関連付 法則が成り立つことを ことを理解する。 けて説明する活動を重視する。 式と図を関連付けて理 解している。 〈ｱ-3,ｳ-11,13,14〉 10 (9) 既習事項を使って ・ 一人一人の到達度を把握し，小数 ・ 学習したことを基に 問題を解く。 の乗法計算の学習が確実に定着する 確実に問題を解決して ようにするために，学習状況に応じ いる。 た問題を用意する。 〈ｱ-3,ｳ-10,11,12,13,14〉 ５ 本時の実際 本時（１／１０） (1) ねらい 整数×小数の式になることの理由を話し合うことを通して，小数をかけることの意味を拡 張して考えることができる。 (2) 展開 ○：「対話」の機能を活かすための手立て 時間 学習活動 10分 ① 教師の支援 問題文を読み，立式する。 ・ １ｍあたり８０円のリボンがあります。 このリボン２.３ｍの値段を求める式を考えま しょう。 評 価 ２.３ｍあたりの値段を求めることを強 く意識させるために，最初は「２.３ｍ」 を提示しない。「どれくらいの長さかな。」 と問い，いくつか予想させた後に「２.３ ｍ」と板書する。 ・ ２ｍだとかけ算だけど，２.３ｍだと ・ どんな式になるかイメージできない子ど どうなるだろう。 もがいることも予想される。そこで，解決 ・ ８０円の２.３個分になる。これはか の見通しをもたせ，「なぜかけ算になるの け算かな。 だろうか。」という問いを引き出すために， ・ ２.３ｍのときもかけ算になる。 リボンの長さがどんな数だと式ができるか 式 ８０×２.３ 考えさせる。 ８０×２.３の式になるわけを説明できないかな。 22分 ② かけ算になることのわけを，言葉や図 ○ 考えたことを基にしてグループで話し合 などを用いて考え，説明する。 わせるときには，全員が理解して一つの考 【自分との対話】 【仲間との対話】 えにまとめられるように，疑問点や説明が ア 関係図に表して考える 不足している点を明らかにし，相互に考え ２.３倍 １ｍ ２.３ｍ を補完しながらホワイトボードに整理する １ｍ ２.３ｍ よう促す。 ２.３倍 □円 ８０円 □円 ８０円 ・ 「２ｍと０.３ｍ分だから・・・」など， イ 表を使って考える 累加のイメージをもったまま説明しようと ２.３倍 する子どもがいることが予想される。かけ 算の意味の拡張に思考を焦点化させていく 長さ １ｍ ２.３ｍ ために，全体での学び合いの場面では，最 ねだん ８０円 □円 初にこのような考えを取り上げる。そのと き，「×２.３のわけをうまく説明できない ２.３倍 のはなぜだろう」と問い，エやア，イ，ウ ウ 数直線を使って考える の考えによって，倍の考えに気付けるよう にする。 ０ ８０２.３倍 ０ １ ２.３倍 エ □ （円） ２.３ （ｍ） 言葉の式で考える １ｍの値段×長さ＝代金 ・ 全体でかけ算の意味を意識しながら聴く ことができるようにするために， 「比例する」 や「２.３倍」「→」など大事な言葉を強 調して板書し，倍関係への気付きを価値付 けていく。 長さが変わっても値段を求める式はかけ算になるのかな。 10分 ③ 長さを変えてもかけ算になることを説 ○ 小数のかけ算の意味を「１ｍの値段×○ 明する。 倍」ととらえられるように，さまざまな数 【自分との対話】 【仲間との対話】 を基にグループ内で立式の根拠を説明し合 ・ 例えば３.７ｍだと，１ｍの３.７倍だ う活動を設定する。根拠が曖昧なところが から，値段を求める式は８０×３.７に より明確になるように，説明不足なところ なる。 は互いに補完し合うよう促す。 ・ ０.８ｍの場合でも，１ｍの０.８倍だ から値段を求める式は８０×０.８にな ・ 乗数が小数になるかけ算の意味は， 「基 る。 にする量×○倍」としてとらえればよい ・ ○ｍだと１ｍの○倍になるから，○が ことを，図や数直線などを活用し， 「○ どんな長さでも値段を求める式は８０× 倍」「比例」などといった言葉を用いて ○になる。 説明している。 〈ｱ-1･3,ｲ-4･6,ｳ-13〉(ノート・操作・発言) ３分 ④ 次時は計算の仕方を考えることを知り， ・ 本時の学びを実感し次時への学習意欲を 本時の学習をふり返る。 【自分との対話】 高めるために，分かったことに加え，「次 の学習で考えたいことを書こう」などのふ り返りの視点を与える。 (3) 「仲間との対話」を通して新たな価値を創造する子どもの姿 《学習活動②③において》 【協働して追究する「問い」】 「かけ算になるわけを説明できないか。」 子どもの姿 ・かけ算の意味は同数累加ととらえている。 【教師の手立て】 ※ 最初は，問題場面から「かけ算になりそうだ」と直観的にと らえ，かけ算と判断することが予想される。そこで，「なぜか け算になるのだろう」という問いを基に，図や言葉を用いて論 理的な説明を繰り返すことで，かけ算の意味を拡張していくこ とができるようにする。そのために，次のような手立てを講ずる。 ・ 問いを全体のものとするために，累加の考えでは乗数が小数 の場合の立式が困難になることやその理由を確かめる。また， 後半の「どんな数でもかけ算になるのだろうか。」という問い につなげるために，かけ算の意味に関係した子どものつぶやき を強調した板書をする。 ・ 数直線だけではなく，子どもの思考に応じて，関係図や比例 関係の表などを用いた説明の仕方を助言する。 ・ 「仲間との対話」を通してかけ算の意味が明確になってくる ように，疑問点があれば考えを補完し，かけ算になるわけを繰 り返し説明するよう促す。 ・ 小数のかけ算の意味が拡張されたことを明確にするために， 後半では，長さが変わっても値段を求める式はかけ算で求めら れるのか考える活動を設定する。どんな長さでもかけ算に表さ れることの根拠を説明し合うことで，ねらいにせまることが期 待される。 仲間との対話 ・ ８０×２.３を，「８０が２つと…」と考え ると説明できないから，たし算で考えること はできない。 ・ １ｍと２.３ｍを比べると，２.３倍になっ ている。これを図に表すと次のようになる。 ２.３ｍ ２.３倍 １ｍ １ｍ ８０円 倍関係の 気付き ２.３倍 ２.３ｍ □円 累加 ８０円 □円 ２.３倍 長さ ねだん １ｍ ８０円 ２.３ｍ □円 値段は長さに 比例する。 ２.３倍 ・ 長さが２.３倍ということは，値段も８０円 倍関係の の２.３倍になっているから，８０×２.３と 説明 表すことができる。 ・ どんな長さでも代金を求める式は「８０×○倍」とかけ算 で表すことができる。 目指す 子どもの姿 ・ ２.３ｍの値段を求める式は，１ｍの２.３倍になるから， 「８ ０円×○倍」と表すことができる。 ・ かける数が小数のときは，「基にする量の何倍」と考えてか け算に表す。
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