期末試験解答っぽいもの

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材料力学
― 2015 年度期末試験 ―
215002A 松田一真
2015 年 8 月 4 日
1
①：断面係数
(section modulus)
はりの断面において，中立軸関する断面二次モーメントを中立面からはりの上下面までの距離で除した値．
断面二次モーメントを Iz ,，中立面からはりの上下面までの距離を h1 , h2 とすると，断面係数は
Z1 =
Iz
h1
,
Z2 =
Iz
h2
で定義される．曲げ応力の最大値は中立面から最も遠い面に生じるため，断面係数を用いて最大曲げ応力
を求めることができる．
②：安全率
(safety factor)
設計において，部材に許容される最大の応力 σa を許容応力といい，許容応力は想定される荷重条件や材料
に応じた降伏応力，耐力などを基にした基準応力 σs を基に決定される．このとき，安全率 f は
f=
σs
σa
の関係にある
1 より大きな数で，設計者が理論モデルの誤差や様々な不確実性を考慮して決定する．
③：ポアソン比
(Poisson's ratio)
軸力によって物体にひずみが生じたとき，軸方向の縦ひずみ ε と直交方向の横ひずみ ε′ の比の絶対値
′
ε ν = ε
で表される値．材料に固有の値となる．
2015 年度期末試験
材料力学 ④：耐力
2
(proof stress)
一般的な金属材料の引張試験において，弾性限度を越えると明確な降伏を示さずに塑性変形が進行する．
0.2% の永久ひずみを生じる応力を耐力として軟鋼における降伏応力の代わりに設計基準に用
このとき，
いる．
2
1
1.5 t = 1500 kg, 1500 [kg] × 9.8 [m/s2 ] = 14700 N．本のロープにかかる荷重は
14700 [N] ×
1
= 7350 N
2
ロープに発生する応力は
7350 [N]
= 18.375 × 106 Pa
−4
2
4 × 10 [m ]
= 18.4 MPa
フックの法則 σ = Eε 及び，軸方向のひずみと伸びの関係 ε =
λ
より
l
λ
l
σl
18.375 × 106 [Pa] × 100 [m]
∴λ=
=
E
200 × 109 [Pa]
σ=E
= 9.1875 × 10−3 m
= 9.2 mm
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材料力学 2015 年度期末試験
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3
①
20 ± 20 ◦ C．よって ∆T = 20 ◦ C = 20 K．最大の伸びは
λ = lα∆T = 3911 [m] × 1.2 × 10−5 [1/K] × 20 [K] = 0.983 m
= 0.94 m
② 0.5 m の余裕があるとき
0.983 − 0.5 = 0.483 m
ぶんの圧縮力が作用する．作用する力 P は
P = Aσ = AEε = AE
λ
l
= 2.5 [m2 ] × 200 × 109 [N/m2 ] ×
−0.438 [m]
1911 [m]
= −55.995 × 106 N
= −56 MN
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材料力学 2015 年度期末試験
4
4
図
2(a) のように，点 A, B に発生する反力をそれぞれ RA, RB とし，点 C, D の荷重を P1 , P2 とする．
P1 = 1500 N, P2 = 800 N, a = 0.4 m, b = 0.2 m, l = 1.0 m である．
①
力のつり合いから
−RA + P1 + P2 − RB = 0
∴ RA + RB = P1 + P2
= 2300 N
点
B のまわりのモーメントのつり合いから
−RA l + P1 (l − a) + P2 b = 0
図
2(a) P1 (l − a) + P2 b
l
1500 [N] × 0.6 [m] + 800 [N] × 0.2 [m]
=
1.0 [m]
= 1060 N
∴ RA =
また
RB = P1 + P2 − RA
= 2300 [N] − 1060 [N]
= 1240 N
②
AC 間のせん断力を FAC，モーメントを MAC とすると (図 2(b))，
力のつり合いから
図
2(b) RA = FAC
∴ FAC = 1060 N
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モーメントのつり合いから
MAC = RA x
= 1060x Nm
点
C では MC = 1060 × 0.4 = 424 Nm．
CD 間のせん断力を FCD ，モーメントを MCD とすると (図 2(c))，
力のつり合いから
RA = P1 + FCD
∴ FCD = RA − P1 = 1060 − 1500
= −440 N
モーメントのつり合いから
MCD = RA x − P1 (x − a) = (RA − P1 )x + P1 a
= 660 − 440x Nm
点
図
D では MD = 660 − 440 × 0.8 = 248 Nm．
2(c) DB 間のせん断力を FDB，モーメントを MDB とすると (図 2(d))，
力のつり合いから
RA = P1 + P2 + FDB
∴ FDB = RA − (P1 + P2 ) = 1060 − 2300
= −1240 N
モーメントのつり合いから
図
2(d) MDB = RA x − P1 (x − a) − P2 {x − (l − b)}
= (RA − P1 − P2 )x + P1 a + P2 (l − b)
= 1240 − 1240x Nm
SFD, BMD は図 2(e) のようになる．
図
2(e) 215002A 松田一真
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③
曲げモーメントは点
6
C で最大値をとり
Mmax = 428 Nm
長方形断面の断面二次モーメントは
bh3
0.05 [m] × 0.073 [m3 ]
=
12
12
−6
4
= 1.429 × 10 m
Iz =
曲げ応力は
σx =
Mmax
428 [Nm]
y=
y [m]
Iz
1.429 × 106 [m4 ]
= 299.5 × 106 y Pa
(−0.035 [m] ≤ y ≤ 0.035 [m])
よって
σxmax = 299.5 × 106 [N/m3 ] × 0.035 [m] = 10.48 × 106 Pa
= 10.5 MPa
5
引張強さ σ = 400 MPa
せん断強さ τ = 200 MPa
( 3(a))，安全率 4 を考慮して
ピンがせん断により破断するとき図
π 2 2
d [m ] × 2
4
π
100 × 103 × 4 = 200 × 106 × × d2 × 2
4
100 × 103 [N] × 4 = τ [Pa] ×
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よって
√
100 × 103 × 4 × 4
d=
200 × 106 × π × 2
= 0.03568 m
= 35.7 mm
( 3(b))，安全率 4 を考慮して
この条件で真ん中の部材が引張により破断するとき図
d
100 × 103 [N] × 4 = σ [Pa] × t [m2 ] × 2
2
100 × 103 × 4 = 400 × 106 × d × t
100 × 103 × 4
400 × 106 × 0.03568
= 0.02802 m
= 28.0 mm
∴t=
図
3(a) 図 3(b)
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