数値解析 (NUMEICAL ANALYSIS) 担当：石渡 対象：数理科学科２年 教室：5451教室＆プログラミング教室１ ガイダンス ・講義内容： 代表的な数値計算手法とその数学的背景の理解、 ＰＣ実習による実践（3∼4回程度） 非線形方程式の数値解法： f(x)=0 連立1次方程式の数値解法: Ax=b 常微分方程式の数値解法: x (t) = f(x, x(t)) ・教科書指定なし。 上記内容を含む比較的昔からある本は良いと思う。 森正武、山本哲朗、杉原・室田、…らの本 ・講義用web: http://www.sic.shibaura-it.ac.jp/ tisiwata/Lec/NA/na.html 評価 • 期末テスト、ＰＣ実習レポート。（テスト6割） • 出席点はない。 ただし、ＰＣ実習で欠席が半数以上のものは不可。 • 著しく講義・演習環境を阻害する者は直ちに不可とする。 受講に相応しい静かな環境をお互い維持しましょう。 目標 • 理論面：アルゴリズムの理解、その数学的背景の理解 • 実践面：プログラムの作成、数値計算の実践 導入（黒板） • 積分の数値計算 「離散化」して「近似計算」 真の値に「収束」するか？ いろいろな「離散化手法」「近似法」がある。 例：区分求積、台形公式、シンプソン公式… ？ よりよい近似法とは？ 精度、計算量、計算速度、 プログラミングのしやすさ、… §０ 準備 §0.1 誤差 x: 真値(true value) a: 近似値(approximate value) e:=x-a : 誤差(error) 例： x=π=3.1415926535… の近似値が a=3.14 ⇒ 誤差 e=0.0015926535… 誤差は次の２つの量で見ることが多い。 ・絶対誤差(absolute error): ¦e¦ ・相対誤差(relative error): eR := ¦e¦/x • 誤差限界 ε (>0) ⇔ ¦e¦ ≦ ε となる ε -- 必ずしも事前に ε が分かるわけではない。 -- もしも分かると、真値の範囲が a‒ε≦x ≦ a+ε と分かる。 §0.2 誤差の発生 • 打切り誤差(truncation error) 式を（計算可能な）有限回の四則演算に置き換える際に 発生する誤差 • 丸め誤差(rounding error) 数値を（計算機で扱える）有限桁の数にする操作（これ を「丸める」という。）に起因する誤差 §0.3 有効桁数、桁落ち、情報落ち • 丸める … 数値のある桁以下を切り捨て等を行い、有 限桁数にすること。 • 有効 r 桁の数値 丸めによってできた r 桁の数値 （ r を有効桁数ということもある。） 10進数で有効桁数５桁のとき、10進有効5桁、など という。大体２進か１０進でいうことが多い。 ※丸めの影響により、計算結果に数学的な等号は成り立たない。 ⇒計算の順番に工夫をして丸めの影響を低減したり、有効桁 数をなるべく多くとる。 ※誤差の伝播：計算を繰り返し行うことにより、見込まれる誤 差限界は大きくなっていく。 桁落ち、情報落ち • 桁落ち： ２つの値の近い数の引き算で、有効桁数が低下 する現象 例：1.2345-1.2344 = 0.0001 有効桁数 5 → 1 • 情報落ち： 大きさが極端に異なる２つの数の加減算の際に 絶対値が小さい方の数の情報が一部または全部 使われなくなる現象 例：(有効５桁） 1.1111+ 0.000012345 = 1.1111 §0.4 浮動小数点数(Floating Point Number) 浮動小数点数＝ 仮数部（符号、各桁の情報）×基数指数部（小数点の位置情 報） 進 桁浮動小数点数 ただし、 は整数で、基数 は 仮数部の各桁： 指数部 : • 基数は、日常的には a=10, 計算機では a=2,16が一般的 • F.P.N.で記述できる数は、連続的には存在しない。 常に、離散的に分布していることに注意。 ※マシンイプシロン 離散的に分布⇒ ∃ 0 . . 1 １より大きい最小の . . . • 扱える数の絶対値に最大値・最小値が存在 ⇒オーバーフロー、アンダーフロー • IEEE754 standard : 標準的なF.P.N.の規格（調べよ） 第０章課題（PC実習課題の代わり） • 配布フォルダor 講義用webにある課題シートを両面印 刷し、各課題をやって提出せよ。 〆切：２０１５年４月２１日 １８：００ 提出先：数理棟２F書記室前のレポートボックス 講義用web: http://www.sic.shibaura-it.ac.jp/ tisiwata/Lec/NA/na.html
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