公理・定理などの説明と選好の理論

経済学特殊講義 (中級ミクロ経済学)（2015 年度）
教授清水大昌
第 2 回 2015 年 09 月 28 日
[email protected]
http://www-cc.gakushuin.ac.jp/˜20060015/lecture/int-micro2015.html
初回は選好から消費者理論を見ていきます。
学問で使用する「文」について
• 最初に議論の一番大きいところから始めよう。様々な学問において議論をしていく際、様々
な「文」が出現する。これらがどのような位置づけであるかについて紹介しよう。
• 公理、公準、定理、補題、命題、系など。
公理
• 様々な学問分野において、もっとも基本的な仮定・大前提を公理と呼ぶ。非常に基本的で、
自明だと思われるため、これらをベースに議論しても大丈夫だと考えられる。
• 分野によっては、最重要なものを公理、それらにつぐものを公準と区別する。
• 例を挙げよう。
– ペアノ (Peano) の公理。以下の 5 つを満たす集合 N を自然数と呼ぶ。これらを満た
す集合 N は存在し、唯一である。
∗ 1∈N
∗ 任意の自然数 a ∈ N にはその「次」suc(a) が存在する。
（suc(a) は a + 1 という ”意味”）。
∗ 1 はいかなる自然数の「次」でもない（1 より前の自然数は存在しない）。
∗ 異なる自然数は異なる「次」を持つ：a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。
∗ 1 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を
満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。（数学的帰納法）
– ユークリッド幾何学では先に 5 つの公準があり、そのあとに 9 つの公理がある。公準
を示すと
∗ 任意の一点から他の一点に対して直線を引ける。
∗ 有限の直線は連続的にまっすぐ延長できる。
∗ 任意の中心と半径で円が描ける。
∗ すべての直角は互いに等しい。
∗ 直線が 2 直線と交わるとき、同じ側の内角の和が 2 直角より小さい場合、その 2
直線が限りなく延長されたとき、内角の和が 2 直角より小さい側で交わる。
1
– 第 5 公準 (平行線公準) は長ったらしいし、「公理・公準」と言えるほど自明かどうか
は微妙。実際、この公準が満たされない「非ユークリッド幾何学」というものが 19
世紀に作られた。（ユークリッド幾何学は紀元前 3 世紀あたり。)
定理・補題・命題・系
• 公理・公準から論理的に導かれるものを命題と呼ぶ。そのうち、定理は真であることが証
明されたもの。補題は定理を導く途中で得られた補助の真の命題。×× の定理や ×× の補
題というものは、歴史的につけられたものも多く、補題の方が定理より重要なこともある。
• 命題自体論理的に導かれているはずなので、実際には定理（補題）とあまり差はないとも
いえる。
• 系は命題から簡単に証明が得られるもので、同じく命題となる。
• ユークリッドの公準から簡単に得られる定理
– 三角形の外角は隣り合わない内角より大きい。
– 三角形の二辺の和は残りの一辺より長い。
– 三角形の内角の和は 180 度を超えない。
経済学における公理について
• 期待効用理論：社会科学における公理的アプローチの先駆け
• ナッシュ交渉解
• アローの不可能性定理
• ベンサムの最大多数の最大幸福（厚生経済学）
• 顕示選好の弱公理、強公理
• (限界効用逓減の法則…、限界代替率逓減の法則…、リスク回避度と所得の関係…）
2
選好について
• 以下は David Kreps “Notes on the Theory of Choice”の内容を少し修正しながら紹介して
います。
• ミクロ経済学の消費者理論の一番基本的なものは選好である。
• 選好は二項関係 ≻ で表される。つまり、対象となるものの集合 X から要素 x と y を取り
出すと、x の方が y よりも良い（好きだ、好ましい）ということを x ≻ y と表記する。
• ≻ が満たすかもしれない性質を挙げてみると
– 非対称性 (asymmetry): x ≻ y なら y ≻ x ではない。
– 推移性 (transitivity): x ≻ y かつ y ≻ z なら x ≻ z 。
– 非反射性 (irreflexivity): x ≻ x ではない。
– 否定推移性 (negative transitivity): x ≻ y ではなく、y ≻ z ではないのなら、 x ≻ z
ではない。
– 非循環性 (acyclicality): x1 ≻ x2 かつ x2 ≻ x3 · · · と続いて xn−1 ≻ xn なら、x1 ̸= xn
である。
• これらはもっともらしい？推移性は？否定推移性は？
• 補題 1: 二項関係 ≻ が否定推移性を持つことと以下は同値。
x ≻ z なら、どのような y ∈ X を採ってきても x ≻ y または y ≻ z が成り立つ。
• 証明。補題の後半の対偶を取ると、「ある y ∈ x を採ってきたら、x ≻ y も y ≻ z も成り
立っていない」ならば「x ≻ z ではない」。これは否定推移性そのもの。
• x ≻ z とははっきりわかっても、y が x ≻ y と y ≻ z のどちらになるかわからない、と言
い張るかもしれない。
• 定義 1: 二項関係 ≻ が非対称性と否定推移性を満たすとき、これが選好関係であると呼ぶ。
• 命題 1: もし ≻ が選好関係であれば、≻ は非対称性、推移性、非循環性を満たす。
• 証明：(1) 非対称性において y に x を代入すれば直に非反射性を示唆する。
(2) x ≻ y と y ≻ z が成り立っているとする。補題 1 より、否定推移性が成り立っていれ
ば、x ≻ y ならば x ≻ z または z ≻ y となる。しかし前提より y ≻ z なので、非対称性
より z ≻ y ではない。よって x ≻ z となる。これは推移性である。
(3) x1 ≻ x2 かつ x2 ≻ x3 · · · と続いて xn−1 ≻ xn なら、推移性より x1 ≻ xn となる。よっ
て非反射性より x1 ̸= xn となる。
• つまり、以下では定義 1 のみを公理とし、それにより命題 1 が定理となり、以下の議論に
進んでいくわけである。
3
弱選好について
• ここまでの選考は、いわゆる強選好。無差別は含まれてない。
• 二項関係 ⪰ と ∼ を使って弱選好、つまり無差別を含む選好を表現できる。
• 定義 2: x ⪰ y は y ≻ x でないときに成り立つ。
x ∼ y は x ≻ y でも y ≻ x でもないときに成り立つ。
• これらを使って、選好関係をより分かりやすく扱えるようになる。
• 命題 2: (a) 全ての x, y ∈ X について、次のうちただ一つが成り立つ： x ≻ y, y ≻ x,
x ∼ y。
(b) ⪰ は完備性 (completeness) と推移性を満たす。
(c) ∼ は反射性 (reflexitivity)、対称性 (symmetry) と推移性を満たす。
(d) w ≻ x, x ∼ y, y ≻ z は w ≻ y と x ≻ z を示唆する。
(e) x ⪰ y と [x ≻ y または x ∼ y] は同値。
(f) x ⪰ y かつ y ⪰ x なら x ∼ y (反対称性: antisymmetric)。
• 完備性: x ⪰ y か y ⪰ x のどちらか少なくとも一方は成立する。
• 反射性: x ⪰ x
• 対称性: x ∼ y なら y ∼ x。
• 命題 2 の証明: (a) ∼ の定義と ≻ の非対称性より。
(b) 完備性は ⪰ の定義と ≻ の非対称性より。推移性は ≻ の否定推移性より。
(c) 反射性は ≻ の非反射性より。対称性は ∼ の定義より。推移性のためには、まず x ∼ y ∼ z
を仮定しよう。すると定義より x ≻ y ≻ z でもなく z ≻ y ≻ x でもない。否定推移性より
x ≻ z でもなく z ≻ x でもない。よって定義より x ∼ z となる。
(d) 宿題にしましょう。
(e) x ⪰ y は定義により y ≻ x ではないとき。(a) より残ったのは x ≻ y と x ∼ y となる。
(f) ⪰ と ∼ の定義より自明。
次回の予定
次回は顕示選好の弱公理についてご紹介していきます。
4

Download Report