∂
∂ x ∂ 1 ∂ x ∂ x ∂
=
=
−
+
∂x
∂x r ∂r r ∂r r ∂r r ∂r
2
2
2
∂
∂
∂
2 ∂
∂2
∇2 ≡ 2 + 2 + 2 =
+ 2
∂x
∂y ∂z
r ∂r ∂r
5-6. 3次元の波
2
2
2
2
3
2
 
 
u(r,t) = Aei( k⋅r −ω t ) + c.c.
 
1 ∂ 2 u(r,t)
2 
∇ u(r,t) = 2
3次元の波動方程式
c
∂t 2

1 ∂ 2 u(r,t)

2
∇ r u(r,t) = 2
球対称（動径にのみ依存；等方的）な波
c
∂t 2
3次元の平面波
ただし
球面波
∇2 ≡
∂2
∂2
∂2 2 ∂
∂2
+
+
=
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 r ∂r ∂r 2

1 2 
1 ⎛ 1 ∂ 2 f (r,t) ⎞
を代入すると
∇ r f (r,t) = ⎜ 2
r
r⎝c
∂t 2 ⎟⎠

1 ∂ 2 f (r,t)

2
∴ ∇ r f (r,t) = 2
1次元の波動（場の）方程式
c
∂t 2

f ( r ) −iω t

u(r,t) =
e
r
Cf. 面積分から
∫ dSu (r,t) = 4π f
2
2
(r,t)
波の運ぶエネルギーの逆自乗則
S
5-６. 3次元の波
5-4. 固定端における波の反射
http://www.youtube.com/watch?v=LTWHxZ6Jvjs
振動・波動 2011
2
2
5-4. 開放端における波の反射
http://www.youtube.com/watch?v=aVCqq5AkePI&feature=related
5-4. 波の反射（シミュレーション）
http://www.youtube.com/watch?v=lisLZtm-v7w&feature=related
5-２∼5. 量子力学的トンネリング その１
http://www.youtube.com/watchv=_3wFXHwRP4s&feature=related
5-２∼5. 量子力学的トンネリング その２
http://www.youtube.com/watch?v=4-PO-RHQsFA
5-２∼5. 量子力学的トンネリング その３
http://www.youtube.com/watchNR=1&feature=endscreen&v=cV2fkDscwvY
振動波動と電磁気学の接点 （波源を含まない電磁波の伝播） 平面波解
Maxwell方程式 （2本は境界条件）
微分形
divE = 0
Gauss
divB = 0
Biot-Savart (Gauss)
rotE + ∂ B ∂ t = 0
Faraday
rotH = ∂ D ∂ t
Maxwell-Ampere
ただし
B = µ0 H,
公式
∂2 E
∂t 2
+ E*ke
B = Bke
ik⋅r−iω kt
+ B ke
∂ H ( B)
∂t 2
2
rot rot A ≡ ∇ × ( ∇ × A ) = ∇ ( ∇ i A ) − ∇ i ∇A
*
−ik⋅r+iω kt
−ik⋅r+iω kt
分散関係
(ω k = kc)
束縛条件
divE = 0
D = ε 0E
∇ 2 H ( B ) = µ0ε 0
ik⋅r−iω kt
ω k 2 = k 2c 2
電磁波の波動方程式 (Helmholtz方程式)
∇ 2 E = µ0ε 0
E = Eke
divB = 0
∂B
rotE +
=0
∂t
∴k ⋅ E = 0
k
∴k ⋅ B = 0
∴k × E = ω B
k
k
k
E
H(B)
k
E k = cBk
k

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notes 20 3317