論理学 2015
量化子の代入的解釈の例
言語： 個体定項：
a, b, c, d
P (＿), Q(＿)
D = {0, 1, 2, 3}
Φ1 (a) = 0, Φ1 (b) = 1, Φ1 (c) = 2, Φ1 (d) = 3
Φ1 (P ) = {2, 3}
Φ1 (Q) = {1, 2}
一項述語記号：
•
解釈：
•
•
•
hD, Φ1 i |= P (a) → Q(a)
hD, Φ1 i |= P (b) → Q(b)
hD, Φ1 i 6|= P (a)
Φ1 (a) ∈
/ Φ1 (P )
hD, Φ1 i 6|= Q(a)
Φ1 (a) ∈
/ Φ1 (Q)
hD, Φ1 i 6|= P (b)
Φ1 (b) ∈
/ Φ1 (P )
hD, Φ1 i |= Q(b)
Φ1 (b) ∈ Φ1 (Q)
hD, Φ1 i |= P (c)
Φ1 (c) ∈ Φ1 (P )
hD, Φ1 i |= Q(c)
Φ1 (c) ∈ Φ1 (Q)
hD, Φ1 i |= P (d)
Φ1 (d) ∈ Φ1 (P )
hD, Φ1 i 6|= Q(d)
Φ1 (d) ∈
/ Φ1 (Q)
hD, Φ2 i 6|= P (a)
Φ2 (a) ∈
/ Φ2 (P )
hD, Φ2 i 6|= Q(a)
Φ2 (a) ∈
/ Φ2 (Q)
hD, Φ2 i 6|= P (b)
Φ2 (b) ∈
/ Φ2 (P )
hD, Φ2 i |= Q(b)
Φ2 (b) ∈ Φ2 (Q)
hD, Φ2 i |= P (c)
Φ2 (c) ∈ Φ2 (P )
hD, Φ2 i |= Q(c)
Φ2 (c) ∈ Φ2 (Q)
hD, Φ2 i |= P (d)
Φ2 (d) ∈ Φ2 (P )
hD, Φ2 i |= Q(d)
Φ2 (d) ∈ Φ2 (Q)
hD, Φ1 i 6|= ∀x(P (x) → Q(x))
hD, Φ1 i |= P (c) → Q(c)
hD, Φ1 i 6|= P (d) → Q(d)
解釈：
• D = {0, 1, 2, 3}
• Φ2 (a) = 0, Φ2 (b) = 1, Φ2 (c) = 2, Φ2 (d) = 3
• Φ2 (P ) = {2, 3}
• Φ2 (Q) = {1, 2, 3}
hD, Φ2 i |= P (a) → Q(a)
hD, Φ2 i |= P (b) → Q(b)
hD, Φ2 i |= ∀x(P (x) → Q(x))
hD, Φ2 i |= P (c) → Q(c)
hD, Φ2 i |= P (d) → Q(d)
1
論理学 2015
量化子の代入的解釈の例
言語： 個体定項：
a, b, c, d
P (＿), Q(＿)
D = {0, 1, 2, 3}
Φ1 (a) = 0, Φ1 (b) = 1, Φ1 (c) = 2, Φ1 (d) = 3
Φ1 (P ) = {1, 2}
Φ1 (Q) = {2, 3}
一項述語記号：
•
解釈：
•
•
•
hD, Φ1 i 6|= P (a) ∧ Q(a)
hD, Φ1 i 6|= P (b) ∧ Q(b)
hD, Φ1 i 6|= P (a)
Φ1 (a) ∈
/ Φ1 (P )
hD, Φ1 i 6|= Q(a)
Φ1 (a) ∈
/ Φ1 (Q)
hD, Φ1 i |= P (b)
Φ1 (b) ∈ Φ1 (P )
hD, Φ1 i 6|= Q(b)
Φ1 (b) ∈
/ Φ1 (Q)
hD, Φ1 i |= P (c)
Φ1 (c) ∈ Φ1 (P )
hD, Φ1 i |= Q(c)
Φ1 (c) ∈ Φ1 (Q)
hD, Φ1 i 6|= P (d)
Φ1 (d) ∈
/ Φ1 (P )
hD, Φ1 i |= Q(d)
Φ1 (d) ∈ Φ1 (Q)
hD, Φ2 i 6|= P (a)
Φ2 (a) ∈
/ Φ2 (P )
hD, Φ2 i 6|= Q(a)
Φ2 (a) ∈
/ Φ2 (Q)
hD, Φ2 i |= P (b)
Φ2 (b) ∈ Φ2 (P )
hD, Φ2 i 6|= Q(b)
Φ2 (b) 6∈ Φ2 (Q)
hD, Φ2 i |= P (c)
Φ2 (c) ∈ Φ2 (P )
hD, Φ2 i 6|= Q(c)
Φ2 (c) ∈
/ Φ2 (Q)
hD, Φ2 i 6|= P (d)
Φ2 (d) ∈
/ Φ2 (P )
hD, Φ2 i |= Q(d)
Φ2 (d) ∈ Φ2 (Q)
hD, Φ1 i |= ∃x(P (x) ∧ Q(x))
hD, Φ1 i |= P (c) ∧ Q(c)
hD, Φ1 i 6|= P (d) ∧ Q(d)
解釈：
• D = {0, 1, 2, 3}
• Φ2 (a) = 0, Φ2 (b) = 1, Φ2 (c) = 2, Φ2 (d) = 3
• Φ2 (P ) = {1, 2}
• Φ2 (Q) = {3}
hD, Φ2 i 6|= P (a) ∧ Q(a)
hD, Φ2 i 6|= P (b) ∧ Q(b)
hD, Φ2 i 6|= ∃x(P (x) ∧ Q(x))
hD, Φ2 i 6|= P (c) ∧ Q(c)
hD, Φ2 i 6|= P (d) ∧ Q(d)
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論理学 2015
量化子の代入的解釈の例
言語： 個体定項：
a, b, c
R(＿, ＿)
解釈：
• D = {0, 1, 2}
• Φ1 (a) = 0, Φ1 (b) = 1, Φ1 (c) = 2
• Φ1 (R) = {h0, 1i, h0, 2i, h1, 0i, h1, 2i, h2, 0i, h2, 1i, }
二項述語記号：
hD, Φ1 i 6|= ∀y R(a, y)
hD, Φ1 i 6|= ∃x∀y R(x, y)
hD, Φ1 i 6|= ∀y R(b, y)
hD, Φ1 i 6|= ∀y R(c, y)
解釈：
hD, Φ1 i 6|= R(a, a)
hΦ1 (a), Φ1 (a)i ∈
/ Φ1 (R)
hD, Φ1 i |= R(a, b)
hΦ1 (a), Φ1 (b)i ∈ Φ1 (R)
hD, Φ1 i |= R(a, c)
hΦ1 (a), Φ1 (c)i ∈ Φ1 (R)
hD, Φ1 i |= R(b, a)
hΦ1 (b), Φ1 (a)i ∈ Φ1 (R)
hD, Φ1 i 6|= R(b, b)
hΦ1 (b), Φ1 (b)i ∈
/ Φ1 (R)
hD, Φ1 i |= R(b, c)
hΦ1 (b), Φ1 (c)i ∈ Φ1 (R)
hD, Φ1 i |= R(c, a)
hΦ1 (c), Φ1 (a)i ∈ Φ1 (R)
hD, Φ1 i |= R(c, b)
hΦ1 (c), Φ1 (b)i ∈ Φ1 (R)
hD, Φ1 i 6|= R(c, c)
hΦ1 (c), Φ1 (c)i ∈
/ Φ1 (R)
• D = {0, 1, 2}
• Φ2 (a) = 0, Φ2 (b) = 1, Φ2 (c) = 2
• Φ2 (R) = {h0, 0i, h1, 0i, h1, 1i, h2, 0i, h2, 1i, h2, 2i, }
hD, Φ2 i 6|= ∀y R(a, y)
hD, Φ2 i |= ∃x∀y R(x, y)
hD, Φ2 i 6|= ∀y R(b, y)
hD, Φ2 i |= ∀y R(c, y)
hD, Φ2 i |= R(a, a)
hΦ2 (a), Φ2 (a)i ∈ Φ2 (R)
hD, Φ2 i 6|= R(a, b)
hΦ2 (a), Φ2 (b)i ∈
/ Φ2 (R)
hD, Φ2 i 6|= R(a, c)
hΦ2 (a), Φ2 (c)i ∈
/ Φ2 (R)
hD, Φ2 i |= R(b, a)
hΦ2 (b), Φ2 (a)i ∈ Φ2 (R)
hD, Φ2 i |= R(b, b)
hΦ2 (b), Φ2 (b)i ∈ Φ2 (R)
hD, Φ2 i 6|= R(b, c)
hΦ2 (b), Φ2 (c)i ∈
/ Φ2 (R)
hD, Φ2 i |= R(c, a)
hΦ2 (c), Φ2 (a)i ∈ Φ2 (R)
hD, Φ2 i |= R(c, b)
hΦ2 (c), Φ2 (b)i ∈ Φ2 (R)
hD, Φ2 i |= R(c, c)
hΦ2 (c), Φ2 (c)i ∈ Φ2 (R)
3
論理学 2015
量化子の代入的解釈の例
言語： 個体定項：
a, b, c
R(＿, ＿)
解釈：
• D = {0, 1, 2}
• Φ1 (a) = 0, Φ1 (b) = 1, Φ1 (c) = 2
• Φ1 (R) = {h0, 0i, h0, 1i, h1, 0i, h2, 0i, h2, 1i, }
二項述語記号：
hD, Φ1 i |= ∃x R(x, a)
hD, Φ1 i 6|= ∀y∃x R(x, y)
hD, Φ1 i |= ∃x R(x, b)
hD, Φ1 i 6|= ∃x R(x, c)
解釈：
hD, Φ1 i |= R(a, a)
hΦ1 (a), Φ1 (a)i ∈ Φ1 (R)
hD, Φ1 i |= R(b, a)
hΦ1 (b), Φ1 (a)i ∈ Φ1 (R)
hD, Φ1 i |= R(c, a)
hΦ1 (c), Φ1 (a)i ∈ Φ1 (R)
hD, Φ1 i |= R(a, b)
hΦ1 (a), Φ1 (b)i ∈ Φ1 (R)
hD, Φ1 i 6|= R(b, b)
hΦ1 (b), Φ1 (b)i 6∈ Φ1 (R)
hD, Φ1 i |= R(c, b)
hΦ1 (c), Φ1 (b)i ∈ Φ1 (R)
hD, Φ1 i 6|= R(a, c)
hΦ1 (a), Φ1 (c)i ∈
/ Φ1 (R)
hD, Φ1 i 6|= R(b, c)
hΦ1 (b), Φ1 (c)i ∈
/ Φ1 (R)
hD, Φ1 i 6|= R(c, c)
hΦ1 (c), Φ1 (c)i ∈
/ Φ1 (R)
hD, Φ2 i |= R(a, a)
hΦ2 (a), Φ2 (a)i ∈ Φ2 (R)
hD, Φ2 i 6|= R(b, a)
hΦ2 (b), Φ2 (a)i ∈
/ Φ2 (R)
hD, Φ2 i 6|= R(c, a)
hΦ2 (c), Φ2 (a)i ∈
/ Φ2 (R)
hD, Φ2 i 6|= R(a, b)
hΦ2 (a), Φ2 (b)i ∈
/ Φ2 (R)
hD, Φ2 i |= R(b, b)
hΦ2 (b), Φ2 (b)i ∈ Φ2 (R)
hD, Φ2 i 6|= R(c, b)
hΦ2 (c), Φ2 (b)i ∈
/ Φ2 (R)
hD, Φ2 i 6|= R(a, c)
hΦ2 (a), Φ2 (c)i ∈
/ Φ2 (R)
hD, Φ2 i 6|= R(b, c)
hΦ2 (b), Φ2 (c)i ∈
/ Φ2 (R)
hD, Φ2 i |= R(c, c)
hΦ2 (c), Φ2 (c)i ∈ Φ2 (R)
• D = {0, 1, 2}
• Φ2 (a) = 0, Φ2 (b) = 1, Φ2 (c) = 2
• Φ2 (R) = {h0, 0i, h1, 1i, h2, 2i}
hD, Φ2 i |= ∃x R(x, a)
hD, Φ2 i |= ∀y∃x R(x, y)
hD, Φ2 i |= ∃x R(x, b)
hD, Φ2 i |= ∃x R(x, c)
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Attenuation of ocean waves due to random perturbations in the

論理学 2014 述語論理の NK の推論図 A B A ∧ B ∧ − I A ∧ B A

論理学 I・II 課題提出用紙（2014 年度） 提出日 ： 月 日（水） 時限 学籍番号：