数式処理実習 [第7回] 関数のグラフの描画 1 2次元グラフィックス

May 28, 2015
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数式処理実習 [第 7 回] 関数のグラフの描画
数式を理解するためには，図を描くことが有効です．というわけで，今日はグラフィックスです．
今週も Linux を使います．まずはいつも通り，端末を起動して，作業用のディレクトリ ˜/su-shiki に移動しましょう．
端末
← ˜/su-shiki に移動
← su-shiki ディレクトリにいることを確認
kawakubo > cd⊔ ~/su-shiki
kawakubo > pwd
次に Maxima を起動しましょう．
端末
kawakubo > maxima
で，端末内に Maxima が立ち上がります．次のような画面が立ち上がったら，準備完了です．
端末・maxima
% maxima
Maxima 5.20.1 http://maxima.sourceforge.net
using Lisp SBCL 1.0.38
Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING.
Dedicated to the memory of William Schelter.
The function bug_report() provides bug reporting information.
(%i1)
1
2 次元グラフィックス
まずは，y = f (x) という形の関数から描いてみましょう．二次元のグラフィックスを書くコマンドは plot2d で，書式
は
plot2d(関数式,[変数名, 開始値, 終了値], 必要なオプション各種);
です．
例えば，y = x2 のグラフを x ∈ [−2, 2] (すなわち，−2 ≤ x ≤ 2) の範囲で描いてみます．
maxima
(%i1) plot2d(x^2,[x,-2,2]);
4
3.5
3
x^2
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
x
0.5
1
1.5
2
これだと原点が真ん中に来ていないので，少し気持ち悪いですね．そこで，y の描画範囲もこちら側で指定してみま
しょう．x ∈ [−1, 1], y ∈ [−1, 1] の範囲でグラフを描画するには，次のようにします．
数式処理実習 [第 7 回] 関数のグラフの描画
May 28, 2015
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maxima
(%i2) plot2d(x^2,[x,-1,1],[y,-1,1]);
1
x^2
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
x
0.5
1
さらに，この plot2d というコマンドは，複数のグラフを重ねて同時に描くことが可能です．これを行うには，１つの
関数の代わりに，複数個の関数を [ ] で括ったリストを入れます．(なお，関数が複数個ではなく，一つだけの時は [ ] を
付けてはいけません!) 例えば，y = cos x の x = 0 でのテイラー展開を考えましょう．
x2
x4
x6
x8
+
−
+
+ ···
2
24 720 40320
テイラー多項式 (近似式) の次数を 2,4,6,8 と少しずつ大きくしたものを，全て重ねて描いてみます．
maxima
cos x = 1 −
←なお，ここでは見易くするために改行しています．
別に改行しなくても構いません．
(%i3) plot2d(
[
cos(x),
1-x^2/2,
1-x^2/2+x^4/24,
1-x^2/2+x^4/24-x^6/720,
1-x^2/2+x^4/24-x^6/720+x^8/40320
],
[x,-2*%pi,2*%pi],[y,-4,4]);
4
cos(x)
1-x^2/2
x^4/24-x^2/2+1
-x^6/720+x^4/24-x^2/2+1
x^8/40320-x^6/720+x^4/24-x^2/2+1
3
2
y
1
0
-1
-2
-3
-4
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
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青い点線が cos x です．テイラー多項式の次数が上がるに従って，cos x とフィットしていく様子がわかります．
plot2d は，難しい連立方程式が解を持っているかどうかの判断にも使えます．例えば，次の連立方程式に解があるか
どうかを判定したいとします．
{
y = ex
y = 3 − x2
この 2 式のグラフを描いてみましょう．
maxima
(%i4) plot2d([exp(x),3-x^2],[x,-2,2],[y,-1,4]);
4
%e^x
3-x^2
3
y
2
1
0
-1
-2
-1.5
-1
-0.5
0
x
0.5
1
1.5
2
2 つの式のグラフが 2 点で交わっていることから，上の連立方程式は 2 つの実数解を持つことがわかります．
2
パラメータ表示
平面内において，曲線 C 上の点 P(x, y) の座標 x, y が１つの変数 t の関数 f (t), g(t) によって
x = f (t),
y = g(t)
と表される状況を考えましょう．このような表し方を曲線 C のパラメータ表示 (媒介変数表示) といい，t のことをパラ
メータ (媒介変数) といいましたね．パラメータ表示された曲線も，上と同じ plot2d を用いて描きますが，書式が少し
異なってきます．書式は，
maxima
plot2d([parametric,x 成分の関数,y 成分の関数],[媒介変数名, 開始値, 終了値], 必要なオプション各種);
となります．
例えば，x = cos t, y = sin t を t ∈ [0, 2π] の範囲で描いてみます．
maxima
(%i5) plot2d([parametric,cos(t),sin(t)],[t,0,2*%pi]);
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1
0.8
0.6
0.4
sin(t)
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
3
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
cos(t)
0.2
0.4
0.6
0.8
1
3 次元グラフィックス
Maxima は 3 次元空間内の曲面も描くことができます．2 変数関数 z = f (x, y) のグラフを描いてみましょう．xy 平面
上の点 (x, y) を一つ決めると，xyz 空間内に点 (x, y, f (x, y)) が決まります．(x, y) を動かすと点 (x, y, f (x, y)) は空間内
を動きますが，これによって曲面ができあがります．この曲面のことを，関数 z = f (x, y) のグラフといいましたね．
例えば，関数 z = x3 − 3xy 2 のグラフを x ∈ [−1, 1],y ∈ [−1, 1] の範囲で描いてみます．
maxima
(%i6) plot3d(x^3-3*x*y^2,[x,-1,1],[y,-1,1]);
x^3-3*x*y^2
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
1
-1.5
0.5
-2-1
0
-0.5
y
0
x
-0.5
0.5
1 -1
描かれたグラフは，マウスでグリグリ回して視点を変えることができます．やってみましょう．
数式処理実習 [第 7 回] 関数のグラフの描画
May 28, 2015
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plot3d を用いて２変数関数のグラフを描く原理は次の通りです．まず，x の範囲 [−1, 1]，及び y の範囲 [−1, 1] をそれ
ぞれ 30 の小区間に等分することにより，点 (x, y) の動く領域 [−1, 1] × [−1, 1] を合計 30 × 30 = 900 個の小領域に分割し
ます．そして，それぞれの分点の座標を z = f (x, y) に代入して得られる点達を四辺形で埋めていくのです．ですから，
場合によっては表示が荒くなってしまうことがあります．
表示を滑らかにするには，grid というオプションを用いて分割数を増やします．例えば，50 × 50 = 2500 個に分割す
るには，[grid,50,50] のように指定します．
maxima
(%i8) plot3d(x^3-3*x*y^2,[x,-1,1],[y,-1,1],[grid,50,50]);
x^3-3*x*y^2
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
1
-1.5
0.5
-2-1
0
-0.5
y
0
x
-0.5
0.5
1 -1
先程と比べると，曲面がより滑らかになりましたね．
4
ファイルの保存
描かれた図をファイルに保存するには，次のようにします．
maxima
(%i9) plot2d(x^2,[x,-1,1],
←ここではスペースの都合で改行していますが，実際にはこの改行は不要です．
[gnuplot_term,"postscript eps color"],[gnuplot_out_file,"kadai_07.eps"]
);
どんなファイル形式で保存するかを [gnuplot_term, "postscript eps color"] で指定しています．今回は，LATEX
に貼りたいので，eps 形式を指定し，カラーにしました．
もしも白黒の eps ファイルにしたい場合には，[gnuplot_term, "postscript eps mono"] とします．
また，[gnuplot_out_file, "kadai_07.eps"] でファイル名を指定しています．ホームディレクトリ ˜/ に kadai_07.eps
という名前で保存されます．出来上がったファイル kadai_07.eps をダブルクリックして，中身を確認しましょう．
なお，このファイル kadai_07.eps は作業用ディレクトリ ˜/su-shiki に移動させておきましょう．その方が LATEX の
書類に貼り込む時に便利です．
なお，kadai_07 の部分は各自好きな名前に変更しても構いません．なお，複数の図を作る時には，もちろん全部違う
名前にしないといけません．
数式処理実習 [第 7 回] 関数のグラフの描画
May 28, 2015
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レポート課題
5
• 講義のページ http://www.cis.fukuoka-u.ac.jp/˜kawakubo/ の今日の所の sm140000 07.pdf の設問に答えよ．
• sm140000 07.tex (sm140000 07.pdf の原稿ファイル) をダウンロードし，˜/su-shiki ディレクトリに保存せよ．
• ファイル名「sm140000 07.tex」の「sm140000」の部分は各自の学籍番号に変更すること．また，Emacs でファイ
ルの中身を編集し，上段の氏名欄に自分の学籍番号と氏名を書くこと．
• Maxima を用いて問題を解け．解答は，原稿ファイルを編集して LATEX で作成せよ．
• PDF ファイルを作成し，印刷したものを提出すること．締切は 6 月 4 日．
• 疑問点等があれば，書いて下さい．
復習：PDF ファイルを作成するために使うもの．Maxima 用の端末とは別に，もう一つ端末を起動します．
LATEX タイプセットなど
[kawakubo@pe5-(~)-112] cd⊔ ~/su-shiki
[kawakubo@pe5-(~/su-shiki)-113] emacs⊔ &
[kawakubo@pe5-(~/su-shiki)-114] platex⊔ sm140000_07.tex
[kawakubo@pe5-(~/su-shiki)-115] dvipdfmx⊔ sm140000_07.dvi
← ˜/su-shiki に移動
← emacs をバックグラウンドで起動
← sm140000 07.tex を platex でタイプセット
← sm140000 07.dvi から sm140000 07.pdf を作成

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