制御システム設計第4回

制御システム設計第４回
～過渡応答と安定性～
東京都市大学工学部
機械システム工学科
野中謙一郎
http://www.cl.mse.tcu.ac.jp/lab/edu/dcs/
3
3
Pole: -1.00
Pole: 0.00
Pole: 0.10
2.5
0.1
2
0.2
2
1.4
Pole: -1.00+-1.00
Pole: 0.00+-1.00
Pole: 0.20+-1.00
0
1
1
0.8
1
0.6
1.5
0
1
0
0
2
4
0.4
0
0.2
0
1
0.5
1
-1
0
Poles: -1.00+-0.00
Poles: -1.00+-1.00
Poles: -1.00+-2.00
2
1.2
-2
-0.2
6
8
10
-3
0
2
4
6
8
10
-0.4
0
2
4
6
8
10
過渡応答と安定性
振動無・収束と発散（左），振動有・実部の影響（中央），振動有・虚部の影響（右）
第4回
制御システム設計
1
伝達関数の極と零点（p.39）
伝達関数
⋯
⋯
極
分母多項式
0の根
例
2
零点
2
分子多項式
0の根
プロパー
2
2
1
の極は 1
1
，零点は2
プロパー
の次数
の次数
プロパーな伝達関数の例
1
非プロパー
の次数
の次数
現実に存在しない
第4回
制御システム設計
非プロパーな伝達関数の例
2
2次系の極と応答の関係（p.48）
2次遅れ系の伝達関数(3.23)
0
2
1の場合の極s
,
1
1
極
の関係
確認
の実部と虚部
減
1
確認
極s
, は，複素平面の
原点から半径，角度が
tan
減
1
0
の円上に存在
第4回
制御システム設計
3
2次系の極と応答（前回課題）
配布したプログラムで表示さ
れる6種類のグラフは，右図
の6個の極～のいずれ
かに対応した2次系（
）
のステップ応答である．シ
ミュレーションにより，6個の
伝達関数の定常ゲイン，
減衰係数，自然角周波数
を推定し，極～を求
めよ．
極～について，複素
平面上での位置と応答の関
係の考察をwordファイルに
纏め， WebClassで提出する．
第4回
制御システム設計
4
2次系の極と応答（課題の解答概要）
4
Reference(2)
Reference(5)
3.5
3
5
3
2.5
振動大
2
2.5
1.5
2
1
1.5
2
1
0
2
4
4
3
0.5
0
0.5
0
Reference(3)
Reference(6)
6
3.5
4
6
8
0
2
4
6
8
10
10
Reference(1)
Reference(4)
3.5
3
2.5
収束早い
4
2
1.5
2 の極で
2.0
0.2
1.0
1
1
0.5
0
0
2
4
4
6
8
4
Reference(4)
Reference(5)
Reference(6)
6
3.5
10
3
3
2.5
2.5
5
2
3
2
2
1.5
1.5
4
1
0.5
0
Reference(1)
Reference(2)
Reference(3)
3.5
0
振動大
1
1
0.5
2
4
6
8
10
0
0
第4回
2
4
6
8
制御システム設計
10
時間に関する相似
減衰係数と振動
5
第4回過渡応答と安定性
極と応答の関係（3.4.1節）
ステップ応答の部分分数展開
極の位置と応答の関係
安定性（3.5.1節）
極と安定性の関係
演習
ステップ応答の計算
課題
フィードバック系の安定性（例8.1）
第4回
制御システム設計
6
システムの収束・発散・振動
システムの出力の収束・発散・振動は伝達関数の極で決まる．
伝達関数
の分母の因数分解
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
の極
0 を解いて，
0 を解いて，
⋅
収束・振動
,
が負なら（ ,
0なら）収束，正なら発散
の大きさで振動成分の周波数が決まる．
の極の実部
の極の虚部
第4回
制御システム設計
7
ステップ応答の部分分数展開（p.50）
伝達関数
のステップ応答のラプラス変換を部分分数展開
1
⋯
⋯
⋯
(3.35)
逆ラプラス変換
sin
3
3
Pole: -1.00
Pole: 0.00
Pole: 0.10
2.5
0.2
2
0.1
2
(3.36)
1.4
Pole: -1.00+-1.00
Pole: 0.00+-1.00
Pole: 0.20+-1.00
0
1
1
0.8
1
0.6
1.5
0
1
0
0
2
実部
4
0.4
0
0.2
0
1
0.5
1
-1
0
Poles: -1.00+-0.00
Poles: -1.00+-1.00
Poles: -1.00+-2.00
2
1.2
-2
-0.2
6
8
10
に対する応答の変化
-3
0
実部
2
4
6
8
に対する応答の変化（
10
-0.4
0
2
4
6
8
10
1）虚部に対する応答の変化（
1）
収束・振動
の極の実部
の極の虚部
第4回
,
が負なら（ ,
0なら）収束，正なら発散
の大きさで振動成分の周波数が決まる．
制御システム設計
8
2.5
2.5
Poles: -3.00+-4.00
振的
振動的
3
Poles: -1.00+-3.00
次回小テスト
Im
図3.9 極の位置とインパルス応答
30000
Poles: 0.00+-3.00
Poles: 1.00+-3.00
20000
2
2
2
10000
0
1.5
1.5
1
-10000
1
-20000
1
0
-30000
0.5
0.5
0
-0.5
-50000
2
4
1.4
6
8
10
-1
-70000
0
2
4
6
1.4
Poles: -2.00+-2.00
1.2
1.2
1
1
8
10
-3
0
2
4
6
2
Poles: -1.00+-2.00
8
3
-80000
10
0
2
4
6
60000
Poles: 0.00+-2.00
1.5
50000
1
40000
0.5
30000
0
20000
8
10
Poles: 1.00+-2.00
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
-0.5
0.2
0.2
0
-0.2
-60000
-2
-0.5
0
-40000
-1
0
0
2
4
6
8
10
10000
0
-1
0
-0.2
-1.5
-10000
-2
-20000
-0.4
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
2
0.9
0.7
Poles: -2.00+-1.00
0.8
1
Poles: -1.00+-1.00
Poles: 1.00+-1.00
5000
0.6
0.5
0.4
0.5
0.4
0.3
0.3
0.2
0
0.4
0.6
0.2
-5000
0
-10000
-0.2
-0.4
0.2
0.1
0
0
2
4
6
1.2
8
0
-0.8
-0.1
-1
10
0
2
4
6
1.2
Pole: -2.00
-15000
-0.6
0.1
-0.1
10000
Poles: 0.00+-1.00
0.8
0.6
0.7
8
10
-20000
0
2
4
6
-25000
10
0
2
4
6
8
10
1
250000
1.2
Pole: -1.00
8
1
1
1
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0
0
Poles: 1.00+-0.00
Pole: 0.00
200000
150000
100000
収束早い
発散
50000
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
2
10
0
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
1
1
第4回
Re
制御システム設計
9
3.5.1 安定性
任意の有界な入力（|
| ∞）に対し，出力が有界（|
| ∞）になる場合，そのシ
ステム
は安定であるという．
システムが安定である条件は，伝達関数の極の実部がすべて負であること．
3.43 の2つの伝達関数
と
の極
3
1
1
0.1
0.5
1
0.8660
安定
2
1.5
1
0.05
0.9987
不安定
伝達関数
1
0.5
0
⋯
⋯
極は，
伝達関数
Step res. of 1/(s^2 + s + 1)
Step res. of 1/(s^2 - 0.1s + 1)
2.5
,⋯,
,
のステップ応答
-0.5
⋯
0
2
4
6
8
図3.14
,⋯,
1
出力
が発散しない条件は，
の極の実部（
,⋯,
,
,⋯,
）が全て負
sin
第4回
制御システム設計
10
10
演習
次の伝達関数を持つ系について，以下の問1～3に答えよ．
2
2
2
1
1.
2.
3.
伝達関数の極を求めよ．
システムの安定性を判別せよ．
部分分数展開して，ステップ応答を計算せよ
ヒント：部分分数展開
2
1
1
2
1
2
2
2
伝達関数の極
1, 1
実数部は全て負なので，安定
部分分数展開とステップ応答の計算（p.65 演習問題【7】(d)）
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
逆ラプラス変換
1 2
cos
sin
第4回
1
1
制御システム設計
11
ステップ応答の定常値の計算（p.44）
システムが安定な場合は，ラプラス変換の最終値の定理を用いて
出力の定常値を計算できる．
最終値の定理
lim
→
lim
→
特にステップ応答の定常値は，伝達関数
lim
→
lim
→
lim
に
1
0 を代入した
0 になる．
0
→
0 を直流ゲインと呼ぶ．
例：1次系と2次系で 0 は共に，定常ゲインになる．
2.5
0
Step res. of 0.5/(s^2 +
Step res. of 1/(s^2 +
Step res. of 1.5/(s^2 +
Step res. of 2/(s^2 +
2
0
s
s
s
s
+
+
+
+
1)
1)
1)
1)
2.0
1.5
1.5
1
1.0
0.5
0
第4回
制御システム設計
0.5
0
2
4
6
2次系の単位ステップ応答
8
10
12
フィードバック制御系のシミュレーション課題
下図のフィードバック制御系で制御ゲインを調整して，目標値と制御量の誤差
の定常偏差を可能な限り小さくする．ただし，オーバーシュートは生じさせない．
下記手順でゲインの範囲を求め，Matlabのシミュレーションで確認せよ．
1.
2.
3.
4.
5.
目標値から制御量までの伝達関数
を求めよ．（表2.2の変形を用いる）
伝達関数
の極から安定なの範囲を求めよ．（3.5.3節または3.5.4節の安定判別）
定常偏差を最終値定理から計算せよ．
の分母多項式から，オーバーシュートを生じないの範囲を求めよ．
伝達関数
様々なK に対して，目標値をステップ入力としたフィードバック系のシミュレーションを行
い，1～4の結果に一致することを確認せよ．
Wordのレポートにまとめて，WebClassで提出する．
1.2
Reference
KP=1.00
KP=10.00
オーバーシュート
1
フィードバック制御系のブロック線図【例8.1】
0.8
10.0
0.6
1.0
定常偏差
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
制御量の応答のグラフ
第4回
制御システム設計
13
5

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