線形システム論演習 (第１０回目) 学科・類： 学籍番号： 名前： 授業中に配布した用紙でない場合は， 「コピー」と右上に大きく書くこと。 用紙が足りないときは，裏面を使ってよい。 問１．上図のように，質量 m1 ，m2 の台車 1 と台車 2 があり，台車 1 は x = 0 の壁と，バ ネ定数 k1 のバネ 1 と減衰係数 α1 のダンパ (ショックアブソーバ)1 で並列に結合されてい て，両台車はバネ定数 k2 のバネ 2 と減衰係数 α2 のダンパ 2 で並列に結合されている。そ れぞれの台車の位置を x1 と x2 ，速度を v1 と v2 とする。バネ 1 が台車 1 に与える x 方向 の力は，−k1 x1 ，バネ 2 が台車 1，台車 2 に与える x 方向の力は，それぞれ k2 (x2 − x1 )， k2 (x1 − x2 ) とする (もう少し物理的に考えるならば，台車の長さやバネの自然長を考慮す る必要があるが，それらの長さは定数であるため無視している)。ダンパによる力は，台 車の相対速度に比例して発生し，ダンパ 1 が台車 1 に与える x 方向の力は，−α2 v1 ，ダン パ 2 が台車 1，台車 2 に与える x 方向の力は，それぞれ α2 (v2 − v1 )，α2 (v1 − v2 ) となる。 また，台車 1 と台車 2 に与える x 方向の外力を u1 ，u2 とする。台車がぶつかるなどのこ とは無視して，相対位置 y1 = x2 − x1 と台車 2 に加わる力 y2 を出力するシステムの状態 微分方程式と出力方程式を，行列を使って記しなさい。また，それをラプラス変換を使っ て表しなさい。なお，x3 = x˙1 = v1 ，x4 = x˙2 = v2 として，2 入力 2 出力 4 次のシステム を作る。(ẋ，ẍ は，それぞれ，x の時間による 1 階，2 階微分を表す。) ヒント 運動方程式は次のようになる。 m1 x¨1 = α2 (x˙2 − x˙1 ) + k2 (x2 − x1 ) − α1 x˙1 − k1 x1 + u1 m2 x¨2 = α2 (x˙1 − x˙2 ) + k2 (x1 − x2 ) + u2 また，運動方程式から台車 2 に加わる力は， y2 = α2 (x˙1 − x˙2 ) + k2 (x1 − x2 ) + u2 である。 x3 ，x4 を使うと運動方程式は， k2 (x2 − x1 ) + m1 k2 = (x1 − x2 ) + m2 = x3 α2 (x4 − x3 ) − k1 x1 − α1 x3 + u1 m1 α2 (x3 − x4 ) + u2 m2 x˙3 = x˙4 x˙1 x˙2 = x4 となる。 状態微分方程式は， x˙1 (t) x˙2 (t) x˙3 (t) x˙4 (t) 0 0 0 0 1 0 0 1 2 − α1m+α 1 k2 m2 k2 m1 − mk22 α2 m1 α2 −m 2 = − k1 +k2 m1 α2 m2 x1 (t) x2 (t) x3 (t) x4 (t) + 0 0 1 0 0 0 0 1 ( ) u (t) 1 u2 (t) 出力方程式は，次のようになる。 ( y1 y2 ) ( = −1 1 0 0 −k2 −k2 α2 −α2 ) x1 (t) x2 (t) x3 (t) x4 (t) ( )( ) 0 0 u1 (t) + 0 1 u2 (t) ラプラス変換で表示すると。 s X1 (s) X2 (s) X3 (s) X4 (s) = x1 (0) x2 (0) x3 (0) x4 (0) 0 0 0 0 1 0 0 1 2 − α1m+α 1 k2 m2 k2 m1 − mk22 α2 m1 α2 −m 2 + − k1 +k2 m1 α2 m2 ( Y1 (s) Y2 (s) ) ( = −1 1 0 0 −k2 −k2 α2 −α2 ) X1 (s) X2 (s) X3 (s) X4 (s) X1 (s) X2 (s) X3 (s) X4 (s) + 0 0 1 0 ( )( ) 0 0 U1 (s) + 0 1 U2 (s) 0 0 0 1 ( ) U (s) 1 U2 (s)
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