写像の像と逆像についての補足 - lab.twcu.ac.jp

写像の像と逆像についての補足
1 年次演習 (情報理学) (新國担当分)
2015 年 7 月 9 日 (木)
以下で, 講義における §2.1 で時間の都合上述べなかった, 写像の像と逆像に関す
る定理 2.1.3 の証明を述べる.1
定理 2.1.3. 集合 A, B に対し, P, P1 , P2 は A の部分集合で, Q, Q1 , Q2 は B の
部分集合とする. また, f : A → B を写像とする. このとき, 次が成り立つ.
( 1 ) P1 ⊂ P2 ならば, f (P1 ) ⊂ f (P2 ).
( 2 ) f (P1 ∪ P2 ) = f (P1 ) ∪ f (P2 ).
( 3 ) f (P1 ∩ P2 ) ⊂ f (P1 ) ∩ f (P2 ).
( 4 ) f (A − P ) ⊃ f (A) − f (P ).
( 5 ) Q1 ⊂ Q2 ならば, f −1 (Q1 ) ⊂ f −1 (Q2 ).
( 6 ) f −1 (Q1 ∪ Q2 ) = f −1 (Q1 ) ∪ f −1 (Q2 ).
( 7 ) f −1 (Q1 ∩ Q2 ) = f −1 (Q1 ) ∩ f −1 (Q2 ).
( 8 ) f −1 (B − Q) = A − f −1 (Q).
( 9 ) f −1 (f (P )) ⊃ P .
(10) f (f −1 (Q)) ⊂ Q.
(証明) (1) b ∈ f (P1 ) に対し
∃
a ∈ P1 s.t. f (a) = b
P1 ⊂P2 ∃
a ∈ P2 s.t. f (a) = b
b ∈ f (P1 ) ⇐⇒
=⇒
⇐⇒ b ∈ f (P2 )
となるので, f (P1 ) ⊂ f (P2 ) である.
1 ちなみに, 数学専攻の学生には, 「1 年生のうちに, このぐらいは何も見ずに証明できるようになっておくこと」と指導
しているよ.
(2) b ∈ f (P1 ∪ P2 ) に対し
b ∈ f (P1 ∪ P2 ) ⇐⇒ ∃ a ∈ P1 ∪ P2 s.t. f (a) = b
⇐⇒ ∃ a1 ∈ P1 s.t. f (a1 ) = b または ∃ a2 ∈ P2 s.t. f (a2 ) = b
⇐⇒ b ∈ f (P1 ) または b ∈ f (P2 )
⇐⇒ b ∈ f (P1 ) ∪ f (P2 )
となるので, f (P1 ∪ P2 ) = f (P1 ) ∪ f (P2 ) である.
(3) b ∈ f (P1 ∩ P2 ) に対し
b ∈ f (P1 ∩ P2 ) ⇐⇒ ∃ a ∈ P1 ∩ P2 s.t. f (a) = b
=⇒ ∃ a1 ∈ P1 s.t. f (a1 ) = b かつ ∃ a2 ∈ P2 s.t. f (a2 ) = b
⇐⇒ b ∈ f (P1 ) かつ b ∈ f (P2 )
⇐⇒ b ∈ f (P1 ) ∩ f (P2 )
となるので, f (P1 ∩ P2 ) ⊂ f (P1 ) ∩ f (P2 ) である.
(4) b ∈ f (A) − f (P ) に対し
b ∈ f (A) − f (P ) ⇐⇒ b ∈ f (A) かつ b ∈
/ f (P )
=⇒ ∃ a ∈ A − P s.t. f (a) = b
⇐⇒ b ∈ f (A − P )
となるので, f (A) − f (P ) ⊂ f (A − P ) である.
(5) a ∈ f −1 (Q1 ) に対し
a ∈ f −1 (Q1 ) ⇐⇒ f (a) ∈ Q1
Q1 ⊂Q2
=⇒ f (a) ∈ Q2
⇐⇒ a ∈ f −1 (Q2 )
となるので, f −1 (Q1 ) ⊂ f −1 (Q2 ) である.
(6) a ∈ f −1 (Q1 ∪ Q2 ) に対し
a ∈ f −1 (Q1 ∪ Q2 ) ⇐⇒ f (a) ∈ Q1 ∪ Q2
⇐⇒ f (a) ∈ Q1 または f (a) ∈ Q2
⇐⇒ a ∈ f −1 (Q1 ) または a ∈ f −1 (Q2 )
⇐⇒ a ∈ f −1 (Q1 ) ∪ f −1 (Q2 )
となるので, f −1 (Q1 ∪ Q2 ) = f −1 (Q1 ) ∪ f −1 (Q2 ) である.
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(7) a ∈ f −1 (Q1 ∩ Q2 ) に対し
a ∈ f −1 (Q1 ∩ Q2 ) ⇐⇒ f (a) ∈ Q1 ∩ Q2
⇐⇒ f (a) ∈ Q1 かつ f (a) ∈ Q2
⇐⇒ a ∈ f −1 (Q1 ) かつ a ∈ f −1 (Q2 )
⇐⇒ a ∈ f −1 (Q1 ) ∩ f −1 (Q2 )
となるので, f −1 (Q1 ∩ Q2 ) = f −1 (Q1 ) ∩ f −1 (Q2 ) である.
(8) a ∈ A − f −1 (Q) に対し
a ∈ A − f −1 (Q) ⇐⇒ a ∈
/ f −1 (Q)
⇐⇒ f (a) ∈
/Q
⇐⇒ f (a) ∈ B − Q
⇐⇒ a ∈ f −1 (B − Q)
となるので, A − f −1 (Q) = f −1 (B − Q) である.
(9) a ∈ P に対し
a ∈ P =⇒ f (a) ∈ f (P )
⇐⇒ a ∈ f −1 (f (P ))
となるので, P ⊂ f −1 (f (P )) である.
(10) b ∈ f (f −1 (Q)) に対し
(
)
b ∈ f f −1 (Q) ⇐⇒
∃
a ∈ f −1 (Q) s.t. f (a) = b
=⇒ b ∈ Q
となるので, f (f −1 (Q)) ⊂ Q である.
関連する演習問題を追加で挙げておくので, 各自取り組んでおくこと.
問題. 4 つの元から成る集合 A = {x, y, z, w}, 及び 3 つの元からなる集合 B =
{1, 2, 3} に対し, 以下の設問に答えよ.
( 1 ) f (P1 ∩ P2 ) $ f (P1 ) ∩ f (P2 ) となる A の部分集合 P1 , P2 , 写像 f : A → B の
具体例を挙げよ.
( 2 ) f (A − P ) % f (A) − f (P ) となる A の部分集合 P , 写像 f : A → B の具体例を
挙げよ.
( 3 ) f −1 (f (P )) % P となる A の部分集合 P , 写像 f : A → B の具体例を挙げよ.
( 4 ) f (f −1 (Q)) $ Q となる B の部分集合 Q, 写像 f : A → B の具体例を挙げよ.
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